离散数学课件_第四章_二元关系习题

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• R22┅ R2n • 即t(R1R2)⊇t(R1) t(R2) • (3)得证． • ２、(85页第１题) • 设｛Ａ1,Ａ2, ┄,Ａn｝是集合Ａ的划分，试 证明：｛Ａ1∩Ｂ，Ａ2∩Ｂ, ┄,Ａn ∩Ｂ｝ 是集合Ａ ∩Ｂ的划分． • 证明：因为Ａ1⊆Ａ • Ａ2⊆Ａ • ┄
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• •
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• ⅱ)证反对称性即证对 • (∀x)(∀y)(x,y∈A∧<x,y>∈R∩(AXA)∧ <y,x>∈R∩(AXA) →x=y)为真 • 上式= (∀x)(∀y)(¬(x,y∈A∧<x,y>∈R∩(AXA)∧ <y,x>∈R∩(AXA))∨x=y) • =(∀x)(∀y)(¬(x,y∈A)∨¬<x,y>∈R∨¬<x,y>∈ (AXA)∨¬<y,x>∈R ∨¬<y,x>∈(AXA)∨x=y) • =(∀x)(∀y)(( ¬(x,y∈A)∨¬<x,y>∈R∨ ¬<y,x>∈R∨x=y)∨(¬(x,y∈A)∨¬<x,y>∈(AXA) • ∨ ¬<y,x>∈(AXA)∨x=y)) • 而上式可由(∀x)(∀y)(( ¬(x,y∈A)∨¬<x,y>∈R∨ ¬<y,x>∈R∨x=y) ∨ (∀x)(∀y)((¬(x,y∈A)∨¬<x,y>∈(AXA) • ∨¬<y,x>∈(AXA)∨x=y))逻辑地推出
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• 4.(85页第６题) • 在等价关系图中，应如何识别等价类？ • 解：关系图中如果有孤立的结点，则它是 一个等价类； • 都不与其它结点相关联的相互联结的两个 结点构成一个等价类； • 都不与其它结点相关联的相互联结的三个 结点构成一个等价类； • 都不与其它结点相关联对角线相关联的四 个结点构成一个等价类
第四章 二元关系习题
练习
• １、(79页第３题) • R1,R2是集合Ｘ中的关系，试证明： • (1)r(R1R2)=r(R1) r(R2) • (2)s(R1R2)=s(R1) s(R2) • (3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2)（书上是等号） • 证明(1)左边=r(R1R2) • =R1R2 Ix • 右边= r(R1) r(R2) • =R1 Ix R2 Ix • =R1R2 Ix • (1)式得证。
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Ａn⊆Ａ 于是有Ａ1∩B⊆Ａ∩B Ａ2 ∩B ⊆Ａ∩B ┄ Ａn ∩B ⊆Ａ∩B 并且Ａ1∩BＡ2∩B ┄ Ａn ∩B =(Ａ1 Ａ2 ┄ Ａn) ∩B = A∩B. 对任何(Ａi∩B) ∩(Ａj∩B)=(Ａi∩Ａj) ∩B=Φ∩B= Φ (i≠j)
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• 证(2)左边=s(R1R2) • =(R1R2) (R1 R2) 〜 • = R1R2 R1〜 R2〜 • = (R1 R1〜) (R2 R2〜) • =s(R1) s(R2) • (2)得证。
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• 证(3)t(R1R2)⊇t(R1) t(R2) • t(R1R2)=(R1R2) (R1R2)2 ┄ (R1R2)n • 而(R1R2)2= (R1R2)o (R1R2) • =((R1R2)oR1) ((R1R2)oR2) • = R12R2oR1R1oR2R22⊇R12 R22 ┅ • • (R1R2)n ⊇R1n R2n • 于是有(R1R2) (R1R2)2 ┅ (R1R2)n ⊇ R1 R12┅ R1n R2 R22
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• 都不与其它结点相关联的正五角星构成一 个等价类；
• •
• 都不与其它结点相关联的正六角星构成一 个等价类； •
