平膜片式压力传感器有限元分析
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2001 年 6 月 传 感 技 术 学 报 第 2 期
平膜片式压力传感器有限元分析 ①
任钧国 ,王洪业 ,欧阳勇
(国防科技大学宇航与材料工程学院 ,长沙 410073)
摘要 : 本文用有限元方法分析平膜片式压力传感器弹性元件表面径向应变及切向应变 与薄膜应变片阻值变化的联系后 ,根据电桥原理得到与其输出电压之间的关系 ,最终并分析 了传感器之非线性精度.
阵.
由于边界上有面力作用 , 采用同样原则 , 可将面力化为等效节点力从而表述为{ q} e =
[ q1 r q1z …… umr wmz ] T , 将所有单元按上述方式化为节点力. 变形后 , 结构为一平衡
体 ,将所有结点力列出平衡方程 , 将 EF 边界上的所有位移约束 , 即取为零位移 ,得平衡方
根据能量等效原则得到由于节点位移产生结构变形时节点的作用力{ F} e = [ f 1 r f 1z
…… f mr f mr ] T 与单元节点位移关系为 :
[ k ]{δ} = { f } e
(2)
式中 : [ K]为单元刚度矩阵 , {δ} e = [ u1 w1 …… um wm ] T , {δ} e 为单元节点位移列
若 R1 = R2 = R3 = R4 = R ,则上述关系为 :
U
=
U0 4
(1
ΔR1
R
+
ΔR3
R
-
ΔR1
R
-
ΔR4
R
+
ΔR1 + ΔR2) 2R
(1
+
ΔR3 + ΔR4) 2R
(10)
由上式知 ,当 ΔR1 = - ΔR2 、ΔR3 = - ΔR4 时 , U 与
ΔR成
R
线性关系
,
而ΔR
R
在线弹
关键词 : 有限元 ;压力传感器 ;非线性精度 中国分类法 :TP212. 12 文献标识码 :A 文章编号 :100421699 (2001) 0120152205
1 引 言
平膜片式是一种很重要的传感器弹性元件结构 ,在航天技术 、机械工业及其它各部门中 有广泛的应用. 在许多情形下 ,要求传感器精度高 、体积小 ,这样对传感器的设计和生产提出 了很高的要求. 在以往平膜片式压力传感器的设计中 ,往往采用经典的周边固支薄板理论解 析解 ,进行计算[1] ,它在许多情况下不能满足高精度非线性要求 ,这种方法已不适用. 而今 , 在固体力学方面所用的数学方法日益完善 ,其中有限元是最成功的一种 ,并在工程设计中大 量地应用着. 本文用有限元方法分析了平膜片式压力传感器弹性元件的及在特定坐标位置 条件下的薄膜电阻应变片电阻变化与压力的关系 ,并编制了相应的软件 ,以实现在最小非线 性输出时薄膜应变片丝栅的准确定位. 该方法不但适用于光刻较窄的薄膜电阻丝栅 ,也同样 适用于用激光刻制的大面积栅条.
程:
[ k ]{ U} = { Q}
(3)
其中 ,[ K]为整体刚度阵 ,{ U} = [ u1 w1 …… un wn ] T 为结构位移列阵 , { Q} 为节点等
效外力合力列阵. 求解方程 ,得各节点位移 ,我们感兴趣的是上表面 AB 上的位移.
