概率统计条件概率
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1 28 29 1 28 29 30 30
…… ……
1 P( A30 ) 30
所以抓阄决定谁去看电影是公平的。 例6. 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨 号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已
知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解 设 A i 表示第i次拨通所需电话；
2 1 P B / A1 P B / A3 1 P B / A2 5 5
1 1 2 8 故 P( B) 1 3 5 5 15
2. 事件的划分 定义 设 S 是随机试验E 的样本空间
B1 , B2 , , Bn 是 E 一组事件
若： 1)
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 其中 P( A1 A2 An1 ) 0
证明 左面 P( An | A1 An 1 ) P( A1 An 2 An 1 )
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 ) P( A1 An2 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 0.9993
(方法二) 利用对立事件 A “三次都取到次品”
A A1 A2 A3 A1 下利用条件概率求做 A 1 A2 A1 A2 A3
例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警 系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别 为A 为0.92 , B 为0.93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的 概率为0.85, 求 1) B 失灵的条件下, A 有效的概率 2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率 解: P( A) 0.92 P( B) 0.93 P( B | A) 0.85
2) P( A B) 1 P( A B)
1 P( A B ) 1 P ( B A ) P ( A )
1 (1 0.85)(1 0.92) 0.988
例5. 设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影 票的机率是否相等？
解
设 Ai “第 i名学生抓到电影票”i 1,2,30
2 P( B | A) 3
.
例2 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% , 现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品 的概率。
解 设 Ai 表示产品是第i等品，i 1, 2,3.
则由已知得P( A1 ) 60%, P( A2 ) 30%, P( A3 ) 10%
B B
i
j
, i j
则 P Bi | A P Bi | A i 1 i 1
证
P B1 B2 | A
P B1 B2 A P A
P B1 A B2 A P A
二、乘法公式
定理 设 P( A) 0，则有 P( AB) P( B | A) P( A)
P( B) 0 ，则有 P( AB) P( A | B) P( B)
推广 三维 P( ABC ) P(C | AB) P( B | A) P( A)
其中 P( AB) 0
n 维 P( A A2 An ) 1
P A 0
结论：对一般古典概型问题，设 ns , nAB , nA 分别表示 试验E，事件AB，事件A所包含的基本事件数，则有：
P AB nAB ns P B | A nA ns P A
nA 0
定义：(严格的数学定义)设A,B为两事件，且 P A 0
P B | C 1 P B | C
Ⅲ 计算条件概率 (1) 在缩减样本空间中求事件概率 (2) 利用定义(公式)
逆事件
例1 盒子里有4只产品，其中3只一等品，一只二等品， 试验 E：依次取两只，做无放回抽样.事件 A: 第一次取 得一等品； 事件 B: 第二次取得一等品，求P( B | A) 。
A1B, A2 B, A3 B两两互斥
1 2 3
P( B) P( A1B) P( A2 B) P( A3 B)
1 由于 PA1 PA2 PA3 3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
B 表示不超过三次而接通所需电话；
1 1 1 3 P( B) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 10 10 10 10
例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率 解: 设 Ai “第 i 次抽到合格品”
1) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) 90 9 10 0.0083 98 99 100 2) 设 A “三次内取到合格品”
则 A A1 A1 A2 A1 A2 A3
且互不相容
例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率 解: P(A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
概率论与数理统计—第一章
随机事件及其概率
主讲教师：李金波
2012年5月
第一章
第四节
条件概率
一 、条件概率 二、乘法公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
Ⅰ 定义
引例：取一副牌，随机地取一张
(1) 问抽中的是K的概率 (2) 若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率 解 (1) B——抽中的是K
SA
S AB
}
(4,1) , (4,2) , (4,3)
6 2 由引例的结论得：P ( B | A) . 9 3
P( AB) 法二（公式法）由条件概率的公式 P( B | A) P( A) 1 1 nA C3C3 3 P ( A) 1 1 nS C4C3 4 1 1 nAB C3C2 2 P( AB) 1 1 nS 4 C4C3
P(A) 98 %
P( B A) 70 %
P(AB) P(A) P( B A)
0.98 0.7 0.686
例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警 系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别 为A 为0.92 , B 为0.93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的 概率为0.85, 求 1) B 失灵的条件下, A 有效的概率 2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率 解: 设 A＝“ A 系统有效”，B＝“ B 系统有 效” 由题意: P( A) 0.92 P( B) 0.93 P( B | A) 0.85 P( A B ) 1) P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( B ) P( B A ) P( A ) (1 0.85)(1 0.92) 1 1 0.829 P(B ) 1 0.93
B1
B4
A
Bi B j （互斥性）
S
B2
B3
2)• 1 B2 Bn S（完备性） B
则称 B1 , B2 , , Bn 是样本空间 S 的一个划分。 例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为
S 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 其中 B1 1, 2 ， 2 3 B
P( A1 ) 1/ 30 P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) 1 29 1
29 30 30
P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A1 A2 )
P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
互不相容
P AB1 P AB2 P A P A
P B1 | A P B2 | A
另：条件概率也同时满足概率的6个性质
例如：
P A B | C P A | C P B | C P AB | C 和事件
B3 4 , 5 , 6 是 S 的一个划分。
3 C 4 C 6 而 C1 百度文库 1, 2 ， ， 2 3 ， ， 3 5 ，
不是 S 的一个划分。
3. 全概率公式
定理 设随机试验 E 的样本空间 S， A 为 E 的任意一 个事件, B1 , B2 , , Bn 为 S 的一个划分, 且 P( Bi ) 0
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 右面
例3. 假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，
其中70% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机 的选出一名学生通过六级考试的概率。 解 设 A = “ 通过四级英语考试 ” B = “ 通过六级英语考试 ” 由题意, 可知
P AB 称 P B | A P A
为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。
Ⅱ 条件概率的性质 条件概率 P B | A满足概率公理化定义中的三个条件。
1.
