河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试文科数学试题(原卷版)

洛阳市2019—2020学年高中三年级第三次统一考试
数学试卷（文）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在毎小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的．
1.设集合1|02x A x x -⎧⎫
=>⎨⎬+⎩⎭
，集合{}|5213B x x =-≤+≤，则集合A B =（ ） A. [)3,2--
B. ()2,1-
C. R
D. ∅
2.已知直线1l :sin 210x y α+-=，直线2l :cos 30x y α-+=，若12l l ⊥，则tan2α=（ ） A. 2
3
-
B. 4 3
-
C. 2 5
D. 4 5
3.已知复数z 满足||1z =，则|1|z -+的最小值为（ ）
A. 2
B. 1
C. D. 4.命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，则命题p 的否定为（ ） A. 0x ∀≥，都有1x e x <-+
B. 0x ∀<，都有1x e x ≥-+
C. 00x ∃≥，01x
e x <-+
D. 00x ∃<，01x
e x <-+
5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41
8
a =，3134-=S a ，则4S =（ ）
A.
1
16
B.
18
C.
3116
D.
158
6.已知m ，n 为两条不同直线，α，
β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A. //αβ，//m α，则//m β
B. m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ
C. m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥
D. m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥
7.已知()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 可以是（ ）
A. 42
()2f x x x =-
B. ()2
x x
e e
f x -+=
C. ()sin f x x x =
D. 2
1()cos 3
f x x x =
+ 8.已知点O 是ABC 内部一点，且满足0OA OB OC ++=，又2AB AC ⋅=，60BAC ∠=︒则OBC 的面积为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
9.已知圆C :22()4(2)x a y a -+=≥与直线20x y -+=相切，则圆C 与直线40x y --=相交所得弦长为（ ）
A. 1
B. C. 2
D. 10.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，()0,ϕπ∈）与x 轴的两个交点最短距离为
3
π
，若将函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位，得到的新函数图象关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（ ）
A.
3
π B.
4
π C.
6
π D.
12
π
11.设F 为拋物线2:4C y x =的焦点，其准线l 与x 轴的交点为M ，过点F 且倾斜角为60°的直线交拋物线
C 于A ，B 两点，则AMB 的面积为（ ）
A.
B.
C. 8
D. 4
12.函数21
x x y x
++=与3sin 12x y π=+的图象有n 个交点，其坐标依次为()11,x y 、()22,x y 、…、(),n n x y ，则12n y y y ++⋅⋅⋅+=（ ） A. 0
B. 2
C. 4
D. 2n
第ⅠⅠ卷（非选择题）
二、填空题
13.已知向量,a b ，满足：(1,3)a =，||2b =，()a b b -⊥，则向量,a b 的夹角为______.
14.已知非负实数x ，y 满足10240
x y x y --≥⎧⎨
+-≤⎩，则1
1y z x +=+的最大值是______.
15.设1F 、2F 为双曲线22
22:1x y C a b
-=的左，右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于P 点，
若2PF ，1PF ，12F F 构成等差数列，则双曲线C 的离心率是______．
16.已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2
123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，
则实数m 的取值范围是_______．
三、解答题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，2AB =
，13AA =，E 为棱1AA 上一点，
1AE =，F 为棱11B C 上任意一点．
（1）证明：BE EF ⊥；
（2）求点1B 到平面1BEC 的距离．
18.随着生活水平的逐步提高，人们对文娱活动的需求与日俱增，其中观看电视就是一种老少皆宜的娱乐活动．但是我们在观看电视娱乐身心的同时，也要注意把握好观看时间，近期研究显示，一项久坐的生活指标——看电视时间，是导致视力下降的重要因素，即看电视时间越长，视力下降的风险越大．研究者在某小区统计了每天看电视时间x （单位：小时）与视力下降人数y 的相关数据如下： 编
号
1 2
3
4
5
x
1 1.5
2 2.5
3 y
12
16
22
24
26
（1）请根据上面的数据求y 关于x 的线性回归方程
（2）我们用（1）问求出线性回归方程y bx a =+的y 估计回归方程y bx a =+，由于随机误差
()e y bx a =-+，所以e y y =-是e 的估计值，i e 成为点（i x ，i y ）的残差．
①填写下面的
残差表，并绘制残差图； 编号 1
2
3 4
5 x
1 1.5 2
2.5
3
y 12 16 22 24 26 i e
②若残差图所在带状区域宽度不超过4，我们则认为该模型拟合精度比较高，回归方程的预报精度较高，试根据①绘制的残差图分折该模型拟合精度是否比较高？
附：回归直线y bx a =+斜率和截距的最小二乘估计分别为1
1
2
2
21
1
()()
()
n
n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y
y x y
nx y b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，
a y bx =-．
19.已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且cos cos a B b A =，BC 边上的中线AD 的长为4， （1）若6
A π
=
，求c ；
（2
）求a 的最大值．
20.已知平面内动点P 与点()2,0A -，()2,0B 连线的斜率之积为34
-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点()1,0F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线4x =分别交于M ，N 两点，直线4x =与x 轴交于点E ，求EM EN ⋅的值． 21.已知函数()ln 1f x x ax =-+．
（1）若对任意()0,x ∈+∞，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围． （2
）求证：)
*2111
111333n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
+⋅⋅⋅+<∈ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
22.在平面直角坐标系中，曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin 62
πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭ （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）已知点(2,1)A ，点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值.并求此时点B 的坐标. 23.已知
是
a ，
b ，
c 正实数，且21a b c ++=.
()1求
111
a b c
++的最小值； ()2求证：22216
a b c ++≥
.。