第6章弯曲变形

(2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段圆 弧线。
(3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。
2.梁位移的度量：
x
A
q
q v
F x
B
y
B1
①转角rotation ：梁横截面绕中性轴转动的角度q。
单位：rad，逆时针转动为正。
②挠度deflection ：梁横截面形心的竖向位移v。单位： mm。向上的挠度为正。
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 ⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 ⑥确定最大挠度和最大转角。
例一 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求
其挠曲线方程。
F
x
A
qmax
x
l
B fmax
y
解：建立坐标系如图
梁弯曲时的位移
x处弯矩方程为：M (x) F(l x)
(x) EI
2.数学依据：曲线 v= f (x) 的曲率为
1
(x)

v 1 v2
32

v' '
y
y
M M
M 0，v 0
x
3.挠曲线近似微分方程：


Leabharlann Baidu
1
(x)


v (1 v2 )3/ 2
v
M (x) EI
M M
M 0，v 0
x
EIv'' M (x)
2.支承条件与连续条件: 1) 支承条件：
y
y
y
v0
v0
v 0;v 0
2) 连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的
F
A
C
B
v
|
xC


v
|
xC

，q
|xC
q
|
xC

3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：
①建立坐标系，确定支反力。 ②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。 ③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④利用边界条件、连续条件确定积分常数。
EIv" Fb x l
Fbx2 EIv' 2l C1
EIv

Fbx 3 6l
C1x

D1
EIv" -F(x a) Fb x l
EIv' - F 2
(x a)2

Fbx 2 2l
C2
EIv

-
F 6
(x a)3

Fbx 3 6l
C2x

D2
x a时，v ' v '，则 C1 C2 ; v v ，则 D1 D2
x 0处，v 0，得 D1 D2 0;
x
l处，v

0，得
C1
C2
- Fb 6EIl
(l 2
b2 )
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
v Fbx (l 2 b2 x2 ) v F [ l (x a)3 x3 (l 2 b2 )x]
二、积分法求梁的挠曲线
梁弯曲时的位移
1. EIv'' M (x)
积分一次 EIv' M (x)dx C1 EIq —转角方程； 再积分一次 EIv ( M (x)dx)dx C1x C2 —挠曲线方程。
式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。
2EI
v Fx2 (3l x) 6EI
q m ax
qB

FL2 2EI
FL3
f m ax
vB
3EI
例二 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。 梁弯曲时的位移
x
F
A
B
a Cb
FA
l
FB
解： 1、求支反力
FA

Fb； l
FB

Fa l
AC段(0 x a)
CB段(a x l)
第六章 梁弯曲时的位移
第一节 概述 第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 第三节 叠加法求梁的位移 第四节 梁的刚度校核 提高梁的刚度措施 第五节 梁内的弯曲应变能
第一节 概述 一.研究弯曲变形的目的 1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构 件有足够的刚度，以保证正常工作。
列挠曲线方程并积分两次：
EIv" M (x) F (l x)
EIv'
Flx
Fx2 2
C1
EIv
-
FLx2 2

Fx3 6
C1x C2
由边界条件决定积分常数：
v'|x0 0 ，得：C1 0； v |x0 0 ，得：C2 0
转角和挠曲线方程分别为：
q v' Fx (2l x)
6EIl
6EIl b
v' Fb (l 2 b2 3x2 ) 6EIl
v' F [ l (x a)2 x2 1 (l 2 b2 )]
2EIl b
3
梁挠曲线大致形状的绘制
步 骤： (1)绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确 定挠曲线的大致形状及位置。 注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲 率也最大。
③挠曲线方程：挠度是位置坐标的函数— v=f(x)
④转角方程(小变形下)：转角是位置坐标的函数。q q (x) 转角与挠度的关系—q tgq dv f '( x )
dx
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程deflection equation
1.力学关系：梁平面弯曲时曲率： 1 M (x)
滑连续的曲线。
F
A
x
B
y
B1
注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑；
(2)梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变
形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系:
曲率公式的特征：
k 1 M (x)
(x) EI
(1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变形 的影响。
工程实例
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
2.利用弯曲变形
在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。
工程实例
车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解 车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
3.求解超静定问题。
二.基本概念
梁弯曲时的位移
1.梁的挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光
第三节 叠加法求梁的位移
梁弯曲时的位移
说明：
1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷 与它所引起的变形成线性关系。