第二章_固体结构-晶向晶面2.2

1 正交晶系d hkl＝ h 2 k 2 l 2 （ ） ＋（ ） ＋（ ） a b c
立方晶系 d hkl＝
a h ＋k ＋l
2 2 2
六方晶系 d hkl＝
1 4 h 2＋hk＋k 2 l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
必须注意：

按以上这些公式所算出的晶面间距是对简单晶胞而言的，如 为复杂晶胞（体心立方、面心立方），在计算时应考虑到晶 面层数增加的影响。例如在体心立方或面心立方晶胞中，上 下底面（001）之间还有一层同类型的晶面（002）故，实际 的晶面间距应为1/2d001。
求法1（平移法） 1） 确定坐标系
2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。 2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号， 负号记在上方 。
z [123] P1[012] P2
O1
O2
y
x
晶向指数还有如下规律：
（1）某一晶向指数代表一组在空间相互平行且方向一致的
所有晶向。 （2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。
仅对立方晶系适用！


立方系中OA、OB、OC边的晶向指数[100]、[010] 、[001]、[100]、[010]、[001]等六个晶向，由于 对称关系，它们的性质完全相同，用<100>表示。 <111>晶向族如右图。
六方晶系一些晶面的指数
a3 ＝－（a1＋a2）
六方晶系的晶面指数与晶向指数
2.3 晶面间距、晶面夹角和晶带定理
(1)晶面间距 两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间距，用d 表 示，从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l）面所交截的距离即是。
hkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小 晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
2.1.1 空间点阵与晶体点阵
阵点（结点）: 将质点抽象为规 则排列于空间的几何点
空间点阵: 阵点在三维空间规则 排列的阵列，简称点阵
晶体结构： 阵点是单个原子 空间格子: 用平行的直线将阵点 （离子或分子）时所构 连接起来构成的三维几何格架 成的空间阵列
空间点阵主要特征： 每个阵点具有完全相同的周围 晶格： 环境 将晶体点阵中的阵点
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表 示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号， 国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。
(1)晶向指数----[uvw]
1/2，1/3，2/3； 倒数为：2，3，3/2； 化简后（463）。

J C N E H O G B
K
F
MHND晶面截距： 1，∞， ∞ ； 倒数为：1，0，0； 化简后（100）。
A D
L
Y
M
X
晶面指数的例子
（010） （100）
Z Z
（120）
（102） （111）
Y Y
（321）
X X
立方点阵中一些晶面的面指数
用平行的直线连接起来， 构成三维几何格架
2.1.2 晶胞 组成点阵的具有代表性的基本单
元，称为晶胞
如何选取晶胞？应遵循下述原则
(1)对称性 选取的平行六面体应反映点阵的最高对称性； (2)相等性 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； (3)直角性 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多。 (4)最小性 在满足上述条件的情况下，晶胞体积应最小。
复习
第2章
固体结构
晶体：
是由质点(原子、分子、离子或原子团)结合 而成的、各向异性的均匀物体，具有一定的 熔点，生长良好时在三维空间呈有规则、周 期性重复排列，即长程有序的固体。
非晶体：原子无规则堆积，也称为 “过冷液 体” 。 晶体与非晶体可相互转化。
2.1晶体学基础
实际晶体中的质点(原子、分子、离子或 原子团等)在三维空间可以有无限多种排 列形式。为了便于分析研究晶体中质点 的排列规律性，可先将实际晶体结构看 成完整无缺的理想晶体并简化，组成所 谓的空间点阵。
三坐标系 a1，a2，c
120°
四轴坐标系 a1，a2，a3，c 120°
120°
（h k l）
（h k i l） i＝（h＋k）
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
[uv w]
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定 2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
例： OD为[101]； Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
EF为：[111]
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2.1.5 空间点阵与晶体结构的区别

空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只可能有14种类型； 晶体结构是指晶体中实际质点(原子、离子或分子) 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，晶 体结构的种类是无限的。

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第四讲 第2章 固体结构 ----晶向与晶面
理论上讲，晶面指数的个数是无限的，
只要能找到极端复杂的晶胞。但对实际的一 个晶体，晶面的数目是一定的。

