湖北省黄石市阳新县2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

湖北省黄石市阳新县2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列语句：①角的对称轴是角的平分线．②两个能全等的图形一定能关于某条直线对称．③一
个轴对称图形不一定只有一条对称轴．④两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧．其中正确的个数有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.解分式方程2
x−1+x+2
1−x
=3时，去分母后变形正确的是()
A. 2+(x+2)=3(x−1)
B. 2−x+2=3(x−1)
C. 2−(x+2)=3
D. 2−(x+2)=3(x−1)
3.下列计算正确的是()
A. (−1)0=−1
B. (−1)−1=1
C. 2a−3=1
2a3
D. (−a)7÷(−a)3=a4
4.如图，∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；
③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
5.下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是()
A. x2+2x+l=x(x+2)+1
B. 3(a−2)−2a(2−a)=(a−2)(3−2a)
C. 6a−9−a2=(a−3)2
D. ab(a−b)−a(b−a)2=a(a−b)(2b−a)
6.甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲
比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x 千米/时．则所列方程是()
A. 6
3x +20=10
4x
B. 6
3x
=10
4x
+20 C. 6
3x
+20
60
=10
4x
D. 6
3x
=10
4x
+20
60
7.如图所示，AD，BE，CF分别是△ABC的角平分线，高线和中线，则下列
求△ABC的面积正确的公式是()
A. S△ABC=1
2BC⋅AD B. S△ABC=1
2
CA⋅BE
C. S△ABC=1
2
AB⋅CF D. S△ABC=BE⋅CE
8.一款智能手机的磁卡芯片直径为0.0000000075米，这个数据用科学记数法表示为()．
A. 75×108
B. 7.5×10−9
C. 0.75×10−9
D. 7.5×10−8
9.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x−3)(x+1)，则b,c的值为()
A. b=3,c=−1；
B. b=−6,c=2；
C. b=−6,c=−4；
D. b=−4,c=−6
10.根据图中数字的规律，则x+y的值是()
2
512
4
1772
6
37228
8
x y
A. 729
B. 550
C. 593
D. 738
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若a+b=7,ab=6,则a2+b2=________．
12.如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的
一条直角边重合，则∠1的度数为______．
13.如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入
球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，
那么该球最后将落入号球袋．
14.林林家距离学校a千米，他每天骑自行车上学需要b分钟(刚好准时到校)，若某一天林林从家
中出发迟了C分钟，则他每分钟应骑________千米才能不迟到．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一
点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，
则AE=__________cm．
16.如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段
BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是____________．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.计算：．
(1)(−2x)2•(2x+y)−4x2y；
(2)(−2
)2015×(1.5)2016(3)x(x2+x−1)−(2x2−1)(x−4)
3
(4)3(a−b)2+9(b−a)(b+a)
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
18. (1)分解因式：−4x 2+24xy −36y 2；
(2)分解因式：(2x +y)2−(x +2y)2．
(3)分解因式：(p −4)(p +1)+6
19. 解方程
(1)
3x 2−9+x x −3=1 (2)
1+2=42
20. 先化简，再求值：(x −1−3x+1
)÷x 2−4x+4x+1，其中x =−4．
21.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O.求证：OB=OC．
22.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各
运12趟可完成，需支付运费4800元，已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟．
(2)若单独租用一辆车，则租用哪辆车合算？
23.如图1：P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点．
(1)请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小(保留作图痕迹)；
(2)在图2中若△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是多少？
24.观察以下等式：
(x+1)(x2−x+1)=x3+13
(x+3)(x2−3x+32)=x3+33
(x+6)(x2−6x+62)=x3+63……
(1)按以上等式的规律，填空：(a+b)(__________________)=a3+b3；
(2)利用多项式的乘法法则，证明(1)中的等式成立；
(3)利用(1)中的公式化简：(x+y)(x2−xy+y2)−(x−y)(x2+xy+y2).
