2018年高考数学总复习 几何证明选讲

第十六章选讲内容本章知识结构图
几何证明选讲平行线等分
线段定理
推论引理
推论1
推论2
平行线分线段
成比例定理
相似三角形预备定理判定定理2
判定定理1
判定定理3
直角三角形
相似判定定理
射影定理
坐标系与参数方程
切割线定理
相交弦定理
割线定理
切线定义
圆的切线的判定定理
与性质定理
坐标系
圆周角定理
参数方程
柱坐标系
球坐标系
平面直角坐标系
直角坐标系
极坐标系
直线和圆的参数方程
圆锥曲线的参数方程
平面上的
坐标系
弦切角的性质定理
切线长定理
圆内接四边形性质定四点共圆判定定理推
论
1
推
论
2
空间中的
坐标系
直
线
和
圆
常
见
曲
线
摆线和圆的渐开线
椭圆的参数方程
双曲线的参数方程
抛物线的参数方程
曲线的极坐标方程
不等式
第一节 几何证明选讲
考纲解读
1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.
2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.
命题趋势探究
主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.
知识点精讲
一、平行截割定理
1.平行线等分线段定理及其推论
（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.
(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰. 2. 平行截割定理及其推论
（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
不等式
证明不等式的基本方法 柯西不等式、排序不等式
不等式和绝对值不等式
不等式
不等式的基本性质 基本不等式 绝对值不等式的解法
三个正数的算数 -几何平均不等式
绝对不等式
绝对值三角不等式 比较法
综合法与分析反证法与放缩法
数学归纳法
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．
二、相似三角形
1.相似三角形的判定
（1）判定定理：
①两角对应相等的两个三角形相似.
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
③三边对应成比例，两三角形相似.
（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
2.相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3.直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.
三、圆的切线
1.切线的性质及判定
（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.
（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等.
四、相交弦定理
圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
五、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
六、圆内接四边形
1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.
2. 圆内接四边形的判定定理:
(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.
(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别
地，对定线段张角为直角的点共圆.
题型归纳及思路提示
题型192 相似三角形
思路提示
运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似.
例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ∆∆∽ 解析：证法一：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以,ODE OAB OEF OBC ∆∆∆∆∽∽. 所以
,.DE OE EF OE AB OB BC OB ==所以DE EF
AB BC
=①. 又DEF ∠与ABC ∠同向，由等角定理知DEF ABC ∠=∠②
由①②得DEF ABC ∆∆∽.
图16-1
O
F
E
D
C
B
A
证法二：因为,,DE AB EF BC ∥∥所以
,,OD OE OF OE OD OF
DA EB FC EB DA FC
==∴=， 所以DF AC ∥.即,,DE AB EF BC DF AC ∥∥∥. 所以,,ODE OAB OEF OBC ODF OAC ∆∆∆∆∆∆∽∽∽. 故
DE OE EF OF DF AB OB BC OC AC ====，即DE EF DF
AB BC AC
==. 所以DEF ABC ∆∆∽.
变式1如图16-2所示，在ABC ∆中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.
证明：（1）
BG DF
GC FE
=；（2）BG GC =
变式2如图16-3所示，已知AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.若,22A C PD DA ∠=∠==，则PE=__________________
P
图16-3
E
D
C
B
A
变式3 如图16-4所示，已知PA ，PB 是O 的两条切线，PCD 是O 的一条割
线， E 是AB 与PD 的交点. 证明：（1）
AC PA AD PD
=；（2）AC AD CB DB =；（3）AC AD
CB DB =.
P
图16-4
O
E
D
C
B
A
例16.2如图16-5所示,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和CD 交于点P ，若
11,23
PB PC PA PD ==，则BC
AD 的值为__________________.
图16-2O
F
E
D
G
C
B
A
解析：因为四边形ABCD 是圆O 的内接四边形.所以PBC PDA ∠=∠.又BPC DPA ∠=∠，所以PBC PDC ∆∆∽，所以
.BC PC PB
AD PA PD
== 2111(
)236BC PC PB AD PA PD =⨯=⨯=.故6.6
BC AD = 变式1.如图16-6所示，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若,4,BD AE AB ⊥=
2,3BC AD ==，则DE =____________ CE =____________.
