从确界原理出发讨论函数的连续性

a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤ L ≤ a n ≤ L ≤ b
lim (b n − a n ) = lim (b − a) / 2 n = 0 （１）
n→ ∞ n →∞
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ L ≥ bn ≥ L ≥ a
由推论 １ 及（１）式，可知存在一点 c ， c = lim an = lim b n ，且 c ∈ [a, b] ，所以 f ( x) 在 c 点连续，于是
n →∞ n →∞
f (c ) = lim f (a n ) = lim f (bn ) ．注意 f (a n ) < 0 ， f (bn ) > 0 ，所以 f (c) = 0 ． 证毕．
n→ ∞ n →∞
性质 ４（介值定理） 设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) ≠ f (b) ， µ 是介于 f (a ) 与 f (b) 之间 证明 不妨设 f (a ) < µ < f (b) ，令 g ( x) = f ( x) − µ ，则 g ( x ) 也是 [a, b] 上的连续函数，且 g (a ) < 0 ，
两点 x ′, x ′ ∈ [a, b] ，虽然 | x ′ − x ′′ |< δ ，但 | f ( x ′) − f (x ′′) |≥ ε 0 ．
′ |< 1 / n ，但 令 δ n = 1 / n （ n 为任意正整数） ．与 δ n 相应的两点记为 x ′ , x′ ，虽然 | x ′ − x′ n n n n ′ ) |≥ ε 0 （２） | f ( x ′ ) − f ( x′ n n ′ } 由推论，存在 {x ′ 让 n 取遍所有正整数，得到数列 {x ′ } ， {x ′ } 的收敛子列 {x ′ ．设 lim x ′ = x 0 ，由 n n n nk } nk
k→ ∞
| f ( x n ) |> n k 矛盾． 证毕．
k
性质 ２ 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在 [a, b] 上有最大值与最小值．
第 ２７ 卷 第 ２ 期 高 师 理 科 学 刊 Ｖｏｌ． ２７ Ｎｏ．２ ２００７ 年 ３ 月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ′Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｍａｒ． ２００７
k→ ∞
虑这样得出的数列 {x n } ，它当然有界，由推论 １ {x n } 有收敛子列 {x n } ，记 lim x n = x 0 ，因 a ≤ xnk ≤ b ， k k 所以 a ≤ x 0 ≤ b ，从而 f ( x) 在点 x 0 连续．由归结原则 lim f (x n ) = f ( x0 ) ，所以 { f ( x n )} 有界，此与 k k
文章编号：１００７－９８３１（２００７）０２－００１３－０３
从确界原理出发讨论函数的连续性
王秀兰，仲崇斌，潘万富
（哈尔滨师范大学 恒星学院 数学与计算机系，黑龙江 哈尔滨 １５００２５）
摘要：以上确界原理为公理，由此公理出发，不必利用区间套定理和有限覆盖定理，直接讨论闭 区间上连续函数的几个重要性质及数列极限的柯西准则． 这样处理，使得这几个性质的证明自然， 通俗易懂，教者易教，学者易学，同时做到提出问题，马上解决问题． 关键词：确界原理；连续；聚点 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ
k
k→ ∞
下面利用前面给出的结论，证明闭区间上连续函数的几个重要性质 性质 １ 若 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上有界． 证明 反证法．若 f ( x) 在 [a, b] 上无界，则对于任意的自然数 n ，均有 a ≤ x n ≤ b ，使 f ( x n ) > n ，考
x 0 ∈ (a, b) ． 证毕．
性质 ５（一致连续性） 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上一致连续． 证明 反证法．若 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上不一致连续，则存在某 ε 0 > 0 ，对任何 δ > 0 ，都存在相应的