2. 2 平均应变与位移关系
由于制造方便 ,应变片纵向平行于 x 轴 ,应变片电阻的变化与平均应变有关 , 因此要寻
εx
=
uF ( rF) cosθF - uE ( rE) cosθE | [ EF] |
(5)
式中 : uC 为 C 点的径向位移 ,可以通过表面上节点的轴向位移获得. 若考虑在应变片的面积
上作平均 ,将式 (5) 进行作 y 方向上的平均 ,即 :
H
G
∫ ∫ =
εx =
1 A EH [
u ( r) cos θ d y -
0. 010
0. 0009
5. 5 0. 76 6. 0 0. 88 1. 88 3. 88 4. 88
0. 088
0. 0016
4. 0 1. 00 6. 5 0. 05 2. 05 3. 23 5. 23
0. 010
0. 0094
9 0. 43 8 0. 60 1. 90 7. 52 8. 82 0. 014 (0. 4 MPamax)
图 2 膜片式压力传感器单元划分和计算模型
由于对称变形每节点有两个位移 , 分别是沿 r 轴的 u ( r , z) 和沿 z 轴方向的 w ( r , z) , 每
个单元内的位移用节点位移表示为 :
∑ u
m Ni 0
w
=
i =1
0 Ni
ui wi
(1)
式中 : Ni 为形函数 , ui , wi 分别为节点 i 沿 r , z 轴的节点位移.
Finite Element Analysis of Flat Diaphragm Pressure Sensor
REN J unguo , WANG Hongye , OUYANG Yong
(Dept . of Aerospace Technology & Materials Engineering , NUDT , Changsha , 410073 P. R. China)
这样就给传感器带来了误差 ,从而影响到传感器的精度.
设传感器的最大测量压力为 P ,此时输出为 U. 若测量到的压力为 f P ,其中 0 ≤f ≤1 ,以
线性方法显示 ,输出电压为 fU ,而真实电压应按式 (10) 计算 ,即为 :
U′=
U0 4
f
(ΔR2
R
+
ΔR3
R
-
ΔR1
R
-
ΔR4 )
R
(1
由于有限尺寸隔离基座的存在 ,ΔR1 和ΔR4 已延伸到边缘部分 ,薄板理论已无法分析 这些区域的应变. 在设计中采用这种理论计算结果与实验数据往往差异很大 ,应用时需作一 定修正 ,既不经济又延长了产品开发周期. 2. 1 有限元法求节点位移
本文采用有限元法把图 1 (a) 划分为若干单元 ,用高效轴对称四节点四边形单元[2]和八 节点轴对称单元[2]分析结构的位移 ,单元划分和计算模型如图 2.
性状态
下
,
与压力
P
图 4 电桥电路
成线性关系 ,于是输出电压与内压成正比. 对于体积较大的传感器在中心点附近拉应变 ,
R2 、R3 达最大 ,可以在压就变区找到与之相等的ΔR1 、ΔR4 的位置 ,这样可保证有高灵敏度
的输出 ,且又是保持线性关系. 然而对于微型传感器来说 ,要找到与中心区域ΔR2 、ΔR3 相等 的地方是很困难的. 为了保证有高灵敏度输出 ,必须找到平均应变最大的地方 ,即ΔR1 、ΔR4 变化最大的地方. 这样式 (9) 不再与内压 P 成线性关系 ,但工程上输出仍表示为线性关系 ,
4
所示 ,输入电压为
U0
, 输出电压为
U.
根据电桥电路 ,有以下关系 :
U
=
U0
( R1 + ΔR1) ( R4 + ΔR4) - ( R2 + ΔR2) ( R3 + ΔR3) ( R1 + R2 + ΔR1 + ΔR2) ( R3 + R4 + ΔR3 + ΔR4)
(9)
第 2 期 任钧国 ,王洪业等 :平膜片式压力传感器有限元分析 155
3 实 例
对多个规格的膜片按上述方法计算输出非线性时 ,下表列出了所获得的应变丝栅座标 值及传感器的实测数据 ,可见有很好的结果 ,该方法现已用于产品设计.
样 品a 号 1 6. 5 2 6. 5 3 6. 5 4 9. 5 5 7. 9 6 10
R2 座标
R1 座标
产测输出非线性 计算输出非线性
找平均应变εx ,εy 与位移的关系. 取坐标系 xoy 如图 3. 应变片中一条 EF (如图 3 所示) 平行 于 x 轴 ,取其上任一点的坐标为 P ( x , y) 或 ( r ,θ) .
1 5 4 传 感 技 术 学 报 2001 年
u ( r) cos θ d y ]
(6)
F
E
-
=
式中 : A EH为矩形 EH 的面积. 依次同样方法可得εx和εy .