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• 上述图例中，省略了各结点上的自环，用 一条无向边代替一对方向相反的有向边． • 5.(85页第７题) • 设Ｒ是集合Ｘ中的关系，对于所有的xi,xj 和xk属于Ｘ，如果xiＲxj和xjＲxk就有xkＲxi • 则称Ｒ是循环关系，试证明当且仅当Ｒ是 一个等价关系，Ｒ才是自反的和循环的． • 证明：充分性设Ｒ是等价关系，来证明Ｒ 是循环的．(自反性是明显的)
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• 显然此式为真(已知条件)，于是 (∀x)(∀y)(x,y∈A∧<x,y>∈R∩(AXA)∧ <y,x>∈R∩(AXA) →x=y)为真 • ⅲ)再证R∩(AXA)是可传递的，即证 • (∀x)(∀y)(∀z)((x,y,z∈A∧<x,y>∈R∩(AXA )∧<y,z>∈R∩(AXA) → <x,z>∈R∩(AXA)) 为真,而上式 • = (∀x)(∀y)(∀z)(¬(x,y,z∈A)∨¬<x,y>∈R ∨¬<x,y>∈(AXA)∨¬<y,z>∈R∨ ¬<y,z>∈(AXA)∨(<x,z>∈R∧<x,z>∈(AXA)))
•
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• 3.(85页第２题） • 把n个元素的集合划分为两个类，共有多 少种不同的分法？ • 解：２个元素的有１种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2}},即2(2-1)-1 • 3个元素的有３种分法： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2}}即2(３-1)-1
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• =(∀x)(¬ x∈X∨<x,x>∈R1)∧ (∀x)(¬ x∈X∨<x,x>∈R2) • =T ∧ T=T利用全称量词对与的可分配性 • 自反性得证． • 再来证Ｒ1∩R2是对称的 • 用反证法，假设Ｒ1∩R2是不对称的，即 • (∃x)(∃y)(x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1∩R2 ∧ • <y,x>∉Ｒ1∩R2 ) • =(∃x)(∃y)(x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1 ∧<x,y>∈ Ｒ2 ∧(<y,x>∉Ｒ1∨<y,x>∉Ｒ2))
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பைடு நூலகம்
• 使用反证法同样可以证明Ｒ1∩R2 是可传递 的．即它是等价关系． • 再来证Ｒ1∩R2 至多有r1r2个类 • 因为对任意的x,y∈X和<x,y>∈R1 ∧ <x,y>∈R2＝x,y ∈C1i ∧ x,y ∈C2j • 其中i=1,2,┅,r1, j=1,2,┅,r2至多为r1r2 • 证毕．
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• 4个元素的有７种： • 即Ｃ1＝{{a1}, {a2 ,a3 ,a4}} • Ｃ2＝{{a2}, {a1 ,a3 ,a4}} • Ｃ3＝{{a3}, {a1 ,a2, a4}} • Ｃ4＝{{a4}, {a1 ,a2 ,a3 }} • Ｃ5＝{{a1,a2}, {a3 ,a4}} • Ｃ6＝{{a1,a3}, {a2, a4}} • Ｃ7＝{{a1,a4}, {a2 ,a3 }} 即2(4-1)-1 • 一般具有n个元素的集合分成两堆的分法 有2(n-1)-1种
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• 例如令R1={ <1,1>, <2,2>, <3,3>, <1,2>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <1,3>,<3,1>} • R2=Ix • R1oR2为所求． • 10.(95页第２题) • 如果Ｒ是集合Ｘ中的偏序关系,且Ａ⊆X,试 证明R∩(AXA)是A中的偏序关系． • 证明：即证R∩(AXA)是自反的，反对称的和 可传递的。
