选修4-4第1讲 坐标系

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选修44 坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为3，π3、 4，π6，求△AOB(其中 O 为极点)的面积． 解：由题意知 A，B 的极坐标分别为3，π3、4，π6，则△AOB 的面积 S△AOB＝12OA·OB·sin∠AOB＝12×3×4×sinπ6＝3.
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较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方
程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的
坐标系 意义．
了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位
置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的
方法相比较，了解它们的区别.
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了解参数方程，了解参数的意义．
能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的
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3．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方 程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：ρ_c_o_s_θ_＝__a__； (3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：_ρ_si_n_θ_＝__b__．
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(2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程， 将两方程联立得xx2－＋yy＋2－1＝x－0，y＝0，解得xy＝＝10，， 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1) 转化为极坐标为1，π2，即为所求．
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理解坐标系的作用．
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图
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形的变化情况． 坐标系
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解
在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的
区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
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能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比
ρcosθ－π4＝2，
所以 ρ2－2
2ρcos
θcosπ4＋sin
θsinπ4＝2.所以
x2＋y2－2x－2y
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在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ ＝a 相交于 A，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求 a 的值．
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解：由 ρ＝4sin θ，可得 x2＋y2＝4y， 即 x2＋(y－2)2＝4. 由 ρsin θ＝a，可得 y＝a. 设圆的圆心为 O′，y＝a 与 x2＋(y－2)2＝4 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a. 在 Rt△DOB 中，易求 DB＝ 33a，
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(2)极坐标系 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐 标系．
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设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ，有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐 标，记为 M(ρ，θ)．
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【解】 设伸缩变换为xy′′＝＝μλxy（ （λμ>>00）），， 由题知λ29x2＋μ24y2＝1， 即3λ2x2＋μ22y2＝1. 与 x2＋y2＝1 比较系数， 得3μλ222＝＝11，，故λμ＝＝32，，
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所以伸缩变换为xy′′＝＝3x2，y， 即先使圆 x2＋y2＝1 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐 标伸长到原来的 3 倍，得到椭圆x92＋y2＝1，再将该椭圆的点 的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到椭圆x92＋y42＝ 1.
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4．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：_ρ_＝__2_a_c_o_s_θ； (3)当圆心位于 Ma，π2，半径为 a：_ρ_＝__2_a_s_in__θ.
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极坐标方程 ρcos θ＝2sin 2θ 表示的曲线为( ) A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
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解析：选 C.由 ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得，cos θ＝0 或 ρ＝4sin θ.当 cos θ＝0 时，θ＝π2(ρ∈R)，极坐标方程表示一条 直线；当 ρ＝4sin θ 时，极坐标方程表示一个圆．故选 C.
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[通关练习] 1．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l： ρsinθ－π4＝ 22.(ρ≥0，0≤θ<2π) (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
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2．在同一平面直角坐标系中，将直线 x－2y＝2 变成直线 2x′ －y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 解：设变换为xy′′＝＝λxμ（y（λ>μ0>）0），，代入第二个方程，得 2λx－
μy＝4，与 x－2y＝2 比较系数得 λ＝1，μ＝4，即xy′′＝＝x，4y.因
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[通关练习] 1．若函数 y＝f(x)的图象在伸缩变换 φ：xy′′＝＝32yx，的作用下 得到曲线的方程为 y′＝3sinx′＋π6，求函数 y＝f(x)的最小正 周期．
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解：由题意，把变换公式代入曲线 y′＝3sin x′＋π6得 3y＝3sin2x＋π6， 整理得 y＝sin2x＋π6， 故 f(x)＝sin2x＋π6. 所以 y＝f(x)的最小正周期为22π＝π.
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求经伸缩变换后的曲线方程的方法 平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝μλxy， ，λμ>>00，的作用下的变 换方程的求法是将xy＝＝yxμλ′′，代入 y＝f(x)，得yμ′＝fxλ′，整理之 后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
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选修44 坐标系与参数方程
【解】 (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，C2 的极坐标方程为 ρ2 －2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将 θ＝π4代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为12.
2．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－ 2 2ρcosθ－π4＝2. (1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
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解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，所以 x2＋y2＝4.因为 ρ2－2 2
参数方程． 参数
了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出 方程
它们的参数方程．
了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中
的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
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第1讲 坐标系
选修44 坐标系与参数方程
1．坐标系 (1)伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： xy′′＝＝λ·μx·（y（λ>μ0>）0），的作用下，点 P(x，y)对应到点(λx，μy)， 称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
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若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝cos
1 θ＋sin
θ，0≤θ≤π2
B．ρ＝cos
1 θ＋sin
θ，0≤θ≤π4
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4
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所以
B
点的坐标为
33a，a.
又因为
B
在圆
x2＋y2－4y＝0
上，所以
33a2＋a2－4a＝0，
即43a2－4a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝3.故 a 的值为 3.
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平面直角坐标系中的伸缩变换 [典例引领]
在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x92＋y42＝1.
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解：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0， 直线 l：ρsinθ－π4＝ 22， 即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线 l 的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.
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此，经过变换xy′′＝＝x，4y后，直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′ ＝4.
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极坐标与直角坐标的互化 [典例引领]
在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－ 1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点 为 M，N，求△C2MN 的面积．
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2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半
轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度
单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐
标
、
极
坐
标
分
别
为
(x
，
y)
和
(ρ
，
θ)
，
则
x＝ρcos y＝ρsin
θ， θ，
ρta2n＝θ_x＝_2＋____y__2____，_xy_(x_≠__0_).
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解析：选 A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρsin θ＝1－
ρcos
θ，即
ρ＝sin
1 θ＋cos
，由 θ
0≤x≤1，得
0≤y≤1，所以
θ∈0，π2.故选 A.
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在极坐标系中，直线 ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0 与圆 ρ＝2cos θ 交于 A，B 两点，则|AB|＝________． 解析：将 ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0 化为直角坐标方程为 x－ 3y －1＝0，将 ρ＝2cos θ 化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆 心坐标为(1，0)，半径 r＝1，又(1，0)在直线 x－ 3y－1＝0 上， 所以|AB|＝2r＝2. 答案：2
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选修44 坐标系与参数方程
直角坐标与极坐标互化的方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需运用公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边 同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对 方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的 检验．
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选修44 坐标系与参数方程
在极坐标系中，点2，π3到直线 ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝6 的距 离为________． 解析：由xy＝＝ρρscionsθθ，知极坐标2，π3可化为(1， 3)，直线 ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝6 可化为 x＋ 3y－6＝0.故所求距离为 d ＝|1＋12＋3×（ 33－）62 |＝22＝1. 答案：1