-=
-=
若应变片沿 y 方向贴刻 ,采用同样的方法可得εx ,εx和εy ,εy .
2. 3 电桥分析
应变片电阻变化与平均应变的关系为 :
ΔR
=
-
Kε
(7)
R
其中 :ΔR 为电阻变化 , R 为初始电阻 , K 为传递函数 (由制造厂家给出 , 常规箔片应变片 K
即纵向应变灵敏系数 k) .
薄膜式应变片 ,电阻的变化与横向应变有一定的敏感性 ,因此有关系 :
ΔR
R
=
-
-
( Keεe + γKεt t)
(8)
-
-
式中 :γ为泊松比 ,εe和εt为纵向和横向平均应变 , Ke 和 Kt 为纵向及横向敏感系数 ,在线弹性
情况下ΔR
R
与内压成正比.
由应变片组成的电桥如图
0. 0067
1 5 6 传 感 技 术 学 报 2001 年
3 膜片尺寸单位为 mm ,材料常数 E = 2. 1 ×106 kg/ cm2 ,ν= 0. 3.
参考文献
[1 ] 王洪业. 传感器工程 ,[M]国防科技大学出版社 ,1997) [2 ] 任钧国 、熊龙飞. 高精度轴对称四节点四边形单元. [M]国防科技大学学报 ,2000 ;3 [3 ] Zienkiewicy O C. 有限元法. [M]科学出版社 (1981) [4 ] Watson R B. Influence of grid geometry on the output of strain gage based diagram Pressure transducers , M. M. Report[ R]
Abstract : After the relationship between radial and tangential strains and resistance changes of strain gage on the surface of elasticity pressure sensor is established by finite element method , the output voltage is related to the resistance changes in the electrical bridge , and the nonlinear precision of this kind of pressure sensor is analyzed. Key words : finite element ; pressure sensor ; nonlinear precision
b
t
H
r1
r2
r3
r4
( %)
( %)
5. 0 0. 71 4. 0 1. 30 2. 30 3. 85 4. 85 0. 015 (10 MPa 时)
0. 0050
5. 0 0. 71 4. 0 0. 80 1. 80 3. 85 4. 85
0. 080
0. 0004
5. 0 0. 71 4. 0 0. 00 1. 00 3. 85 4. 85
2 传感器的结构变形
① 来稿日期 :2000212226
图 1 膜片式压力传感器弹性元件简图
第 2 期 任钧国 ,王洪业等 :平膜片式压力传感器有限元分析 153
膜片式压力传感器弹性元件典型结构如图 1 所示. 在表面制作有四个应变片 ,组成一个 电桥. 在内压作用下 ,结构会发生微小变形 ,表面应变发生变化 ,使得四个应变片的电阻发生 相应变化 ,由电桥的不平衡输出对应电压信号. 从图 1 可知 ,结构和载荷是轴对称的 ,变形也 是轴对称的. 经典的设计方法 ,把膜片视为均布压力下周边固支圆板的变形 ,然后采用小挠 度理论 ,分析寻找ΔR1 与ΔR2 绝对值相同 、符号相反的两个应变片定位区域.
+
f
ΔR1
+ ΔR2 2R
)
(1+源自fΔR3+ ΔR4 2R
)
(11)
相对误差为 :
| U′- fU | ≈ f (1 - f ) D
(12)
式中 : D 为常数. 式 (12) 可以作为传感器精度分析的有效依据 , 在
f
=
1 2
时 ,误差达到最大.
在整个测量范围内 ,以此处的相对误差为整个传感器的相对误差.
在 P 点上的轴向应变为εr =
u r
,
环向应变为
εθ
=
u r
.