变式2 如图16-7所示，过O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且
7,PB C =是圆上一点使得5,,BC BAC APB =∠=∠则AB =________________。

图16-7
P
C
B A
O
题型193 相交弦定理、切割线定理及其应用
思路提示
理解相交弦定理、切割线定理，掌握相交弦定理、切割线定理与四点共圆的等价性.
例16.3 （1）（2012年陕西理15）如图16-8所示，在
O 中，直径AB 与弦CD
图16-6
E
D
C
B
A
O
垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若AB ＝6，AE=1，则DF DB ⋅=___________.
（2）（2012年北京理5）如图16-9所示，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（ ）
A. CE CB AD DB ⋅=⋅
B. CE CB AD AB ⋅=⋅ C ．2AD AB CD ⋅= D. 2CE EB CD ⋅=
图16-9
图16-8
E
B
C
D
A
O
F D
E C
B A
解析 （1）在Rt EDB ∆中，由射影定理得2DF BD DE ⋅=，由相交弦定理得
21(61)5DE AE EB =⋅=⨯-=，故5DF BD ⋅=.
（2）在Rt ACB ∆中，由射影定理得2CD AD DB =⋅.由切割线定理得2CD CE CB =⋅，
所以CE CB AD DB ⋅=⋅，故选A.
变式1（2012年广东理15）如图16-10所示，AB 是O 的直径，点C 在O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作O 的切线交AD 于E.若AB=6，ED=2，则BC=___________. 变式2（2012年湖北理15）如图16-11所示，点D 在O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线，交O 于点C ，则CD 的最大值为___________.
O
图16-11
图16-10
B
C
D
A
O
D
E
C
B
A
变式3如图16-12所示，PT 为O 的切线，T 为切点，PA 交O 于A ，B 两点，TPA ∠的
角平分线交TA ，TB 于D ，E ，PT=2，PB=
3，_______,
_________.TE
PA AD
== 例16.4 如图16-13所示，O 外一点P ，PA 切O 于A ，M 为AP 的中点，MBC 为O
的割线.求证：.MCP MPB ∠=∠
解析 若,MCP MPB ∠=∠又,BMP PMC ∠=∠则MPB MCP ∆∆∽
证明：由切割线定理，得22
MA MB MC MP MB MC MA MP ⎫=⋅⇒=⋅⎬=⎭
MP MC
MPB MCP MPB MCP MB MP PMB CMP
⎧=⎪
⇒⇒∆∆⇒∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∽. O 图16-13
图16-12
B C
P
A
P
O
E
T
B
A
M
D
变式1如图16-14所示，已知PA 与O 相切，A 为切点PBC 为割线，弦CD AP ∥，,AD BC
相交于E 点，F 为CE 上一点，且2
.DE EF EC =⋅
（1）求证：;P EDF ∠=∠ （2）求证：;CE EB EF EP ⋅=⋅
（3）若:3:2,6,4CE EB DE EF ===，求P A 的长.
C
图16-14
P
O E
F B
A
D
变式2如图16-15所示，过O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 点作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P. （1）证明：2OM ON OA ⋅=；
（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交O B 点，过B 点的切线交直线ON 于K.证明：90OKM ︒∠=.
K
图16-15
P
O
N
B
A M
题型194 四点共圆
思路提示
掌握四点共圆的常用等价条件（对角互补，外角等于内对角，同弧所对圆周角相等，相交弦定理、切割线定理等）.
例16.5 如图16-16所示，D,E 分别为ABC ∆的边AB 和AC 上的点，且不与ABC ∆的顶
点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140
x x mn -+=的两个根，证明：C B D E 、、、四点共圆.
解析 连接DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，
即
AD AE
AC AB
=.又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ACB ∆∆∽，因此ADE ACB ∠=∠.所以C B D E 、、、四点共圆.
图16-16
C A
B
E
D
变式1 如图16-17所示，,,,A B C D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于
E 点，且EF=ED.
（1）证明：CD AB ∥.
（2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：,,,A B G F 四点共圆.
图16-17
C D
E F
G
A
B
变式2 如图16-18所示，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交
于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （1）证明：A ，P ，O ，M 四点共圆； （2）求OAM APM ∠+∠大小.
