优选空间向量的数量积运算课件

知 新 类似地，可以定义空间向量的
1)两个向量的夹角的定义:
数量积
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ . a
a, b =0 时, a 与 b 同向; a, b =π 时, a 与 b 反向. b
分别是AB，OC的中点，试求OE, BF 所成角
的余弦值. O
F
A
C
E
B
例 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆
王新敞 奎屯
P92.1.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，若
计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
(3) EF DC (4) EF AC
E
F
B
D
C
5.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
67、、已知空间四边形OABC，OB OC， AOB AOC ，求证：OA BC
O
A
C
例1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F
AB 2BB1, 则 AB1与C1B 所成角的大小
为多少？
D
A1
C1
B1
A
C
B
P92.2
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D'
C' 解： AC AB AD AA
A'
B' | AC |2 ( AB AD AA)2
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p
q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
优选空间向量的数量积运算课件
练习：如图，A、B、C是三个不共线的点，O是空间中任意
一点，M是AB的中点，若点P满足OP 1 (OA OB OC)，
3
（1）求证：P、A、B、C 四点共面；
O
（2）求证：M、P、、C三点共线.
C A
P
M
B
回顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
⑵ a b b a (交换律)
⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的数
a
对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例.
C
c
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D
a
b
A
B
CD a2 b2 c2
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条
线段对应的向量的数量积为零.
例 2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
例 2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
(a
b)c
a(b
c)
成立吗？也就
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
不直能 时， ，例 有如a b向 量a ca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
ak ) ? 也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
若对(于ab三)c 个 a均(b不c).为对0于的向数量a,ba,,bc,,c,
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
a b 的几何意义
A
a A1
B1
b
数量积
a
b
等于
a
的长度
a
B 与b
在
a
的方向上的投影 b cos 的乘积.
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
4
b
2 中,真命题是(D )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对 角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
| AB |2 | AD |2 | AA |2
D
C
2( AB AD AB AA AD AA)
A
B
42 32 52 2(0 10 7.5)
85.
| AC | 85.
P925..3已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
2
a
.
注：
性质②是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律 ⑴(a) b (a b)