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• =(∃x)(∃y)((x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1 ∧<x,y>∈ Ｒ2 ∧<y,x>∉Ｒ1)∨(x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1 ∧ <x,y>∈R2∧<y,x>∉Ｒ2)) • =(∃x)(∃y)(x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1 ∧<x,y>∈ Ｒ2 ∧<y,x>∉Ｒ1) ∨ • (∃x)(∃y) (x,y∈X∧<x,y>∈Ｒ1 ∧ <x,y>∈R2∧<y,x>∉Ｒ2)(利用存在量词对∨ 的可分配性) • =F ∨F=F即假设不成立，对称性得证．
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• 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xiＲxk及xkＲxi(由Ｒ的可传递性和对称性得) • 即Ｒ是循环的． • 必要性：设Ｒ是自反的和循环的来证Ｒ是 个等价关系．实际上只要证Ｒ是对称的和 可传递的即可． • 对任何xi,xj和xk属于Ｘ和xiＲxj ，xjＲxk有 • xkＲxi及xiＲxi于是有xiＲxk即Ｒ是对称的和 可传递的． • 综上问题得证．
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• 对于任何x,y∈c1i则x,y∈c2j • 于是有<x,y>∈Ｒ1则<x,y>∈R2 • 即Ｒ1⊆R2充分性得证． • 再证必要性： • 设Ｒ1⊆R2，于是对任意<x,y>∈Ｒ1(等价 于x,y应属于Ｒ1造成的划分Ｃ1 的某一个类 c1i中,i=1,2,...n) • 则<x,y>∈R2，(等价于x,y一定属于Ｒ2造成 的划分Ｃ2 的某一个类c2j中,j=1,2,...m) • 必要性得证．
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• 对上式使用∨对∧的分配律，再利用全称 量词对∧的可分配性及已知条件，问题可 得证．
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• 6.(86页第７题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，试证 明：当且仅当Ｃ1中的每一个等价类都包含 于Ｃ2中的某一个等价类中，才有R1⊆ R2 • 证明：设Ｒ1和R2造成的划分分别是 • Ｃ1={c11 ,c12,┅, c1n} • Ｃ2={c21 ,c22,┅, c2m} • 对任意的c1i∈Ｃ1(i=1,...,n),在Ｃ2中都存在 • 某一个c2j(j=1,2,...,m)并且c1i⊆c2j
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• ８.(89页第２题) • 给定集合Ｓ={A1 ,A2,…, An}的覆盖，如何确 定此覆盖的相容关系。 • 解：其对应的相容关系为： • R= A1x A1 A2x A2 … Anx An • 9.(90页第７题) • 设集合Ｘ={1,2,3},求出Ｘ中的等价关系R1 • R2,使得R1OR2也是个等价关系． • 解：令R1是任何等价关系, R2是个恒等关 系即可．
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• ７.(86页第９题) • 设Ｒ1和R2是集合Ｘ中的等价关系，并分 别有秩r1和r2，试证明：Ｒ1∩R2也是集合X 中的等价关系，它的秩至多是r1r2。而 • Ｒ1R2不一定是集合X中的等价关系． • 证明：首先证明Ｒ1∩R2是等价关系 • 1)(∀x)(x∈X→ <x,x>∈R1∩R2) • =(∀x)(¬ x∈X∨(<x,x>∈R1∧<x,x>∈R2)) • =(∀x)((¬ x∈X∨<x,x>∈R1)∧(¬ x∈X∨ <x,x>∈R2))
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• ⅰ)证自反性，即证对(∀x)(x∈A→<x,x>∈ R∩(AXA))为真，而 • (∀x)(x∈A→<x,x>∈ R∩(AXA)) • ＝(∀x)(¬x∈A∨<x,x>∈ R∩(AXA)) • ＝(∀x)(¬x∈A∨(<x,x>∈ R∧<x,x>∈ (AXA))) • ＝(∀x)((¬x∈A∨<x,x>∈R) ∧(¬x∈A∨<x,x>∈(AXA))) • ＝ (∀x)(¬x∈A∨<x,x>∈R) ∧ (∀x)(¬x∈A∨<x,x>∈(AXA)) （全称量词对∧的可 分配性．） • ＝ (∀x)(x∈A→<x,x>∈R) ∧ • (∀x)(x∈A→<x,x>∈(AXA)) ＝T∧T=T自反性得证．