图像处理中的正则化

图像处理中的正则化

二维的图像可以分解成不同的频率成分。其中，低频成分描述大范围的信息，而高频成分描述具体的细节。

在灰度图像中，亮度变化小的区域主要是低频成分，而亮度变化剧烈的区域 (比如物体的边缘)主要是高频成分。

前一章说明当噪声存在时过滤是必要的。这章需要仔细看看过滤。过滤也称为正则化,因为它可以解释成对解执行特定规律的条件。正规化的程度是由一个正则化参数决定的,这个参数应该仔细选择。我们本章主要关注两个正则化方法(TSVD 和Tikhonov)和三个计算正则化参数的方法(差异原则,广义交叉验证和L-曲线标准). 两个重要的方法

在前面的章节中SVD 分析激发了谱过滤方法的使用，因为这些方法使我们通过过滤因子能控制模糊图像的谱的内容。实现谱过滤方法必须通过选择计算出的解

∑==N

i i i

T i i

filt v b

u X 1

σφ，

中的过滤因子i φ。

为了获得一个有理想性质的解。这些方法受坐标系b u T

i 和坐标系x v T

i 的影响，其中坐标系b u T

i 由向量()N i u i ,...,1=决定，坐标系x v T

i 由向量()N i v i ,...,1=决定。操作b 的数据

上面提到的坐标系是谱坐标系,因为这些向量分别是A A T 和T

A A 的特征向量。

我们看到了精确的求解方程组b Ax =，当数据被噪声污染时得不到一个好的解。相反，我们通过（）中的过滤展式过滤光谱解，使得在i v 方向上解的元素按过滤因子i φ缩放，而且可以减小误差在b u T

i 中的影响。在这一节中我们讨论两个最重要的谱过滤方法。

方法. 对于这个方法，我们定义对于大奇异值过滤因子的大小为1，对于其他奇异值过滤因子为0。更确切地说，

⎩⎨

⎧+==≡.

,...,1 ,0,

,...,1 ,1N k i k i i φ

参数k 称为截断参数决定了正则解中奇异值的数量。注意k 总满足N k ≤≤1。例如，这是一种用于

计算图所示的解的方法。

方法. 对于这种方法，我们定义过滤因子为

,,...,1 ,2

22

N i i i i =+≡α

σσφ 其中0>α

称为正则化参数，这个参数的选择得到了最小化问题

{

}22

222 m in x

Ax b x

α+-，

的解向量αX 。

正如我们将在第节中讨论的那样。我们希望

2

2Ax b -要很小得到了这个问题，但如果我们选择

b A x 1-=使它等于0，则

()

∑

==N

i i

T i

b u X

1

22

22σ

。

当噪声在一些方向i u 上的大小超过了奇异值i σ的大小时这个值是很大的。因此，我们也要保持

22

X

相当小，我们中的最小化问题要确保αAX b -

的残差范数和解αX 的范数有点小。

在去模糊处理中除了SVD 坐标系b 外，傅里叶坐标系

也经常被用到. 过滤是用来消除噪音影

响的。用

代替符号b ，其中 是正交傅里叶变换矩阵的一行。对于低通滤波

器，低频元素对应的过滤因子接近1，对应于高频元素的过滤因子接近0。

TSVD 和Tikhonov 方法和这个方法是类似的。更多傅里叶滤波法的信息可参见 3.傅里叶波滤法

我们现在考虑参数α选择的效果。先考虑对于ασ>>i 的过滤因子i φ。则， 利用泰勒展开()()

32

1

2

111εεεεO ++

-=+-，我们得到 (211114)

4

2222222++-=+=+=i

i i i i i σασασαασσφ 接下来，我们考虑对于ασ<

1-+ε的泰勒扩展，得到

(21111)

4422222222222⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-=+=+=ασασασασασασσφi i i i i i i i 因此，我们可以得出这样的结论：Tikhonov 过滤因子满足

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

<<+>>+-= , ),)(()(, ),)(()(14242ασσασαασσασαφi i i

i i

i i O O

这意味着，如果我们选择[]1,σσαN ∈，则对于小的指标i ，1≈i φ，对于大的指标i ，

22ασφi i ≈，对于一个给定的α，在该“断点”的过滤因子变化的本质是在该指标处

ασ≈i 。

波滤方法的实现

如果我们假设

A 的所有奇异值是非零的，那么这个naive 解可以写成

.11b U V b A X T --∑==

类似地，谱过滤解可以写为

.11b U V b A X T filt --Φ∑==

其中Φ是一个对角矩阵，其中包含了特定方法的滤波因子i φ（例如，TSVD 方法的滤波因子为1和0，Tikhonov 的滤波因子为)

22

2

ασ

σ+i

i ）。如果谱分解存在的话，（）和（）的关系类似的可以写成

谱分解的形式。

在第4章中，我们讲了（1）由图像去模糊问题导出的各种结构矩阵；（2）如何高效的计算这些矩阵的SVD 和谱分解；（3）如何高效的计算（）的na ïve 解（参看VIPs 10,11,12）

因为表达式（）只是（）式的一个变式，所以它对于第4章中的结构矩阵也能高效的实现滤波方法。我们可以把（）式写成

,1b U V X T filt filt -∑= 其中11--∑Φ=∑filt 。因此，如果滤波因子已经给出，则很容易修改VIPs

10,11,12去计算filt

X

对于许多结构矩阵都可以高效的计算出filt X

，以下是计算filt

X

的算法