湘教版初中数学八上二次根式的概念与性质课件

v gR
探索新知
1.二次根式的定义 上面所看到的一些数的算术平方根，如：
h 13 S 5 a
4.9
a h
gR 5
5
(a 0)
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式.
二次根号→
a ←被开方数
2.二次根式的特征： （1）从形式上看，带二次根号“ （2）从被开方数来看，a 0.
”；
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(
1 )2 ( 3
1 3
);
( 0)2 ( 0 )
猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出
( a)2(a 0) 的结论是什么？说说你的理由.
对于非负数 a，由于 a 是 a 的一个平方根，因些：
二次根式性质1： ( a )2 a（a 0）
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（4）由 x 1 0 得， x 1.
因此，当
x 1 时，二次根式
1
在实数范围内有意义.
x 1
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考考你：
（1）若 a - 5 b 2 0，求a、b的值；
解：由题意，得a-5=0，b+2=0.解得a=5.b=-2.
湘教版：八年级上册
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念与性质
意大利物理学家伽利略曾在比
萨斜塔塔顶上做过著名的自由
著
落体实验，验证了：“地球上
名
同一地点，不同质量的物体从
的 比
同一高度同时下落，如果除地
萨 斜
球引力外部考虑其他歪理的作
塔
用，那么它们的落地时间相同，
并且物体的下落距离h(m)与下
落时间t(s)之间的关系约为
h=4.9t2或
t
h
.
4.9
新课导入
问题
（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2， 则它的宽为（ ）m；13
（2）面积为S的正方形的边长为（ S ）；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关 系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=（ h ）.
练习一：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x2 (x为有理数)
解：二次根式有： 不是二次根式的有：
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4 a2 1
3 3 10 x2
( x为有理数)
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注意： （1）a 中，a必须是大于等于0的数或式子，否
则它就没有意义了； （2）尽管 4= 2，是一个整数，但仍应称为一个 二次根式；
（3）当a≥0时， a 表示a的算术平方根，而一个
非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有
≥0（a a≥0）.
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练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
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解（3）由 4 x 0 得， x 4.
因此，当 x 4 时，二次根式 4 x在实数范围内有意义.
（2）若2x 2 y 52 x 2 y 3 0，求x、y的值.
由题意，得 2x-2y-5=0， x-2y-3=0.
x=2，
解得
y=-
1 2
.
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试一试：请根据算术平方根填空.
( 4)2 ( 4 ) ; ( 2)2 ( 2 )
9 3， 即
32
3 ———
由于42 16， 因此
16 4， 即
42
4 ———
由于52 25， 因此
25 5， 即
52
5 ———
由于1.52 2.25， 因此 2.25 1.5， 即 1.52 —1—.5—
………………..
a a 根据上面的结果， 当a 0时， 你猜测：
2 ———
二次根式性质2： a2 a (a 0)
例2：计算
（1） ( 5)2 (2)(2 2)2
解：（1） ( 5)2 5 (2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
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做一做 ：
由于22 4， 因此 4 2， 即 22 ——2—
由于32 9， 因此
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4、例1 当x取什么值时，下面二次根式在实数范围内
有意义？
(1) x 1 解（1）由 x 1 0 得，x 1. 因此，当 x 1 时，二次根式 x 1在实数范围内有意义.
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5
5 a 0 （1） 5的平方根是_ __，0的平方根是__ __，正实数a的平方根是_____
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火 箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙 速度），才能克服地球的引力，从而将 飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇 宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v2=gR，其中重力加速度常数 g≈9.8m/s。若已知地球半径R，则第一 宇宙速度v是多少？
典例精析
例1 下列各式中，一定是二次根式的有 ()
① -3 ；②-2 a2 ; ③ a2 1 ; ④ a 1
分析： 判断二次根式应关注两点：（1）有 二次根号“ ”；（2）被开方数必须是 非负数.因而在所给出四个式子中，只有② ③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
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练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
解：
（1）由 x 6 0 得， x 6. 因此，当 x 6 时，二次根式 x 6在实数范围内有意义.
（2）由 x 7 0 得， x 7. 因此，当 x 7 时，二次根式 x 7 在实数范围内有意义.