根据应变转换关系
, 在坐标系
xoy
下εx 与εr 、εθ 的关系为 :
图 3 应变片坐标系
εx = εr cos2 θ +εθsin2θ
(4)
平均应变为 :
∫ εx
=
|
1 [ EF] |
xF (εθsin2θ) d x
xE
在上表面 z 为常数 ,经积分运算得 :
平膜片式压力传感器有限元分析 ①
任钧国 ,王洪业 ,欧阳勇
(国防科技大学宇航与材料工程学院 ,长沙 410073)
摘要 : 本文用有限元方法分析平膜片式压力传感器弹性元件表面径向应变及切向应变 与薄膜应变片阻值变化的联系后 ,根据电桥原理得到与其输出电压之间的关系 ,最终并分析 了传感器之非线性精度.
阵.
由于边界上有面力作用 , 采用同样原则 , 可将面力化为等效节点力从而表述为{ q} e =
[ q1 r q1z …… umr wmz ] T , 将所有单元按上述方式化为节点力. 变形后 , 结构为一平衡
体 ,将所有结点力列出平衡方程 , 将 EF 边界上的所有位移约束 , 即取为零位移 ,得平衡方
根据能量等效原则得到由于节点位移产生结构变形时节点的作用力{ F} e = [ f 1 r f 1z
…… f mr f mr ] T 与单元节点位移关系为 :
[ k ]{δ} = { f } e
(2)
式中 : [ K]为单元刚度矩阵 , {δ} e = [ u1 w1 …… um wm ] T , {δ} e 为单元节点位移列
若 R1 = R2 = R3 = R4 = R ,则上述关系为 :
U
=
U0 4
(1
ΔR1
R
+
ΔR3
R
-
ΔR1
R
-
ΔR4
R
+
ΔR1 + ΔR2) 2R
(1
+
ΔR3 + ΔR4) 2R
(10)
由上式知 ,当 ΔR1 = - ΔR2 、ΔR3 = - ΔR4 时 , U 与
ΔR成
R
线性关系
,
而ΔR
R
在线弹
关键词 : 有限元 ;压力传感器 ;非线性精度 中国分类法 :TP212. 12 文献标识码 :A 文章编号 :100421699 (2001) 0120152205
1 引 言
平膜片式是一种很重要的传感器弹性元件结构 ,在航天技术 、机械工业及其它各部门中 有广泛的应用. 在许多情形下 ,要求传感器精度高 、体积小 ,这样对传感器的设计和生产提出 了很高的要求. 在以往平膜片式压力传感器的设计中 ,往往采用经典的周边固支薄板理论解 析解 ,进行计算[1] ,它在许多情况下不能满足高精度非线性要求 ,这种方法已不适用. 而今 , 在固体力学方面所用的数学方法日益完善 ,其中有限元是最成功的一种 ,并在工程设计中大 量地应用着. 本文用有限元方法分析了平膜片式压力传感器弹性元件的及在特定坐标位置 条件下的薄膜电阻应变片电阻变化与压力的关系 ,并编制了相应的软件 ,以实现在最小非线 性输出时薄膜应变片丝栅的准确定位. 该方法不但适用于光刻较窄的薄膜电阻丝栅 ,也同样 适用于用激光刻制的大面积栅条.
程:
[ k ]{ U} = { Q}
(3)
其中 ,[ K]为整体刚度阵 ,{ U} = [ u1 w1 …… un wn ] T 为结构位移列阵 , { Q} 为节点等
效外力合力列阵. 求解方程 ,得各节点位移 ,我们感兴趣的是上表面 AB 上的位移.
2. 2 平均应变与位移关系
由于制造方便 ,应变片纵向平行于 x 轴 ,应变片电阻的变化与平均应变有关 , 因此要寻
εx
=
uF ( rF) cosθF - uE ( rE) cosθE | [ EF] |
(5)
式中 : uC 为 C 点的径向位移 ,可以通过表面上节点的轴向位移获得. 若考虑在应变片的面积
上作平均 ,将式 (5) 进行作 y 方向上的平均 ,即 :
H
G
∫ ∫ =
εx =
1 A EH [
u ( r) cos θ d y -
0. 010
0. 0009
5. 5 0. 76 6. 0 0. 88 1. 88 3. 88 4. 88
0. 088
0. 0016
4. 0 1. 00 6. 5 0. 05 2. 05 3. 23 5. 23
0. 010
0. 0094
9 0. 43 8 0. 60 1. 90 7. 52 8. 82 0. 014 (0. 4 MPamax)
图 2 膜片式压力传感器单元划分和计算模型
由于对称变形每节点有两个位移 , 分别是沿 r 轴的 u ( r , z) 和沿 z 轴方向的 w ( r , z) , 每
个单元内的位移用节点位移表示为 :
∑ u
m Ni 0
w
=
i =1
0 Ni
ui wi
(1)
式中 : Ni 为形函数 , ui , wi 分别为节点 i 沿 r , z 轴的节点位移.
