材料科学研究中的数学模型

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例：
xL y= H −x
H
x L y
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常用的数学模型建模方法
（1）理论分析法 ¾ 理论分析法是指应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的 有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。 ¾ 理论分析方法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
（2）体积函数方程：
∂F ∂ (Fu ) ∂ (Fv ) ∂ (Fw) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ (ρV ) ∂P + V ⋅ ∇(ρV ) = − + μ ∇ 2V + ρg ∂t ∂y
（3）动量守恒方程：
(
)
（4）能量守恒方程：
∂ (ρcT ) + V ⋅ ∇(ρcT ) = ∇ 2 (λT ) + ρQ ∂t
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例
AnycastingTM 铸造仿真软件
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Anycasting TM 数学模型
（1）连续性方程：
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建模准备
建模假设
构造模型
模型求解
F T 模型应用 模型检验 T F 模型分析
数学模型的建立过程
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材料科学研究中的数学模型
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数学模型的定义
¾ 利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。
符号系统 系统特征 数量关系
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（3）构造模型 ¾ 在建模假设基础上，区分各物理量的意义，以及相互之间的系， 选择恰当的数学工具和构建方法对其进行表征，构造数学模型。
二维非稳态热传导 三维稳态热传导 热传导方程 （三维非稳态导热方程） 二维稳态热传导
A
C
B
S(B)=Area(B) S(C)=Area(C) S(A)=Area(A)
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基本假设：
（1）合金熔体为不可压缩流体，密度可按常数处理； （2）合金熔体的运动粘度为常数； （3）熔体始终以层流、无旋运动状态填充铸型； （4）由流体粘性而引起的耗散热忽略不计；
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A’
C’
A
C
S(A’)=Area(A’)
B’ B
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（3）类比分析法 ¾ 根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他 属性或关系也可能相似的一种方法。
A’ C’
B’
S(B’)=Area(B’) S(C’)=Area(C’) S(A’)=Area(A’)
定
性
定
量
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建立数学模型的步骤
（1）建模准备 ¾ 确立建模课题，就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的。
解析求解
解析（精确）解
数值求解 有限差分法 有限元法
数值（近似）解
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（5）模型分析 ¾ 对模型求解的数字结果，进行分析，例如稳定性分析或误差分析。如 若不符合要求，就修改假设条件重新建模，直到符合要求；如果符 合，还可以进行评价、预测或者优化等。 （6）模型检验 ¾ 模型分析符合要求之后，还需要回到客观实际中进行检验，若不符合， 仍需对模型进行修正，重新建模，直到获得满意的结果。 （7）模型应用 ¾ 模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型最客观、最公正的检验。
数学模型的分类
¾对实体的认识过程－描述性数学模型、解释性数学模型； ¾建立的数学方法－初等模型、图论模型、微分方程模型、随机模型等； ¾模型的应用领域－人口模型、环境模型、水资源模型、污染模型等； ¾模型的特征－静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型等； ¾对模型的了解程度－白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。
一维非稳态热传导
一维稳态热传导
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（4）模型求解 ¾ 构建数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和结构， 设计或选择求解模型的数学方法和算法，随后编写计算机程序或运用 与算法相适应的软件包，借助计算机对模型进行求解。
全面了解对象
为什么？
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（2）建模假设 ¾ 就是根据建模的目的对原型进行适当的抽象、简化，使之摆脱原来 的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。
主要特征
数学表达
系统特征
合
理
次要特征
加以忽略
A
C
S(A)=Area(A’) B
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（2）模拟方法 模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。 有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类 似的，就可以把后一种模型看做是原来模型的模拟。