2018年高考数学总复习 几何证明选讲

第十六章选讲内容本章知识结构图

几何证明选讲平行线等分

线段定理

推论引理

推论1

推论2

平行线分线段

成比例定理

相似三角形预备定理判定定理2

判定定理1

判定定理3

直角三角形

相似判定定理

射影定理

坐标系与参数方程

切割线定理

相交弦定理

割线定理

切线定义

圆的切线的判定定理

与性质定理

坐标系

圆周角定理

参数方程

柱坐标系

球坐标系

平面直角坐标系

直角坐标系

极坐标系

直线和圆的参数方程

圆锥曲线的参数方程

平面上的

坐标系

弦切角的性质定理

切线长定理

圆内接四边形性质定四点共圆判定定理推

论

1

推

论

2

空间中的

坐标系

直

线

和

圆

常

见

曲

线

摆线和圆的渐开线

椭圆的参数方程

双曲线的参数方程

抛物线的参数方程

曲线的极坐标方程

不等式

第一节 几何证明选讲

考纲解读

1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.

2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.

3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.

命题趋势探究

主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.

知识点精讲

一、平行截割定理

1.平行线等分线段定理及其推论

（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.

(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰. 2. 平行截割定理及其推论

（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．

不等式

证明不等式的基本方法 柯西不等式、排序不等式

不等式和绝对值不等式

不等式

不等式的基本性质 基本不等式 绝对值不等式的解法

三个正数的算数 -几何平均不等式

绝对不等式

绝对值三角不等式 比较法

综合法与分析反证法与放缩法

数学归纳法

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．

二、相似三角形

1.相似三角形的判定

（1）判定定理：

①两角对应相等的两个三角形相似.

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

③三边对应成比例，两三角形相似.

（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

2.相似三角形的性质

相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

3.直角三角形射影定理

直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.

三、圆的切线

1.切线的性质及判定

（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2.切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等.

四、相交弦定理

圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

五、切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

六、圆内接四边形

1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.

2. 圆内接四边形的判定定理:

(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.

(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别

地，对定线段张角为直角的点共圆.

题型归纳及思路提示

题型192 相似三角形

思路提示

运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.

例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ∆∆∽ 解析：证法一：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,ODE OAB OEF OBC ∆∆∆∆∽∽. 所以

,.DE OE EF OE AB OB BC OB ==所以DE EF

AB BC

=①. 又DEF ∠与ABC ∠同向，由等角定理知DEF ABC ∠=∠②

由①②得DEF ABC ∆∆∽.

图16-1

O

F

E

D

C

B

A

证法二：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以

,,OD OE OF OE OD OF

DA EB FC EB DA FC

==∴=， 所以DF AC ∥.即,,DE AB EF BC DF AC ∥∥∥. 所以,,ODE OAB OEF OBC ODF OAC ∆∆∆∆∆∆∽∽∽. 故

DE OE EF OF DF AB OB BC OC AC ====，即DE EF DF

AB BC AC

==. 所以DEF ABC ∆∆∽.

变式1如图16-2所示，在ABC ∆中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.

证明：（1）

BG DF

GC FE

=；（2）BG GC =