控制系统的稳定性与快速性

1−ξ 2
γ 增加时σ%减小。 相位裕度γ可反映时域中超调量σ%的大小，是频域中的平 稳性指标。 通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振 荡得太厉害，以及调节时间不致太长 γ = 30° ~ 60°
2 γ 、ωc 与ts关系
二阶系统调节时间
t sω c = 3
ts = 3
ξω n
ξ
6 1 + 4ξ − 2ξ = tan γ
根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好 满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度 相位裕度和幅值裕度。 相位裕度和幅值裕度
1. 幅值裕度Kg 幅值裕度K
定义为Nyquist曲线与负实轴(-π)交点处的频率所对应的 幅值的倒数，即
1 Kg = G jωg )H( jωg ) (
ω=ωg 称为交点频率。 Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来 的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。 K
Im
正幅值裕度
稳定系统
1 Kg
1 ϕ Re
1 <1 Kg
正 相 位 裕 度
-1
γ
G(jω)
Im
Kg相同但稳定程度不同的两 条开环Nyquist曲线
Im
(-1,j0) (-1,j0)
Im
Im
Im
Re ω ω
Re
(-1,j0)
Re ω
(-1,j0)
Re ω
如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于s右半平面， 当ω从0→∞变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为 N(反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在s 右半平面上的极点个数P的关系为 M=P－2N M：闭环极点在s右半平面的个数 ：闭环极点在 右半平面的个数
第5章 控制系统的稳定性与快速性
5.1 稳定性和快速性的基本概念 5.2 Routh-Hurwitz判据 5.3 Nyquist稳定性判据 5.4 Bode图上的稳定性判据 5.7 稳定裕度 *5.8 二阶系统时域与频域之间的 关系
5.1 稳定性和快速性的基本概念
稳定指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平 衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能 力。 如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。
γ
由于
L(ω)
L(ωc ) = 20lg A ωc ) = 20lg1=0 (
正幅值裕度
故在Bode图中，相角裕度
ω
ωc Kg
表现为 L(ω)=0dB处的相 角Φ(ωc)与-180度水平线 之间的角度差。
φ(ω)
γ -π
正相位裕度
ωg
ω
Im
L(ω)
负幅值裕度
负相位裕度
Kg
ωc ω
γ -1 G(jω) 1 Kg
二阶系统的谐振频率 谐振峰值为
ω r = ω n 1 − 2ξ 2
Mr = 1 2ξ 1 − ξ 2
1 谐振峰值Mr 与σ%的关系 谐振峰值M σ%的关系
Mr 增加时， σ%也增加。 增加时， 也增加。 也增加 系统平稳性较差。 系统平稳性较差。 二阶系统Mr=1.2～1.5时, 对 应于σ% =20～30%， 系统 平稳性及快速性均较好。 工程上常用Mr=1.3作为设计 系统依据。
π
开环相频特性： A(ω ) = 在ω=ωc 时，A(ωc )=1
2 ωn
ω ω 2 + (2ξω n ) 2
A(ω c ) =
解得
2 ωn
ω c ω + (2ξω n )
2 c
2
=1
ωc = ωn
1 + 4ξ 4 − 2ξ 2
1 + 4ξ 4 − 2ξ 2 2ξ
ωc π π φ (ω c ) = − − arctan = − − arctan 2 2ξω n 2
2 Mr 、 ωb 与ts关系
ω b = ω n 1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4
t sω b = 3
ξ
1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4
给定Mr ， ts与ωb 成反比， 系统带宽越宽，则调节时间越短。
(-1,j0)
ω
0
ω
0
Re 它们具有相同的幅值裕度，但
系统I的稳定性不如系统II的稳 定性。因此需要增加稳定性的 性能指标，即相位裕度
I
II
2. 相位裕度
定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角 ，此 时ω=ωc 称为截止频率。
γ =π +φ(ωc )
γ ωc
相位裕度的含义为：如果系统截止频率ωc信号的相位迟后 再增大 度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后角称 为相位裕度。
Z = P−2N
若Z=0，则闭环系统稳定，
Z ≠0
则闭环系统不稳定 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性。 已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
N+ = 1
N− = 1Biblioteka Baidu
N = N+ − N− = 0
Z = P − 2N = 0
如果M为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。 如果开环传递函数包含积分环节，假设为λ型，则绘制开 环幅相曲线后，频率再从 径为无穷大的圆。 开始，反时针补画 0
+
λ 个半 4
例1 一个单位反馈系统，开环传递函数为 K G s) = 2 ( s (T +1 s ) 试用Nyquist判据判定系统的稳定性。 解 系统的开环幅相曲线如图所示。
(-) (+)
(-1,j0) A
C
B
ω
Bode图上的稳定性判据可定义为 图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数 为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相 频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
