九年级《图形的相似》知识点归纳

苏科版九下《图形的相似》知识点归纳
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质
（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d c b =． ②()()()a b
c d a c d c b d b a
d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩
，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即
2
AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2
1
5-=
≈0.618AB ．即
512AC BC AB AC == 简记为：51
2
长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360
的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
（3）合、分比性质：a c a b c d
b d b d
±±=⇔=
． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-=+--=-⇒=d
c d
c b a b a c c
d a a b d c b a 等等．
（4）等比性质：如果)0(≠++++===
=n f d b n m
f e d c b a ， 那么
b
a
n f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD ∥BE ∥CF,
可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF
=====
或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：
AC
AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =
==或或 知识点4 相似三角形的概念
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
“斜边和一直角边对应成比例”
（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，
则 ∽ ＝＝＞ AD 2
=BD ·DC ，
∽ ＝＝＞ AB 2
=BD ·BC ，
∽ ＝＝＞ AC 2
=CD ·BC .
知识点5 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6 相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）
F
E D C
B A E B
D E D
(3)
B C A
E D
B
C
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、“蝶型”）
(3)一线三等角的变形: （K字型相似）
知识点7 等积式证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
知识点9 位似图形有关的概念与性质
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
（4）位似图形具有相似图形的所有性质.
位似图形的性质：
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
②在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）
考点经典例题分析
考点一、相似三角形的概念
1．判断对错：
(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？
(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？
(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？
思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.
举一反三：
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？
解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等，又相似比为1，所以对应边相等.因此这两个三角形全等.
总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.
(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.
(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.
(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形；
B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形；
D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
考点二、相似三角形的判定
2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.
总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC 和△EDF相似吗？为什么？
思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.
总结升华：
(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.
(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.
4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
举一反三：
【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ ∽△QCP．
思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.★初三圆
思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.
【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．
思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=1
2
BC ，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=
1
2
AB，
DF=1
2
AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．
总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的
两边成比例，即DE FD
AB CA
，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽
△ABC．
考点三、相似三角形的性质
5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.
总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.
6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.
总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.
举一反三：【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求:
ND BD.
总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题. 考点四、相似三角形的应用
7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽.
方案2：
思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.
举一反三：
【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
变式1变式2
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．
【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？
思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC.
考点五、相似三角形的周长与面积
8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB 上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．
总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
举一反三：
【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
考点六、综合探究
9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.
总结升华：
(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决.
(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程解决，体现了数形结合的思想.
10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.
(1)设BP=，△PEF 的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；
(2)当P在BC 边上什么位置时，值最大。

总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：
(1)从面积公式入手；(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.
参考答案： 考点一：
1．解：(1)不一定相似.反例。

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.
(2)不一定相似.反例。

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.
(3)一定相似。

在直角三角形ABC 与直角三角形A ′B ′C ′中，
，设AB=a ， A ′B ′=b ，则 BC=a ，B ′C ′=b ，AC=
a ，A ′C ′=
b ，∴
''''''AB BC CA a
A B B C C A b
===，∴ABC ∽A ′B ′C ′。

(4)一定相似。

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.
(5)一定相似。

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.
（1）（2）（3）
变式2：解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边
的比相等.而A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C. 考点二：
2．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴ △BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED.∴ △BEF ∽△CDF ∽△AED.∴ 当△BEF ∽△CDF 时，相似比11
3
BE k CD =
=；当△BEF ∽△AED 时，相似比114BE k AE =
=；当△CDF ∽△AED 时，相似比33
4
CD k AE ==. 3．解：在Rt △ABC 中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得
.
在Rt △DEF 中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得. 在△
ABC 和△EDF 中，
68102,2,2345BC AC AB DF EF ED ======，∴BC AC AB
DF EF ED
==
， ∴ △ABC ∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).
4．解：当满足以下三个条件之一时，△ACD ∽△ABC. 条件一：∠1=∠B.
条件二：∠2=∠ACB. 条件三：
AD AC
AC AB
=
，即.
总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD ∽△ABC ，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：AD AC CD
AC AD BC
==。

不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的。

变式1：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴
AD QC =2，∵BP PC =3，∴BC PC =4又∵BC=2DQ ，∴DQ
PC
=2，在△ADQ 和△QCP 中，
AD DQ
QC PC
=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ ∽△QCP ． 变式2：证明：连接
，
. 在
中
，
，∴
∽
，
∴
,PA PC
PA PB PC PD PD PB
=•=•. 变式3：证明：在Rt △ABD 中，DE 为斜边AB 上的中线，∴ DE=12AB ，即DE AB =12．同理DF AC =12
．∵ EF 为△ABC 的中位线，∴ EF=12BC ，即EF BC =12．∴ DE EF FD
AB BC CA
==
．∴ △DFE ∽△ABC ． 考点三：
5．解：设另两边长是xcm ，ycm ，且x<y 。