晶面族： 原子排列和分布规律完全相同，仅空间位向不同的一组 晶面属于一个晶面族。用{hkl}表示。常存在对称性（ 立方晶系）高的晶体中。
在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符 号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直。即(hkl) ⊥ [uvw] ,h=u k=v l=w 如：[111] ⊥（111）、 [110] ⊥（110）、[100] ⊥（ 100）
晶系 (1)三斜 triclinic system (2)单斜 monoclinic (3)正交(斜方) rhombic (4)六方hexagonal (5)菱方(三角) trigonal (6)四(正)方 tetragonal (7)立方 cubic
2.1.4 布拉菲点阵
布拉菲（Bravais A） 按照“每个阵点的周 围环境相同”的原则， 用数学方法推导出能 够反映空间点阵全部 特征的单位平面六面 体只有14种，这14 种空间点阵也称布拉 非点阵。
例4：晶面指数的标注
截距——取倒数——化整数
例5：在一个面心立方晶胞中画出(012)和(122)晶面。
z
z3 (012) z3 O3 y4
z4 (122) O4 y3
X3 x4
y
x
(012)和(123)晶面的确定
例6：立方晶系晶面指数的标注
几点说明： 1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换; 2.若晶面与对应坐标平行，则截距为∞,在该坐标上 的指数为0. 晶面指数规律： (1)某一晶面指数代表了一组相互平行且无限大的 晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面 是以原点为对称中心，且相互平行的晶面。如 （110）和（110）互相平行。
晶面族{h k l}中的晶面数：
a）h k l三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有24组。 每组有两个指数相反、平行的晶面
3 ！ 4＝24组，如{1 2 3}
b）h k l有两个数字相等 且都≠0，则有12组 c) h k l三个数相等，有4组晶面两两平行，构成一个八面 体，如晶面族{111} d）h k l 有一个为0，则有12组 e) h k l 有一个为0，两个数字相等，有六组晶面 两两平行，构成一个十二面体 如晶面族{110} 又称为十二面体的面。 f) 有二个为0，则有3组，如晶面族{100}， 又称为六面体的面
231 231 312 312 3 1 2 312 321 321 321 32 1 ........
213 213 213 213 231 231
共24组等价面
OA为X轴，OB为Y轴，OC为Z轴；长度单位 a=b=c=1。 确定OD的晶向指数： 将坐标原点选在待定晶向上（O点），晶向指数 为[111]。 确定CE的晶向指数[11 1]

例1:立方晶系晶向指数的标注
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
A B E F G C
D
0
例2：在一个面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。
每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。
晶胞的大小和形状的表示方法
Z 1.以某一顶点为坐标原点 2.三个棱边为a 、 b 、 c 3.三轴间夹角α、β、γ 点阵常数 晶体参数 X
c


b
Y
a
2.1.3 晶系
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归 于7种类型，即7个晶系(system)。
晶面间距公式的推导
d hkl a b c cos cos cos h k l
2 2 2 h k l 2 d hkl cos 2 cos 2 cos 2 a b c
晶面位向
晶面指数确定了晶面的位向和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
h : k : l cos : cos : cos
cos2 cos2 cos2 1
2 2 2 h k l 2 d hkl cos 2 cos 2 cos 2 a b c
轴上截距为负数则在指数上加一负号 。
例3：
（1）截距r、s、t分别为3，3，5
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 （3）最小公倍数15，
z
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别 乘15得到5，5，3，
因此，晶面指标为（553）。
c a
b
y
x
Z
ABC晶面截距为：
(2)晶面指数-------（hkl）
确定晶面指数（hkl）的步骤如下 1. 设坐标：选定坐标系，以晶轴为坐标 轴X、Y、Z，以晶胞的边长为三坐标轴 的长度单位。坐标原点要离开要标定 的晶面。。 2. 求截距：求晶面在三个轴上的截距 3. 取倒数 4. 化整数：h、k、l 5. 加括号：（hkl），如果所求晶面在晶
112 112 1 12 1 1 2 112 121 1 21 121 共12组等价面 12 1 211 211 2 11 21 1 ....... 123 123 1 23 123 123 132 1 32 132 132
立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行；
（111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1
(100) (110) (111) 在点阵中的取向
思考题

晶体的晶面指数的个数有上限吗？例如 （111，100，1）这样的晶面有吗？
(3)六方晶系的晶面指数与晶向指数
确定步骤和立方晶系一样，但一般在标定六方 结构的晶向指数时选择四个坐标轴：a1、a2、a3、
c.其中a1、a2、a3处于同一底面上，且它们之间夹 角为120°、C轴垂直于底面。则有： 晶面指数（hkil）其中i=-（h+k） 晶向指数 [uvtw] 其中t=-（u+v）