25.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，
PC，过点P作PD⊥AC于点D．
(1)如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；
(2)如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；
(3)如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：[分析]
根据轴对称的定义以及性质对各小题分析判断即可．
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应的角、线段都相等．熟练掌握对称轴的性质是解题的关键．
[详解]
解：①角的对称轴是角的平分线所在的直线，故①错误；
②两个能全等的图形不一定能关于某条直线对称，故②错误；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，故③正确；
④两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上，故④错误；
综上所述，正确的只有③共1个．
故选A．
2.答案：D
解析：解：方程变形得：2
x−1−x+2
x−1
=3，
去分母得：2−(x+2)=3(x−1)，
故选D
分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.答案：D
解析：
本题考查的知识点为：(1)0指数幂：任何非0数的0次幂等于1；(2)负整数指数幂：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数；(3)同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．分别根据0指数幂、负整数指数幂及同底数幂的除法法则进行逐一计算即可．
解：A.错误，(−1)0=1；
B.错误，(−1)−1=−1；
C.错误，2a−3=2
；
a3
D.正确．
故选D．
4.答案：B
解析：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.解题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加.∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，
加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④，
故选B．
5.答案：D
解析：
本题主要考查因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用因式分解的定义来判断．根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
解：A.多项式结果不是整式的积的形式，故选项错误；
B.3(a−2)−2a(2−a)=(a−2)(3+2a)，计算错误，故选项错误；
C.6a−9−a2=−(a−3)2，计算错误，故选项错误；
D.正确．
故选D．
6.答案：C
解析：
本题考查了分式方程的应用.找出数量关系及相等关系列方程是解题的关键.设甲的速度为3x千米/时，
乙的速度为4x千米/时，则甲走6千米的时间表示为6
3x 小时，乙走10千米的时间表示为10
4x
小时，根
据甲行驶时间+提前的20分钟=乙行驶10千米的时间列方程即可．
解：由题意得6
3x +20
60
=10
4x
．
故选C．
7.答案：B
解析：
根据三角形面积公式即可求解．
考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，关键是熟练掌握三角形面积公式．
∵BE是△ABC的高线，
∴求△ABC的面积正确的公式是S△ABC=1
2
CA⋅BE．
故选：B．
8.答案：B
解析：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000000075=7.5×10−9．
故选B．
9.答案：D
解析：
本题主要考查整式的乘法，可将2(x−3)(x+1)利用多项式乘多项式展开，再与原多项式比较即可求解b，c的值．
解：2(x−3)(x+1)
=2x2−4x−6，
=2x2+bx+c
故b=−4，c=−6．
故选D．
10.答案：C
解析：
考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x，再求y 即可．
解：∵5=22+1，12=5×2+2；
17=42+1，72=17×4+4；
37=62+1，228=37×6+6；
∴x=82+1=65，y=65×8+8=528，
x+y=65+528=593．
故选：C．
11.答案：37
解析：
本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键；
根据a2+b2=(a+b)2−2ab代入已知值即可解答．
解：∵a+b=7，ab=6，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=49−12=37．
故答案为37．
12.答案：75°
解析：
解：∵∠ACB=90°，
∴∠MCD=90°，
∵∠D=60°，
∴∠DMC=30°，
∴∠AMF=∠DMC=30°，
∵∠A=45°，
∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°，
故答案为75°．
根据三角形内角和定理求出∠DMC，求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠AMF，代入求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠AMF的度数．13.答案：1
解析：
本题考查了轴对称的知识；按要求画出图形是正确解答本题的关键．由已知条件，按照反射的原理画图即可得出结论．
解：如图，该球最后将落入1号球袋．
故答案为1．
14.答案：a
b−c
解析：
本题考查列代数式，由速度=总路程÷时间即可列式.解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
解：所用时间为：b−c．
∴林林的骑车速度为a
．
b−c
．
故答案为a
b−c
15.答案：3
解析：
本题考查的是全等三角形的判定与性质有关知识，根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC−CE，代入数据计算即可得解．
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等)，
在△FCE和△ABC中，
{∠ECF=∠B
EC=BC
∠ACB=∠FEC=90°
，
∴△ABC≌△FCE(ASA)，
∴AC=EF，
∵AE=AC−CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5−2=3cm．
故答案3．
16.答案：1.25
解析：
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质有关知识，取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
{BG =BH ∠MBG =∠NBH MB =NB
, ∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG =NH ，
根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，
此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，
∴MG =12CM =12×2.5=1.25，
∴HN =1.25．
故答案为1.25． 17.答案：解：(1)原式=4x 2(2x +y)−4x 2y ，
=8x 3+4x 2y −4x 2y ，
=8x 3；
(2)原式=−(23)2015×(32)2015×32，
=−(23×32)2015×32
， =−32；
(3)原式=x 3+x 2−x −(2x 3−8x 2−x +4)，
=x 3+x 2−x −2x 3+8x 2+x −4，
=−x 3+9x 2−4；
(4)3(a −b)2+9(b −a)(b +a)，
=3(a 2−2ab +b 2)+9(b 2−a 2)，
=3a 2−6ab +3b 2+9b 2−9a 2，
=−6a 2−6ab +12b 2．
解析：本题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是熟练掌握单项式乘以多项式的法则和多项式乘以多项式的法则以及乘法公式．
(1)先算乘方，然后计算单项式乘以多项式，最后合并同类项即可；
(2)逆用积的乘方即可简化运算；
(3)先算单项式乘以多项式，然后再计算多项式乘以多项式，再去括号，最后合并同类项即可；
(4)先根据完全平方公式和平方差公式将括号展开，然后再合并同类项即可．