(1)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长5cm 线段是对应边
时，有
4567x y ==， 从而x=245cm ，y=28
5cm.；(2)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长6cm 线段是对应边时，有4567x y ==，从而x=103cm ，y=143cm.；(3)当△DEF 中长4cm 线段与△ABC 中长7cm 线段是对应边
时，有4567x y ==，从而x=207cm ，y=247cm 。

综上所述，△DEF 的另外两边的长度应是245cm, 285cm 或103cm ，
143cm 或207cm ，247
cm 三种可能. 6．解：∵ 四边形EFGH 是矩形，∴ EH ∥BC ，∴ △AEH ∽△ABC.∵ AD ⊥BC ，∴ AD ⊥EH ，MD=EF.∵ 矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm ，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得
AM BH
AD BC
=
，∴
1021030
x x
-=
，∴ ，.∴ EF=6cm ，EH=12cm.∴
.
变式1：解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴
23DE AD BC AB ==。

∵M 为DE 中点， ∴1
3
DM BC =∵
DM ∥BC ， ∴△NDM ∽△NBC ，∴
1
3
ND DM NB BC ==∴:ND BD =1：2. 考点四：
7．解：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABO=∠DCO=90°∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB ∽△DOC ∴
AB BO
DC CO
=
∵BO=50m ，CO=10m ，CD=17m ∴AB=85m 。

答：河宽为85m ． 变式1：解：(1)△ABC ∽△ADE ．∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A ∴△ABC ∽△ADE 。

(2)由(1)得△ABC ∽△ADE ∴AC BC AE DE =∵AC=2m ，AE=2+18=20m ，BC=1.6m ∴2 1.6
20DE
=
∴DE=16m 。

答：古塔的高度为16m 。

变式2：解：作EF ⊥DC 交AD 于F.因为AD ∥BE ，所以又因为
，
所以
，所以
DE EF
EC CB =
.因为AB ∥EF ， AD ∥BE ，所以四边形ABEF 是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以 1.8 1.2
1.441.5
EF EC CB DE ⨯⨯===m.
考点五：
8．解：∵ DA ∥BC ，∴ △ADE ∽△BCE ．∴ S △ADE ︰S △BCE =AE 2︰BE 2． ∵ AE ︰BE=1︰2，∴ S △ADE ︰S △BCE =1︰4．∵ S △ADE =1，∴ S △BCE =4．
∵ S △ABC ︰S △BCE =AB ︰BE=3︰2，∴ S △ABC =6．∵ EF ∥BC ，∴ △AEF ∽△ABC ． ∵ AE ︰AB=1︰3，∴ S △AEF ︰S △ABC =AE 2︰AB 2=1︰9．∴ S △AEF =
62
93
=． 变式1：解：设原地块为△ABC ，地块在甲图上为△A 1B 1C 1，在乙图上为△A 2B 2C 2，∴ △ABC ∽△A 1B 1C 1
∽△A 2B 2C 2，且
112211
,,200500
A B A B AB AB ==，∴112250052002A B A B =
=，∴.
变式2：解：(1)∵S △PQC =S 四边形PABQ ，∴S △PQC ：S △ABC =1：2。

∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC ， ∴S △PQC ：S △ABC =(CP ：CA)2=1：2，∴CP 2=42×
1
2
， ∴CP=.
(2)∵S △PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等，∴PC+CQ=PA+AB+QB=1
2
(△ABC 的周长)=6。

∵PQ ∥AB ， ∴△PQC ∽△ABC ，∴6,433CP CQ CP CQ CP CA CB -===，即：643CP CP -=
，解得，CP=24
7。

考点六：
9．解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D ∵PE ⊥BP ，∴∠APB+
∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPE ，∴△ABP ∽△DPE ∴
AB AP DP DE =
，即25x x y =-， ∴215
(05)22
y x x x =-+<<。

(2)欲使四边形ABED 为矩形，只需DE=AB=2，即215
222
x x -+=，解得
∵
，∵
均符合题意，故AP=1或 4.
10． 解：(1)∵BC=2， BC 边上的高AD=1 ∴△ABC 的面积为1 ∵PF ∥AC ，∴△BFP ∽△BAC ∴
，∴同理△CEP ∽△CAB ∴
，∴∵PE ∥AB ， PF ∥AC ，∴四边形PFAE
为平行四边形∴
∴.
(2)∴当时，即P 点在BC 边的中点时，值最大.。