Finite Element Analysis of Flat Diaphragm Pressure Sensor
REN J unguo , WANG Hongye , OUYANG Yong
(Dept . of Aerospace Technology & Materials Engineering , NUDT , Changsha , 410073 P. R. China)
这样就给传感器带来了误差 ,从而影响到传感器的精度.
设传感器的最大测量压力为 P ,此时输出为 U. 若测量到的压力为 f P ,其中 0 ≤f ≤1 ,以
线性方法显示 ,输出电压为 fU ,而真实电压应按式 (10) 计算 ,即为 :
U′=
U0 4
f
(ΔR2
R
+
ΔR3
R
-
ΔR1
R
-
ΔR4 )
R
(1
由于有限尺寸隔离基座的存在 ,ΔR1 和ΔR4 已延伸到边缘部分 ,薄板理论已无法分析 这些区域的应变. 在设计中采用这种理论计算结果与实验数据往往差异很大 ,应用时需作一 定修正 ,既不经济又延长了产品开发周期. 2. 1 有限元法求节点位移
本文采用有限元法把图 1 (a) 划分为若干单元 ,用高效轴对称四节点四边形单元[2]和八 节点轴对称单元[2]分析结构的位移 ,单元划分和计算模型如图 2.
性状态
下
,
与压力
P
图 4 电桥电路
成线性关系 ,于是输出电压与内压成正比. 对于体积较大的传感器在中心点附近拉应变 ,
R2 、R3 达最大 ,可以在压就变区找到与之相等的ΔR1 、ΔR4 的位置 ,这样可保证有高灵敏度
的输出 ,且又是保持线性关系. 然而对于微型传感器来说 ,要找到与中心区域ΔR2 、ΔR3 相等 的地方是很困难的. 为了保证有高灵敏度输出 ,必须找到平均应变最大的地方 ,即ΔR1 、ΔR4 变化最大的地方. 这样式 (9) 不再与内压 P 成线性关系 ,但工程上输出仍表示为线性关系 ,
4
所示 ,输入电压为
U0
, 输出电压为
U.
根据电桥电路 ,有以下关系 :
U
=
U0
( R1 + ΔR1) ( R4 + ΔR4) - ( R2 + ΔR2) ( R3 + ΔR3) ( R1 + R2 + ΔR1 + ΔR2) ( R3 + R4 + ΔR3 + ΔR4)
(9)
第 2 期 任钧国 ,王洪业等 :平膜片式压力传感器有限元分析 155
3 实 例
对多个规格的膜片按上述方法计算输出非线性时 ,下表列出了所获得的应变丝栅座标 值及传感器的实测数据 ,可见有很好的结果 ,该方法现已用于产品设计.
样 品a 号 1 6. 5 2 6. 5 3 6. 5 4 9. 5 5 7. 9 6 10
R2 座标
R1 座标
产测输出非线性 计算输出非线性
找平均应变εx ,εy 与位移的关系. 取坐标系 xoy 如图 3. 应变片中一条 EF (如图 3 所示) 平行 于 x 轴 ,取其上任一点的坐标为 P ( x , y) 或 ( r ,θ) .
1 5 4 传 感 技 术 学 报 2001 年
u ( r) cos θ d y ]
(6)
F
E
-
=
式中 : A EH为矩形 EH 的面积. 依次同样方法可得εx和εy .