P B | A 0
2.
P S | A 1
3. (可列可加性)设 B1 , B2 , 是两两互不相容的事件
4 P( B) 54
(2) A——抽中的是红桃
B——抽中的是K
定义 即求 P B | A —— 条件概率 1 P B | A 13 4 P B | A P B 54
分析：
1 1 54 P AB P B | A 13 13 54 P A
解 法一（缩减样本空间）为了能具体写出E的样本空
间S，将产品编号，1 , 2 , 3为一等品,4号为二等品,
以 (i, j ) 表示第一次，第二次分别取到 i号，j号。
S ={ (1,2) , (1,3) , (1,4) (2,1) , (3,1) , (3,2) , (2,3) , (2,4) (3,4)
P( A) 0
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 其中 P( A1 A2 An1 ) 0
n 维 P( A A2 An ) 1
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P ( A1 A3 ) P( A1 A3 ) P( A1 | A3 ) P ( A3 ) 1 P( A3 )
A3 A1 A2 A1 A3 A1 A3 A1
P ( A1 ) 0.6 2 P( A1 | A3 ) 1 P ( A3 ) 1 0.1 3
三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
1. 引例 有三个箱子，分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东
西如图所示。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一
球，求取得红球的概率.
解 设 Ai “球取自i 号箱” i 1, 2, 3
B “取得红球”
即 且
B A1B A2 B A3 B
…… ……
1 P( A30 ) 30
所以抓阄决定谁去看电影是公平的。 例6. 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨 号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已
知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解 设 A i 表示第i次拨通所需电话；
2 1 P B / A1 P B / A3 1 P B / A2 5 5
1 1 2 8 故 P( B) 1 3 5 5 15
2. 事件的划分 定义 设 S 是随机试验E 的样本空间
B1 , B2 , , Bn 是 E 一组事件
若： 1)
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 其中 P( A1 A2 An1 ) 0
证明 左面 P( An | A1 An 1 ) P( A1 An 2 An 1 )
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 ) P( A1 An2 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 0.9993
(方法二) 利用对立事件 A “三次都取到次品”
A A1 A2 A3 A1 下利用条件概率求做 A 1 A2 A1 A2 A3
例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警 系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别 为A 为0.92 , B 为0.93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的 概率为0.85, 求 1) B 失灵的条件下, A 有效的概率 2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率 解: P( A) 0.92 P( B) 0.93 P( B | A) 0.85
2) P( A B) 1 P( A B)
1 P( A B ) 1 P ( B A ) P ( A )
1 (1 0.85)(1 0.92) 0.988
例5. 设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影 票的机率是否相等？
解
设 Ai “第 i名学生抓到电影票”i 1,2,30
2 P( B | A) 3
.
例2 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% , 现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品 的概率。
解 设 Ai 表示产品是第i等品，i 1, 2,3.