m
F
F
单摆系统稳定
a b c d
倒摆系统不稳定
e
设线性控制系统的闭环传递函数为
b sm +b sm−1 +b2sm−2 +L bm−1s +bm + 0 1 ( G s) = a0sn +a sn−1 +a2sn−2 +L an−1s +an + 1
闭环系统的特征方程为
a0s +a1s
n
n− 1
特征方程全部为负实部根的充分必要条件是 Routh表中第一列各值为正， 如Routh表第一列中出现小于零的数值，系统就 不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特 征方程式的正实部根的数目。
例5-1 判别特征方程为
s +10s +8s +17s +16s +5 = 0
5 4 3 2
的某系统稳定性。 解 利用Routh判据
闭环系统稳定 。
已知P=1 ，在L(ω)≥0时 相频曲线有一次从负到正 穿越-π线
N + = 1/ 2
Z = P − 2N = 0
闭环系统稳定 。
已知P=2, 在L(ω)≥0的范 围内,
N+ = 2
N− = 1
N = N+ − N− = 2 −1 = 1
Z = P − 2N = 0
闭环系统稳定
5.7 稳定裕度
负幅值裕度
1 ϕ Re
φ(ω)
-π
负相位裕度
ωg γ
ω
1 >1 不稳定系统 Kg
γ <0
二阶系统频域与时域的关系
二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系 二阶系统开环频率特性为
2 ωn G ( jω ) = jω ( jω + 2ξω n )
ω 开环幅频特性： φ (ω ) = − − arctan 2 2ξω n
5.3 Nyquist稳定性判据
若开环传递函数在s右半平面无极点时，当ω从0→∞变化时， 如果Nyquist曲线不包围临界点 不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定 稳定。 不包围临界点 稳定 如果Nyquist曲线包围临界点 包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定 不稳定。 包围临界点 不稳定 如果系统的Nyquist曲线经过 经过(-1,j0)点 ，则系统处于临界 经过 点 临界 稳定状态。
稳 定 区 临界 稳定
σ
5.2 Routh-Hurwitz判据
一. 系统稳定的必要条件
假设特征方程为
a0sn +a sn−1 +a2sn−2 +L an−1s +an =0 + 1
根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可 知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件： 特征方程的各项系数均为正。 特征方程的各项系数均为正。 含义：1 各项系数符号相同（即同号） 各项系数符号相同（即同号） 2 各项系数均不等于0（即不缺项） 各项系数均不等于 （即不缺项）
4 2
若γ 一定， ωc 与ts 成反比。 ωc 越大， ts 越短。 开环频域指标ωc 可反映系统响应快速性，是频域中的 快速性指标。
二阶系统闭环频域指标与动态性能指标的关系
图示为1类系统所对应的 典型闭环幅频特性。 1) 零频幅值A(0)： 指ω=0时的闭环幅频特性值。 2) 谐振频率指系统产生峰值时对应的频率。 3) 谐振峰值指在谐振频率处对应的幅值。 4)频宽 指系统的频率从0开始，对数幅频特性下降 -3dB(或幅值下降为 A(0) / 2 ) 时所对应的频率范围。
二. 控制系统稳定的充分必要条件
a0s +a s 1
n n− 1
+a2s
a0 a 1
n−2
+L an−1s +an =0 +
a4 a5 a6 a7 a8 L a9 L
Routh阵列
sn sn−1
a2 a3
sn−2 a31 a32 a33 a34 sn−3 a41 a42 a43 a44 L L L L s2 an−2,1 an−2,2 s1 an−1,1 s0 an,1
+a2s
n−2
+L an−1s +an = 0 +
特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。
jω
稳 定 区 不 稳 定 区 不 稳 定 区 s平面
系统稳定，则闭环系统 的极点全部分布在s平面 的左半平面； 系统不稳定，至少有一 个极点分布在s平面的右 半平面； 系统临界稳定，在s平 面上的右半平面无极点， 至少有一个极点在虚轴上。
ω Im
(-1,j0)
从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数P=0，因此闭环特征方程正 Re 实部根的个数
M = P−2N =2
故系统不稳定。
5.4 Bode图上的稳定性判据
L(ω) Im
(-) (+)
ω Re φ(ω) -π ω
s5 s4 s3 s2 s1 so a0 =1 a1 =10 a31 = 6.3 a41 = −7.6 a51 =19.6 a61 = 5 a2 =8 a3 =17 a32 =15.5 a42 = 5 a4 =16 a5 = 5
符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系 统不稳定。
三. Routh判据的特殊情况 判据的特殊情况
二阶系统的相位裕度为：
γ = π + φ (ω c ) = arctan
2ξ 1 + 4ξ 4 − 2ξ 2
1 相位裕度γ与超调量σ%的关系 相位裕度γ与超调量σ%的关系
γ与σ%都只是阻尼比ξ的函数。
γ = π + φ (ω c ) = arctan
σ =e
−
2ξ 1 + 4ξ 4 − 2ξ 2
ξπ
1. Routh表中某行的第一个元素为零，而其余各元素 均不为零或部分不为零。这时用一个很小的正数∆来 代替零元素，Routh表继续进行。
2. 如果Routh表中出现全零行，表明特征方程中存在一些绝 对值相同但符号相异的特征根，
这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对 辅助方程求导，用所得导数方程的系数代替全零行，便 可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出全部 Routh计算表。 辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同、符号相反 的根数。所有这些数值相同、符号相反的根，都可以从辅 助方程中求出。