-=
-=
若应变片沿 y 方向贴刻 ,采用同样的方法可得εx ,εx和εy ,εy .
2. 3 电桥分析
应变片电阻变化与平均应变的关系为 :
ΔR
=
-
Kε
(7)
R
其中 :ΔR 为电阻变化 , R 为初始电阻 , K 为传递函数 (由制造厂家给出 , 常规箔片应变片 K
即纵向应变灵敏系数 k) .
薄膜式应变片 ,电阻的变化与横向应变有一定的敏感性 ,因此有关系 :
ΔR
R
=
-
-
( Keεe + γKεt t)
(8)
-
-
式中 :γ为泊松比 ,εe和εt为纵向和横向平均应变 , Ke 和 Kt 为纵向及横向敏感系数 ,在线弹性
情况下ΔR
R
与内压成正比.
由应变片组成的电桥如图
0. 0067
1 5 6 传 感 技 术 学 报 2001 年
3 膜片尺寸单位为 mm ,材料常数 E = 2. 1 ×106 kg/ cm2 ,ν= 0. 3.
参考文献
[1 ] 王洪业. 传感器工程 ,[M]国防科技大学出版社 ,1997) [2 ] 任钧国 、熊龙飞. 高精度轴对称四节点四边形单元. [M]国防科技大学学报 ,2000 ;3 [3 ] Zienkiewicy O C. 有限元法. [M]科学出版社 (1981) [4 ] Watson R B. Influence of grid geometry on the output of strain gage based diagram Pressure transducers , M. M. Report[ R]
Abstract : After the relationship between radial and tangential strains and resistance changes of strain gage on the surface of elasticity pressure sensor is established by finite element method , the output voltage is related to the resistance changes in the electrical bridge , and the nonlinear precision of this kind of pressure sensor is analyzed. Key words : finite element ; pressure sensor ; nonlinear precision
b
t
H
r1
r2
r3
r4
( %)
( %)
5. 0 0. 71 4. 0 1. 30 2. 30 3. 85 4. 85 0. 015 (10 MPa 时)
0. 0050
5. 0 0. 71 4. 0 0. 80 1. 80 3. 85 4. 85
0. 080
0. 0004
5. 0 0. 71 4. 0 0. 00 1. 00 3. 85 4. 85
2 传感器的结构变形
① 来稿日期 :2000212226
图 1 膜片式压力传感器弹性元件简图
第 2 期 任钧国 ,王洪业等 :平膜片式压力传感器有限元分析 153
膜片式压力传感器弹性元件典型结构如图 1 所示. 在表面制作有四个应变片 ,组成一个 电桥. 在内压作用下 ,结构会发生微小变形 ,表面应变发生变化 ,使得四个应变片的电阻发生 相应变化 ,由电桥的不平衡输出对应电压信号. 从图 1 可知 ,结构和载荷是轴对称的 ,变形也 是轴对称的. 经典的设计方法 ,把膜片视为均布压力下周边固支圆板的变形 ,然后采用小挠 度理论 ,分析寻找ΔR1 与ΔR2 绝对值相同 、符号相反的两个应变片定位区域.
+
f
ΔR1
+ ΔR2 2R
)
(1+源自fΔR3+ ΔR4 2R
)
(11)
相对误差为 :
| U′- fU | ≈ f (1 - f ) D
(12)
式中 : D 为常数. 式 (12) 可以作为传感器精度分析的有效依据 , 在
f
=
1 2
时 ,误差达到最大.
在整个测量范围内 ,以此处的相对误差为整个传感器的相对误差.
在 P 点上的轴向应变为εr =
u r
,
环向应变为
εθ
=
u r
.
根据应变转换关系
, 在坐标系
xoy
下εx 与εr 、εθ 的关系为 :
图 3 应变片坐标系
εx = εr cos2 θ +εθsin2θ
(4)
平均应变为 :
∫ εx
=
|
1 [ EF] |
xF (εθsin2θ) d x
xE
在上表面 z 为常数 ,经积分运算得 :