则由已知得P( A1 ) 60%, P( A2 ) 30%, P( A3 ) 10%
B B
i
j
, i j
则 P Bi | A P Bi | A i 1 i 1
证
P B1 B2 | A
P B1 B2 A P A
P B1 A B2 A P A
二、乘法公式
定理 设 P( A) 0，则有 P( AB) P( B | A) P( A)
P( B) 0 ，则有 P( AB) P( A | B) P( B)
推广 三维 P( ABC ) P(C | AB) P( B | A) P( A)
其中 P( AB) 0
n 维 P( A A2 An ) 1
P A 0
结论：对一般古典概型问题，设 ns , nAB , nA 分别表示 试验E，事件AB，事件A所包含的基本事件数，则有：
P AB nAB ns P B | A nA ns P A
nA 0
定义：(严格的数学定义)设A,B为两事件，且 P A 0
P B | C 1 P B | C
Ⅲ 计算条件概率 (1) 在缩减样本空间中求事件概率 (2) 利用定义(公式)
逆事件
例1 盒子里有4只产品，其中3只一等品，一只二等品， 试验 E：依次取两只，做无放回抽样.事件 A: 第一次取 得一等品； 事件 B: 第二次取得一等品，求P( B | A) 。
A1B, A2 B, A3 B两两互斥
1 2 3
P( B) P( A1B) P( A2 B) P( A3 B)
1 由于 PA1 PA2 PA3 3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
B 表示不超过三次而接通所需电话；
1 1 1 3 P( B) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 10 10 10 10
例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率 解: 设 Ai “第 i 次抽到合格品”
1) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) 90 9 10 0.0083 98 99 100 2) 设 A “三次内取到合格品”
则 A A1 A1 A2 A1 A2 A3
且互不相容
例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率 2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次 内取到合格品的概率 解: P(A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
概率论与数理统计—第一章
随机事件及其概率
主讲教师：李金波
2012年5月
第一章
第四节
条件概率
一 、条件概率 二、乘法公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
Ⅰ 定义
引例：取一副牌，随机地取一张
(1) 问抽中的是K的概率 (2) 若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率 解 (1) B——抽中的是K
SA
S AB
}
(4,1) , (4,2) , (4,3)
6 2 由引例的结论得：P ( B | A) . 9 3
P( AB) 法二（公式法）由条件概率的公式 P( B | A) P( A) 1 1 nA C3C3 3 P ( A) 1 1 nS C4C3 4 1 1 nAB C3C2 2 P( AB) 1 1 nS 4 C4C3
P(A) 98 %
P( B A) 70 %
P(AB) P(A) P( B A)
0.98 0.7 0.686
例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警 系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别 为A 为0.92 , B 为0.93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的 概率为0.85, 求 1) B 失灵的条件下, A 有效的概率 2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率 解: 设 A＝“ A 系统有效”，B＝“ B 系统有 效” 由题意: P( A) 0.92 P( B) 0.93 P( B | A) 0.85 P( A B ) 1) P( A | B) 1 P( A | B) 1 P( B ) P( B A ) P( A ) (1 0.85)(1 0.92) 1 1 0.829 P(B ) 1 0.93
B1
B4
A
Bi B j （互斥性）
S
B2
B3
2)• 1 B2 Bn S（完备性） B
则称 B1 , B2 , , Bn 是样本空间 S 的一个划分。 例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为
S 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 其中 B1 1, 2 ， 2 3 B
P( A1 ) 1/ 30 P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) 1 29 1
29 30 30
P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A1 A2 )
P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
互不相容
P AB1 P AB2 P A P A
P B1 | A P B2 | A
另：条件概率也同时满足概率的6个性质
例如：
P A B | C P A | C P B | C P AB | C 和事件
B3 4 , 5 , 6 是 S 的一个划分。
3 C 4 C 6 而 C1 百度文库 1, 2 ， ， 2 3 ， ， 3 5 ，
不是 S 的一个划分。
3. 全概率公式
定理 设随机试验 E 的样本空间 S， A 为 E 的任意一 个事件, B1 , B2 , , Bn 为 S 的一个划分, 且 P( Bi ) 0
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 右面
例3. 假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，
其中70% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机 的选出一名学生通过六级考试的概率。 解 设 A = “ 通过四级英语考试 ” B = “ 通过六级英语考试 ” 由题意, 可知
P AB 称 P B | A P A
为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。
Ⅱ 条件概率的性质 条件概率 P B | A满足概率公理化定义中的三个条件。
1.
P B | A 0
2.
P S | A 1
3. (可列可加性)设 B1 , B2 , 是两两互不相容的事件
4 P( B) 54
(2) A——抽中的是红桃
B——抽中的是K
定义 即求 P B | A —— 条件概率 1 P B | A 13 4 P B | A P B 54
分析：
1 1 54 P AB P B | A 13 13 54 P A
解 法一（缩减样本空间）为了能具体写出E的样本空
间S，将产品编号，1 , 2 , 3为一等品,4号为二等品,
以 (i, j ) 表示第一次，第二次分别取到 i号，j号。
S ={ (1,2) , (1,3) , (1,4) (2,1) , (3,1) , (3,2) , (2,3) , (2,4) (3,4)
P( A) 0
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P( A2 | A1 ) P( A1 ) 其中 P( A1 A2 An1 ) 0
n 维 P( A A2 An ) 1
P( An | A1 An1 ) P( An1 | A1 An2 )
P ( A1 A3 ) P( A1 A3 ) P( A1 | A3 ) P ( A3 ) 1 P( A3 )
A3 A1 A2 A1 A3 A1 A3 A1
P ( A1 ) 0.6 2 P( A1 | A3 ) 1 P ( A3 ) 1 0.1 3
三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
1. 引例 有三个箱子，分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东
西如图所示。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一
球，求取得红球的概率.
解 设 Ai “球取自i 号箱” i 1, 2, 3
B “取得红球”
即 且
B A1B A2 B A3 B