立体几何中的向量方法-课件
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解2：
C1
B1
F1 D1
A1 C
B
A
例2、 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，
AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD
与BC所成的uu角ur 大小. 解 设 AB 1
uuur uuur uuur uuur
AD AB BC CD
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur AD AB BC CD 2ABgBC uuur uuur uuur uuur
D1 C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
uuuur DC1 (1, 0,1)
D
A
y
cos DA1, DC1 1/ 2
xC
B
cos 1/ 2, 120o
二面角A-BD1 -C的大小为120o.
例5 、
求二面角A-BD1 -C的大小.
解2
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
Z
解2 如图所示建立
P
空间直角坐标系，设DC=1.
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(2) l,的夹角为，则sin cos a,u
u
l a
l a
cos(
π
-
θ)
=
cos
<
ur r a, u
>
2
cos(
π
+
θ)
=
cos
<
ur a,
r u
>
2
u
夹角问题：
rr
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
二面角C PB D的平面角。
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
, 0, a
(
),
1 2
D1
,1 2
(1 , 1 22
, 1)
,1)
A1 A
F1C1 z
D1 C
B1 By
cos
A F1 , B D1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
=
|
30 . 10
x
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 10
例1、 RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC 的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、 A1C1的中点D1、F1，求AF1与D1 B所成的角的余弦值.
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
P
解3 设DC=1.
已知PB EF, 由（2） 可知PB DF,故EFD是二 面角C PB D的平面角。
A
F
E
D
C
B
例5 、
的棱长为 1.
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1 建立直角坐标系.
z
平面PBD1的一个法向量为
uuuur DA1 (0,1,1)
平面PBC的一个法向量为
uuur DE
(0,
1
,
1
)
22
平面PBD的一个法向量为
uuur CG
(1
,
1
,
0)
A
22
cos DE1,GC 1/ 2 X
F
E
D G
CY
B
cos 1/ 2, 60o
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
解2
z
D1
A1
C1
B1
D
xC
E
A
F
y
B
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
P
F
E
D
C
A B
(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.
已知PB EF,由（2）可知PB DF,故EFD是
(3)
,
的夹角为，则cosθ
=
cos
<
rr u, v
>
u
v
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(3) , 的夹角为， 则cosθ = cos < u, v >
u
v
例1、 RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC
z
uuuur 则B1C1 (0，-1， 0)，
D1
A1
uuuur 平面AB1C的一个法向量为
C1
B1
D1B = (1，1，1)
E
D
A
cos
uuuur uuuur BD1，B1C1
01 0 1 3
3 3
xC
F
y
B
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
例3、
的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
第三章 空间向量与立体几何
3.2.4 立体几何中的向量方法
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(1) l, m 的夹角为，则cos cos a, b
l
a
b
m
l
a
bm
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、
A1C1的中点D1、F1，求AF1与D1 B所成的角的余弦值.
解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz
如图所示，设 C C1 则 1：
A (1,
AF1
0,
0),
(
B
1 2
(
,
0,1, 0
0,1),
)
,
F1
(
1 2
D1B
2BCgCD 2ABgCD
uuur
111001 4
AD 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ADgBC ( AB BC CD)gBC 1
uuur uuur
cos AD, BC 1/ 2
例3、
的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解1 建立直角坐标系.
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F (1，1，2) X
3 333
D
C Y
B
点F的坐标为(1，1，) 又点E的坐标为(0, 1 , 1)
333
22
所以FE ( 1 , 1 , 1) 36 6
uuur FD
(
1
,
1
,
2
)
333
因为cos EFD FE • FD FE FD
( 1 , 1 , 1) • ( 1 , 1 , 36 6 3 3 6• 6 63
C1
B1
F1 D1
A1 C
B
A
例2、 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，
AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD
与BC所成的uu角ur 大小. 解 设 AB 1
uuur uuur uuur uuur
AD AB BC CD
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur AD AB BC CD 2ABgBC uuur uuur uuur uuur
D1 C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
uuuur DC1 (1, 0,1)
D
A
y
cos DA1, DC1 1/ 2
xC
B
cos 1/ 2, 120o
二面角A-BD1 -C的大小为120o.
例5 、
求二面角A-BD1 -C的大小.
解2
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
Z
解2 如图所示建立
P
空间直角坐标系，设DC=1.
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(2) l,的夹角为，则sin cos a,u
u
l a
l a
cos(
π
-
θ)
=
cos
<
ur r a, u
>
2
cos(
π
+
θ)
=
cos
<
ur a,
r u
>
2
u
夹角问题：
rr
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
二面角C PB D的平面角。
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
, 0, a
(
),
1 2
D1
,1 2
(1 , 1 22
, 1)
,1)
A1 A
F1C1 z
D1 C
B1 By
cos
A F1 , B D1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
=
|
30 . 10
x
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 10
例1、 RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC 的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、 A1C1的中点D1、F1，求AF1与D1 B所成的角的余弦值.
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
P
解3 设DC=1.
已知PB EF, 由（2） 可知PB DF,故EFD是二 面角C PB D的平面角。
A
F
E
D
C
B
例5 、
的棱长为 1.
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1 建立直角坐标系.
z
平面PBD1的一个法向量为
uuuur DA1 (0,1,1)
平面PBC的一个法向量为
uuur DE
(0,
1
,
1
)
22
平面PBD的一个法向量为
uuur CG
(1
,
1
,
0)
A
22
cos DE1,GC 1/ 2 X
F
E
D G
CY
B
cos 1/ 2, 60o
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
解2
z
D1
A1
C1
B1
D
xC
E
A
F
y
B
例4、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
P
F
E
D
C
A B
(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.
已知PB EF,由（2）可知PB DF,故EFD是
(3)
,
的夹角为，则cosθ
=
cos
<
rr u, v
>
u
v
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(3) , 的夹角为， 则cosθ = cos < u, v >
u
v
例1、 RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC
z
uuuur 则B1C1 (0，-1， 0)，
D1
A1
uuuur 平面AB1C的一个法向量为
C1
B1
D1B = (1，1，1)
E
D
A
cos
uuuur uuuur BD1，B1C1
01 0 1 3
3 3
xC
F
y
B
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
例3、
的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
第三章 空间向量与立体几何
3.2.4 立体几何中的向量方法
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(1) l, m 的夹角为，则cos cos a, b
l
a
b
m
l
a
bm
夹角问题：
rr 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、
A1C1的中点D1、F1，求AF1与D1 B所成的角的余弦值.
解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz
如图所示，设 C C1 则 1：
A (1,
AF1
0,
0),
(
B
1 2
(
,
0,1, 0
0,1),
)
,
F1
(
1 2
D1B
2BCgCD 2ABgCD
uuur
111001 4
AD 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ADgBC ( AB BC CD)gBC 1
uuur uuur
cos AD, BC 1/ 2
例3、
的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解1 建立直角坐标系.
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F (1，1，2) X
3 333
D
C Y
B
点F的坐标为(1，1，) 又点E的坐标为(0, 1 , 1)
333
22
所以FE ( 1 , 1 , 1) 36 6
uuur FD
(
1
,
1
,
2
)
333
因为cos EFD FE • FD FE FD
( 1 , 1 , 1) • ( 1 , 1 , 36 6 3 3 6• 6 63