18.答案：解：(1)原式=−4(x 2−6xy +9y 2)=−4(x −3y)2；
(2)原式=(2x +y +x +2y)(2x +y −x −2y)=3(x +y)(x −y)；
(3)原式=p 2−3p +2=(p −1)(p −2)．
解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)原式利用平方差公式分解即可；
(3)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19.答案：解：(1)3+x(x +3)=x 2−9
解得：x =−4，
经检验x =−4是分式方程的解；
(2)x −1+2(x +1)=4
解得：x =1，
经检验x =1是增根，分式方程无解．
解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解;
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
20.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1
=(x −1)(x +1)−3x +1⋅x +1(x −2)2
=x 2−1−3x +1⋅x +1(x −2)2
=(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x −2)2
=x+2x−2，
当x =−4时，原式=−4+2−4−2=−2−6=13．
解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.答案：证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
{BC=CB
AC=DB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠OCB=∠OBC，
∴BO=CO．
解析：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握直角三角形的判定方法是解决本题的关键．因为∠A=∠D=90°，BC=CB，AC=DB，所以Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，所以∠OCB=∠OBC，用等角对等边证OB=OC．
22.答案：解：(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：
12(1
x +1
2x
)=1，
解得：x=18，
经检验得出：x=18是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x=36，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
(2)设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
12a+12(a−200)=4800，
解得：a=300，
则乙车每一趟的费用是：300−200=100(元)，
单独租用甲车总费用是：18×300=5400(元)，
单独租用乙车总费用是：36×100=3600(元)，3600<5400，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
解析：本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
(1)假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据工作总量=工作时间×工作效率建立方程求出其解即可；
(2)分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．23.答案：解：(1)分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接
CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，则△PMN的周
长最小；
(2)连接OC、OD，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∠COD，
∴OC=OP=OD，∠AOB=1
2
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5cm，
∴DM+CN+MN=5cm，
即CD=5cm=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
解析：(1)分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，于是得到结论；
(2)连接OC、OD，由对称的性质得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，
∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结∠COB=∠POB，得出∠AOB=1
2
果．
本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
24.答案：(1)a2−ab+b2；
(2)证明：∵(a+b)(a2−ab+b2)
=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3
=a3+b3，
∴(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3，
∴(1)中的等式成立；
(3)原式=(x+y)(x2−xy+y2)−[x+(−y)][x2−x(−y)+(−y)2]
=x3+y3−[x3+(−y)3]
=x3+y3−x3+y3
=2y3．
解析：
本题主要考查了多项式乘以多项式和数式规律的知识点，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律．
(1)根据所给等式可直接得到答案(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3；
(2)利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；
(3)根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
解：(1)∵(x+1)(x2−x+1)=x3+13
(x+3)(x2−3x+32)=x3+33
(x+6)(x2−6x+62)=x3+63……
∴(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3．
故答案为a2−ab+b2；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.答案：解：(1)∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，
∴BA=BP，
∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，
∴∠BAP=60°，AP=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠PAC=30°，∠ACP=75°，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠DPC=15°；
(2)如图2，结论：∠DPC=75°，
证明：过点A作AE⊥BP于E，
∵∠1=30°，∠BAE=60°，
∴∠2=15°，又∠3=90°−75°=15°，∴∠APD=75°，
∴AE=AD，又AE=1
2AB=1
2
AC，
∴AD=1
2
AC=DC，
∴∠DPC=∠APD=75°；
(3)如图3，过点A作AE⊥BP于E．
∴∠AEB=90°，
∵∠ABP=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，
又∵BA=BP，
∴∠2=∠3=15°，
∴∠PAE=75°，
∵∠BAC=90°，
∴∠4=75°，
∴∠PAE=∠4∵PD⊥AC于点D，
∴∠AEP=∠ADP=90°，
在△APE和△APD中，
{∠AEP=∠ADP ∠PAE=∠4
PA=PA
，
∴△APE≌△APD，
∴AE=AD，
在Rt△ABE中，∠1=30°，∴AE=1
2
AB，
又∵AB=AC，
∴AE=AD1
2AB=1
2
AC，
∴AD=CD，
又∵∠ADP=∠CDP=90°，
∴∠DCP=∠4=75°，
∴∠DPC=15°．
解析：(1)根据α=60°，得到△ABP是等边三角形，求出AP=AC，得到∠APC=75°，得到答案；
(2)过点A作AE⊥BP于E，根据∠1=30°，得到∠2=15°，求出∠3=15°，证明AD=DC，得到∠DPC=∠APD；
(3)证明过程与(2)类似，可以求出∠DPC的度数．
本题考查的是几何变换即旋转的性质，掌握旋转的性质并正确找出对应关系是解题的关键，注意三角形确定的判定定理和性质定理的灵活运用以及直角三角形的性质的运用．。