线性空间的定义与简单性质

§6.2 线性空间的定义与简单性质
如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称 为数域 上的线性空间 为数域P上的线性空间： 法还满足下述规则，则称V为数域 上的线性空间：
加法满足下列四条规则： 加法满足下列四条规则：
∀α , β , γ ∈ V
(1) α + β (2) (α
= β +α
+ β ) + γ = α + (β + γ )
P[ x ]n = { f ( x ) = an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0 an−1 ,⋯ , a1 , a0 ∈ P }
§6.2 线性空间的定义与简单性质
矩阵的全体作成的集合, 例3 数域 P上 m × n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 上 的加法和数量乘法， 上的一个线性空间， 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 上的一个线性空间 表示． 用 P m×n 表示． 例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数 上的线性空间． 域P上的线性空间． 上的线性空间
注意
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为 ． 线性运算． 线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 ．线性空间的元素也称为向量， 向量 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3．线性空间的判定： ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭， 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条， 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间． 就不能构成线性空间．
∴ 两边加上 − k β ，即得 k (α − β ) = kα − k β .
§6.2 线性空间的定义与简单性质
4、如果 kα ＝0，那么 ＝0 或 α ＝0. 、 ，那么k＝ 证：
假若
k ≠ 0, 则
α = ( k −1k )α = k −1 ( kα ) = k −1 0 = 0.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
1 1 2 2 ⊕ = log 2 = −1∉ R＋． 不封闭， ⊕不封闭，如 2
§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
有两个零元素0 证：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 假设线性空间 有两个零元素 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V 的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
§6.2 线性空间的定义与简单性质
全体正实数R 例5 全体正实数 ＋，
∀a, b ∈ R + , ∀k ∈ R 加法与数量乘法定义为： 加法与数量乘法定义为：

a ⊕ b = log b a
k a = ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 上的线性空间 不构成实数域R上的线性空间 上的线性空间. 解： R＋不构成实数域 上的线性空间.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
数量乘法满足下列两条规则 : (5) 1α
=α
= ( kl )α
(6) k ( l α )
数量乘法与加法满足下列两条规则： 数量乘法与加法满足下列两条规则： (7)( k + l )α (8)k (α
= kα + lα
+ β ) = kα + k β
§6.2 线性空间的定义与简单性质
证：假设 α有两个负元素 β、γ ，则有
α + β = 0, α +γ = 0 β = β + 0 = β + (α + γ ) = ( β + α ) + γ = (α + β ) + γ = 0 + γ = γ
◇利用负元素，我们定义减法： α − β = α + ( − β ) 利用负元素，我们定义减法： 减法
space） 一、线性空间（linear space）的定义 线性空间（
是一个非空集合， 是一个数域 在集合V中 是一个数域， 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合 中 是一个非空集合 定义了一种代数运算，叫做加法： 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 ∀α , β ∈ V ， 加法 在V中都存在唯一的一个元素 γ 与它们对应，称 γ 为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 与 的元素之间还 α 与β 的和，记为 γ = α + β ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法： 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 ∀ α ∈ V , ∀ k ∈ P , 数量乘法 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称δ为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 为 数量乘积， k与α的数量乘积，记为 δ = kα.
即得k ∴ 两边加上 − kα ；即得 0＝0 ;
§6.2 线性空间的定义与简单性质
∵α
+ (−1α ) = 1α + (−1α ) = (1 − 1)α = 0α = 0
两边加上－ ∴ 两边加上－α ，即得 ( − 1)α = −α ;
∵
k (α − β ) + k β = k (α − β + β ) = kα
第六章 线性空间
§1 集合·映射 集合· §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数·基与坐标 维数· §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质
中有一个元素0， (3) 在V中有一个元素 ，对∀α ∈ V , 有 中有一个元素
α +0=α
称为V的零元素） （具有这个性质的元素0称为 的零元素） 具有这个性质的元素 称为 都有V中的一个元素 中的一个元素β (4) 对 ∀α ∈ V , 都有 中的一个元素β，使得 负元素） α + β = 0 （β称为 α 的负元素）
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3、 0α = 0, k 0 = 0, ( − 1)α = −α , 、 k (α − β ) = kα − k β 证：
∵
0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴ 两边加上 −α 即得 0 α ＝0； ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
§6.2 线性空间的定义与简单性质
上的线性空间． 例1 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 上的线性空间 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上的次数小于 的多项式的全体， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上零多项式作成的集合， 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间