近世代数判断题

判断题
1.整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )
2.主理想环不一定是欧氏环,但主理想环一定是唯一分解环。

( )
3.若G 是60阶群,则G 有14阶子群。

( )
4.在多项式环R[x]中，两个多项式积的次数等于两个多项式的次数的和。

( )
5.设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。

( )
6.偶数环2Z 是整环。

( )
7.若N ∆H,H ∆G ，则N ∆G 。

( )
8.在5S 中，(12)(345)的阶是3。

( )
9.在整数环Z 中，(-3)是极大理想。

( )
10.有限群都同构于一个置换群。

( )
11.实数集R 关于数的乘法成群。

（ ）
12.设G 和G 都是群，G ϕ≅
G , G N ∆, N=1-ϕ(N )， 则N ∆G,且--≅N G N G //。

（ ）
13. 偶数环是有单位元的环。

（ ）
14. 设整环{}Z b a b a I ∈-+=,3, 则4在I 中是唯一分解元。

（ ）
15. 3次对称群3S 是循环群。

（ ）
16. 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：
A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；
B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；
C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；
D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

（ ）
17. 任何一个有限群都与一个循环群同构。

（ ）
18.若H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。

（ ）
19.若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且N
G ≅)(N G ϕ 。

( ) 20.设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。

（ ）
A ）R 中无零因子；
B ）R 的乘法适合左消去律；
C ）R 的乘法适合右消去律；
21．p （p 为质数）阶群G 是循环群． （ ）
22．任意群都同构于一个变换群． （ ）
23．剩余类环是一个整环 （ ）
24．整环（R ，＋， ）若对乘法成群，则这个整环是域 （ ）
25．若f(x)∈F[x], g(x)∈F[x], f(α)=g(α)=0,α
∈F , f(x)|g(x)。

（ ）
26.素数阶的群G 一定是循环群.( )
27.一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )
28.若ϕ是群G 到G 的同态满射,N 是G 的一个不变子群,ϕ
-1(N )表示N 的原象,则ϕ-1(N )是G 不变子群,且()G N ϕ-1≅G N 。

( )
29无零因子环R 的特征或是零或是一个素数。

( )
30.没有非平凡理想的环是除环。

( )
31.如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ-1[ϕ(a)]=a 。

( )
32.在整环中,左理想一定是理想。

( )
33.无零因子环的特征一定是素数。

( )
34.在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( )
35.设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果
(1). G 对乘法运算是封闭的;
(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。

( )
36.任意有限群都与一个交换群同构。

（ ）
37.设G 是60 阶群，则G 有40阶子群。

（ ）
38.群之间的同态关系是等价关系。

（ ）
39.环R 的主理想(a)={ra|r ∈R} 。

（ ）
40.在整环中，素元的相伴元是素元。

（ ）
41. 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：
(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的；
(B)∀a,b,c ∈G ，都有(ab)c=a(bc)成立；
(C) 存在e l ∈G ，使得∀a ∈G ，都有e l a=a 成立；
(D)∀a ∈G ，都存在a -1∈G ，使得aa -1=e l 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

( )
42. 若G 是一个n 阶群,a ∈G,|a|表示a 的阶,则|a|n 。

( )
43. 若N 1是群G 的不变子群,N 2是群N 1的不变子群,则N 2是G 的不变子群。

( )
44. 若ϕ是群G 到G 的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则ϕ(N)是G 的不
变子群,且G N ~G N ϕ()。

( )
45. 若(R,+,•)是一个环,且(R,•)也构成一个群,则(R,+,•)是一个除环。

46.设1N ≤G ，N 2≤1N ，则N 2≤G 。

（ ）
47.集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。

（ ）
48.设环（R ·,+ ·）≠{0},则R 的零元0也是环R 的单位。

（ ） 49.
若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

( )
50.设I 是一主理想环，则I 是一欧氏环。

（ ）
51、在整数集Z 上，定义“ ”：a b =ab (a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）
52、集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）
53、设G 是群，φ≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H ≤G. （ ）
54、若N N ，H G 那么NH G 。

（ ）
55、4阶群一定是交换群。

（ ） 56、4阶群一定是循环群。

（ ）
57、设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ ”，a b =a+b+ab (),(,, Q Q b a 则∈∀)
构成一个群。

