2.2直接证明与间接证明ppt课件

其特点是“由因导果”.
用P表示已知条件、 已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的 结论.
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3
则综合法可用框 图表示如下：
… Qn Q
2
已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc.
由A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180° ②
由① ②，得 B = π . ③ 由a，b，c成等比数列，有
3
由余弦定理及③ ④ ，可得
b2 = ac. ④
b2 = a2 + c2 - 2accosB 即a2 + c2 - ac = ac,
（a - c）2 = 0. 因此a=c. 从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = π . 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
5
2.分析法(逆推证法或执果索因法)
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义, 公理等).
特点：执果索因
我们也可以用框图来表示分析法：
64
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
0

(1

a)a
≤
(1

a) 2

a
2


1 4
同理： (1 b)b ≤ 1 (1 c)c ≤ 1
4
4
以上三式相乘:(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤
1 64
与①矛盾 ∴假设不成立，原结论成立
14
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法 2.2.2 反 证 法
综合法和分析法，是直接证明中最基 本的两种证明方法，也是解决数学问题时 常用的思维方式.
1
1.综合法:(顺推证法或由因导果法)
一般地，利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立.
所以a=0,这与已知矛盾
故假设不成立，结论成立。
13
例2: 设0 < a, b, c < 1，
求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
证明：假设(1 a)b > 1 , (1 b)c > 1 , (1 c)a > 1
4
4
4
则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a > 1 ①
证明：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
``` 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 ) 是方程的两个根.
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2）= 0
因为x1 x2 x 0 x1 x2 0
语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以
进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的
形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定
理进行证明.
4
证明：由A，B，C成等差数列，所以 2B=A+C. ①
又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
3
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的
边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，
a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三
Biblioteka Baidu角形．
分析 •将A，B，C成等差数列，转化为符号
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理,得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
11
2.适宜用反证法证明的题型
（1）直接证明有困难 （2）否定或肯定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
12
例1：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
7
证明:要证 只需证:
a+b 2
a+b 2
ab ab
只需证: a + b 2 ab 0
只需证: ( a b )2 0
因为: ( a b )2 0成立
所以
a+b 2

ab成立
8
例题2 求证： 3 + 7 < 2 5.
证明：因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
难.
9
3.反证法(归谬法)
一般地，假设原命题不成立,经过正 确的推理，最后得出矛盾, 因此说明假 设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法
注：反证法是最常用的间接证法
10
1. 反证法的步骤：
否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立； 即假定原命题的反面为真；
只需证（ 3 + 7）2 <（2 5）2 . 只需证 10 + 2 21 < 20，
即证 21 < 5， 即证 21<25. 因为21<25成立，所以 3 + 7 < 2 5 成立.
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发，
逐步倒推回去，就是综合法.但由于我们很难
想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
6
分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、 直接证明需要用哪些知识不太明确具体时， 往往采用从结论出发，结合已知条件，逐 步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.
a+b 例1：不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明.