高中数学选修1-1优质学案：章末复习

章末复习

学习目标

1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.

2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.

3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.

4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

1．四种命题及其关系(1)四种命题：

(2)四种命题间的逆否关系：

(3)四种命题的真假关系：

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)分类：

①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；

②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.

③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.

④既不充分也不必要条件：p⇏q且q⇏p.

3．简单的逻辑联结词

(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，綈p.

(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：

p∧q中p，q有一假即为假，p∨q有一真即为真，p与綈p必定是一真一假．

4．全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称命题：

全称量词用符号“∀”表示．

全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．

(2)存在量词与特称命题：

存在量词用符号“∃”表示．

特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．

5．含有一个量词的命题的否定

1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(√)

2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)

3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(×)

4．已知命题p：∃x0∈R，x0－2＞0，命题q：∀x∈R，x2＞x，则命题p∨(綈q)是假命题．(×)

类型一命题及其关系

例1(1)有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”．

其中是真命题的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④

D ．①③

考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 [答案] D

(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q

B ．p ∧q

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∨(綈q )

考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 [答案] A

[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．

反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．

(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假． 跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是( ) A ．若x 2>1，则－1≤x ≤1 B ．若－1≤x ≤1，则x 2≤1 C ．若－11 D ．若x <－1或x >1，则x 2>1 考点 四种命题

题点 四种命题概念的理解 [答案] B

(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对

称．则下列判断正确的是( )

A．p为真B．q为真

C．p∧q为假D．p∨q为真

考点“p∧q”形式的命题

题点判断“p∧q”形式命题的真假

[答案] C

[解析]由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

类型二充分条件与必要条件

命题角度1充分条件与必要条件的判断

例2(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用

题点必要不充分条件的判定

[答案] B

[解析]∵x2－3x>0⇏x>4，

x>4⇒x2－3x>0，

故“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分条件．

(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的() A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

考点充要条件的概念及判断

题点充要条件的判断

[答案] C

[解析]∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0，

∴“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．

(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．112

2

log log 0a b >>

C ．ln a >ln b >0

D ．x a >x b 且x >0.5

考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 充分不必要条件的判定 [答案] C

[解析] 设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必要条件，即有“p ⇒a >b >0，a >b >0⇏p ”．

A 选项中，a 2>b 2>0⇏a >b >0，有可能是a

B 选项中，112

2

log log 0a b >>⇔0b >0，故B 不符合条件；

C 选项中，ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0，而a >b >0⇏a >b >1，符合条件；

D 选项中，x a >x b 且01时a >b ，无法得到a ，b 与0的大小关系，故D 不符合条件．

命题角度2 充分条件与必要条件的应用

例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用