M
P
O
C
B A
图16-18
题型195 空间图形问题转化为平面问题
例16.6 如图16-16所示，从球外一点引球的切线，则（ ）
A ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆
B ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆
C ．只可以引两条切线，两切点连线过球心
D ．只可以引两条切线，两切点连线不过球心
解析 如图16-19所示，O 为球的大圆，12,PT PT 为O 的两条切线，把O 以PO 为
旋转轴，旋转得球O ，因为111OT OT >，所以切点1T 随之旋转为球O 的一个小圆.故选B.
T 2
T 1
P
O
图16-19
变式1 若平面α与球O 相切，切点为M ，则（ ） A ．经过点M 的直线都与球O 相切 B ．不经过点M 的直线都与球相离
C ．平面α内不经过点M 的直线有可能与球O 相切
D ．平面α内经过点M 的直线都与球O 相切
变式2已知球的半径R=6，过球外一点P 作球的切线长为8，则点P 到球面上任
一点Q 的最短距离为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
变式3 将一个圆柱形水杯（内有半杯水）倾斜成母线与桌面成60︒时，杯内的水
平面（水不溢出）呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 32
最有效训练题59(限时45分钟)
1．如图16-20所示Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是斜边上的高，5AC =, 8BC =,则:CDA CDB S S ∆∆等于( )
A . 5:8
B . 25:64
C . 25:39
D . 25:89
2．如图16-21所示, ,D E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE //BC 旦2AD
BD
=,那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是( ) A ．
23 B ．25 C ．45 D ．49
3．,,D E F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4,△ABC 的周长为9，则△
DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )
A ．9,162
B ．9,4
C ．9,82
D ．9,164
4．如图16-22所示，在梯形ABCD 中，AD //BC , ∠BAD = 135︒，以A 为圆心，AB
为半径，作⊙A 交AD , BC 于,E F 两点，并交BA 延长线于G ，则GF 的度数是( ) A . 45︒ B . 60︒ C . 90︒ D . 135︒
5．如图16-23所示，自⊙O 外一点P 引圆的切线，切点为A ,M 为PA 的中点，过M 引圆的割线交圆于,B C 两点，且∠BMP 100=︒, ∠BPC 40=︒，则∠MBP 的大小为( )
A . 10︒
B . 20︒
C . 30︒
D . 40︒
D
C
B
A
图 16-20
C
D
B
A
图 16-21
E
6．如图16-24所示，⊙O 与⊙O '相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O '于Q 和M ，交AB 的延长线于N , 3MN =,15NQ =，则PN =( ) A . 3 B .
15 C . 32 D . 35
7．如图16-25所示，已知AB 是⊙O 的直径, P 在AB 的延长线上，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥OP 于D .若6CD =,10CP =，则⊙O 的半径为 ；BP = .
8．如图l6-26所示，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ,PO 交⊙O 于,B C 两点，
3PA =,1PB =，则⊙O 的半径为 , ∠C = .
9．如图16-27所示，⊙O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =,过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ，则线段CD 的长为 .
P
O
D C
B A
图 16-25
M N Q
P
B
A
图 16-24
O
O '
图 16-22
C
G
D
E F
B
A
P
C
A
图 16-23
B
M
O
10．如图16-28所示，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ,∠B 60=︒, F 在AC 上，且AE =AF .
证明:(1) ,,,B D H E 四点共圆； (2) CE 平分∠DEF .
11．如图16-29所示，⊙O 和⊙O '相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于
,C D 两点，连接DB 并廷长交⊙O 于点E .
证明:(1) AC ·BD = AD ·AB ； (2) AC =AE .
12．如图16-30所示，AB 是⊙O 的直径, AD 是∠BAC 的平分线, AD 交⊙O 于点D , DE ⊥AC ,且DE 交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F . (1)求证: DE 是⊙O 的切线 ；
O
E
D
C
B
A
O '
图 16-29
H F E
D
C
B A 图 16-28
O
A
B
C
P
图 16-26 O
A
D
B
C
l
图 16-27
(2)若
3
5
AC
AB
，求
AF
DF
的值.
F
O
E
D
C
B
A
图16-30。