证明 由性质 １ 知 f ( x) 在 [a, b] 上有界， 由公理 １ 知 f ( x) 的值域 f [ a, b] 有上确界， 记 M = sup f [a, b] ， 以下证明：存在 ξ ∈ [a, b ] ，使 f (ξ ) = M ． 倘若不然，对一切 x ∈ [a, b] 都有 f ( x) ＜ M ． 令 g ( x) = 1 /[M − f ( x)] ，x ∈ [a, b] ．易见函数 g ( x ) 在 [a, b] 上连续，从而在 [a, b] 上有界．设 A 为 g ( x ) 的一个上界，则 0 < g ( x) = 1 /[M − f (x )] ≤ A x ∈ [a, b] ，由此 可得， f ( x) ≤ M − 1 / A ， x ∈ [a, b] ．这与 M 为 f [ a, b] 的上确界矛盾．所以必存在 ξ ∈ [a, b ] ， 使 f (ξ ) = M ， 即 f ( x) 在 [a, b] 上有最大值． 为证存在最小值，首先由公理可知任何非空下方有界的数集必有下确界，记 m = inf f [a , b] 与证存在最 大值相仿，可证存在 η ∈ [a, b ] ，使 f (η ) = m ，从而命题得证． 证毕． 性质 ３ （零点存在定理） 若 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续， f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则至少有一点 ξ ，a < ξ < b ， 使 f (ξ ) = 0 ． 证明 不妨设 f (a ) < 0 ， f (b) > 0 ，令 c1 = (a + b) / 2 ，则 a < c1 < b ，若 f (c1 ) = 0 ，则问题已解决．这 时 ξ = c1 ． 若 f (c1 ) ≠ 0 ，如果 f (c1 ) ⋅ f (a) < 0 ， 令 a1 = a ，b1 = c1 ； 如果 f (c1 ) ⋅ f (b) < 0 ，则令 a1 = c ，b1 = b ， 因此 f (a1 ) ⋅ f (b1 ) < 0 ．再令 c 2 = [a1 + b1 ] / 2 ，则 a1 < c 2 < b1 ，若 f (c 2 ) = 0 ，问题又获解决．若 f (c 2 ) ≠ 0 ， 可仿前述规则作出 [a k , b k ] ，使 f (a k ) ⋅ f (bk ) < 0 ，继续下去，假定得出的中点 c k 都满足 f (c k ) ≠ 0 ，则得到 一串闭区间 [aη , bη ] ， η = 1, 2, L ，使 f (a n ) < 0 ， f (bn ) > 0 ．而且
的任意实数，则存在 x 0 ∈ (a, b) ，使 f ( x 0 ) = µ ． g (b) > 0 ，由性质 ３ 知存在 x 0 ∈ (a, b) 使 g ( x 0 ) = 0 ，即存在 x 0 ∈ (a, b) ，使 f ( x 0 ) − µ = 0 ．亦即 f ( x 0 ) = µ ，
n→ ∞
对递减数列 {x n } ，可考虑 {− x n } 便得证． 证毕． 定理 １ （聚点原则） 设 E 是一有界无穷集合，则 E 至少有一个聚点． ~ ~ ~ 证明 考虑集合 E ， x ∈ E 表示在 E 中至多有有限多个点小于 x ，由于 E 有界， E 的下界 m 属于 E ， ~ ~ ~ 所以 E 非空， 显然 E 的上界 M 也是 E 的上界． 由公理 １， 设 x 0 = sup E ， 下面来证明 x0 就是 E 的一个聚点． 对 ~ ~ ~ 于任意 ε > 0 ， 由于 x 0 + ε ∉ E ， 故在 E 中有无穷多个点小于 x 0 + ε ， 而 x 0 − ε 不再是 E 的上界， 所以有 y ∈ E ， ~ 使 y > x 0 − ε ，由 E 的定义， E 中小于 y 的点只有有限多个，小于 x 0 − ε 的点就更只有有限多个了，这说明 在（ x 0 − ε ，x 0 + ε ）中有无穷多属于 E 的点，由 ε 的任意性，知 x0 是 E 的聚点． 证毕． 推论 １ 无穷有界数列，必有收敛子列． 证明 设数列{x n } 有界，若 {x n } 只有有限个不相同的数反复出现，则其中至少有一个，比如是 x0 要出
现无限多次，把 {x n } 中等于 x0 的拿出来，就是 {x n } 的一个子列，且它的极限就是 x0 ．如果 {x n } 中确实包
收稿日期：２００６－１０－２０ 基金项目：黑龙江省高教学会“十一五”规划项目（１１５Ｃ－５８０） 作者简介：王秀兰（１９４２－２００６） ，女，辽宁辽阳人，教授，从事数理方程方面的研究．
０ 引言
闭区间上连续函数的性质的证明，一直是个难点，一般的教材［１］，往往不予证明，文献［２］是单辟一章， 讲完实数连续性的 ６ 个等价命题后再证，对于数列极限的柯西准则也是只证明必要性，不证明充分性．反 映实数连续性的 ５ 个命题仍是学生的难点，尤其对初学者更是茫然不知所措．为了不把提出的问题隔裂开 来，便于学生掌握闭区间上连续函数性质证明，本文从公理出发，直接讨论闭区间上连续函数的几个性质 及数列极限的柯西准则．
n→ ∞
对于任意 ε > 0 ，由上确界定义，存在 x n ∈ {x n } ，使 A − ε < x n < A ，由 {x n } 的递增性，当 n > n0 时， 0 0 更有， A − ε < x n ≤ A < A + ε ，即 | x n − A |< ε ，当 n > n0 时，此即 lim x n = A ．
１ 闭区间上连续函数的性质证明
公理 １ 非空有上界的数集必有上确界． 命题 １ 任何单调有界数列都有极限． 证明 设 {x n } 是递增数列，且 | x n |≤ M （ n = 1 ，２，…） ， M 为某常数．由公理 １ 知 {x n } 有上界． 令 A = sup{x n } ，以下证明Baidu Nhomakorabealim x n = A ．
１４ 高 师 理 科 学 刊 第 ２７ 卷
含无穷多个不相同的数，则 {x n } 是一无穷有界点集，由定理 １，{x n } 至少有一个聚点，该聚点为 y0 ，由聚 点的定义，存在互不相同的点列 x n ∈ {x n } ，使 lim x n = x 0 ． 证毕． k