（ ）
58、设G 是群，a, b ∈G , |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。

（ ） 59、14阶交换群一定是循环群。

（ ）
60、若一个循环群G 的生成元的个数为2，则G 为无限循环群。

（ ）
61、设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H =⋅⇔≤-1。

（ ）
62、设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H ⊇⋅⇔≤-1。

（ ）
63、设H ≤G ，K ≤G ，则HK ≤G 。

（ ）
64、阶为81的群G 中，一定含有3阶元。

（ ）
65、在4次对称群S 4中，6=（12）（324）的阶为6。

（ ）
66、设G 是一个n 阶群，m|n ，则G 中一定有m 阶子群存在。

（ ）
67、循环群一定是交换群。

（ ）
68、设G 是有限群，H ≤G ， 则|
|||||H G H G =。

（ ） 69、当m ≤n 时，一定有Z n ~ Z m 。

（ ）
70、设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，则 f(H) ∆-
G 。

（ ）
71、设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤-G 。

（ ）
72、因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

（ ）
73、6阶群是交换群。

（ ）
74、有理数加群Q 是循环群。

（ ）
75、阶为100的群一定含25阶元。

（ ）
76、阶为100的群一定含25阶子群。

（ ）
77、实数域R 上的n 阶矩阵环M n (R )有非平凡的理想。

（ ）
78、环2Z 与环3Z 是同构的,({}{}Z k k Z Z k k Z ∈=∈=|33,|22)。

（ ）
79、在Z[x]中，(-3, x )是极大理想。

（ ）
80、在 Z [x ] 中，(x )是素理想。

（ ）
81、在环R =4Z 中，)16(R 是域。

（ ）
82、在整环R 中，既约元一定是素元。

（ ）
83、在交换环R 中，极大理想一定是素理想。

（ ）
84、若R 是环，R a ∈，则（a ）=｛ra|r ∈R ｝ （ ）
85、商环)21(][i i Z +的特征是2。

（ ）
86、设f 是环R 到环'R 的环同态，I 是R 的一个理想，则f (I )是'R 的一个理想。

（ ）
87、商环)1(]
[2++x x x Z 是一个域。

（ ） 88、商环)2(][i i Z -是一个域。

（ ）
89、含2个元素的环是域。

（ ）
90、含7个元的环是交换环。

（ ）
91、一个有单位元的交换环的商环是有单位元的交换环。

（ ）
92、设R 是一个主理想环，I 是R 的一个素理想，I ≠｛0｝，则R/I 是一个域。

（ ）
93、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）
94、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）
95、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）
96、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）
97、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）
98、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）
99、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ） 100、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ）
101、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ） 102、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）
103、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ） 104、除环中的每一个元都有逆元。

（ ）
105、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ） 106、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）
107、域是交换的除环。

（ ）
108、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。

（ ）
109、设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。

（ ）
110、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（ ）
111、循环群的子群也是循环群。

（ ）
112、整环I 中的两个元素a ，b 满足a 整除b 且b 整除a ，则a ＝b 。

（ ） 113、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。

（ ）
114、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ）
115、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元10≠。

（ ）
116、指数为2的子群不是不变子群。

（ ）
117、在整数环Z 中，只有±1才是单位，因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。

（ ）
118、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。

（ ）
119、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。

（ ）
120、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。

（ ）
121、整环必是唯一分解环。

（ ）
122、在唯一分解环K 中，p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元。

（ ） 123、设K 是唯一分解环，则K 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。

（ ）
124、整数环Z 和环[]Q x 都是主理想环。

（ ）
125、K 是主理想环当且仅当K 是唯一分解环。

（ ）
126、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环[]P x 和Gauss 整环[]Z i 都是欧氏环。

（ ）
127、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。

反之亦然。

（ ）
128、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。

（ ） 129、设环>•+<,,R 的加法群是循环群,那么环R 必是交换环. （ ） 130、对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 131、剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ） 132、整数环是无零因子环，但它不是除环。

（ ）
133、⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. （ ） 134、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。

（ ）
135、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）
136、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ） 137、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。

（ ）
138. 一个阶是11的群只有两个子群。

（ ）
139. 设G 是群，H 1是G 的不变子群，H 2是H 1的不变子群，则H 2是G 的不变子群。

（ ）
140. 素数阶群都是交换群。

（ ）
141. 循环群的商群是循环群。

（ ）
142. 模27的剩余类环Z 27是域。

（ ）
143. 存在特征是2004的无零因子环。

（ ）
144. 在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

（ ） 145. 域是主理想整环。

（ ）
146. 域只有零理想和单位理想。

（ ）
147. 相伴关系是整环R 的元素间的一个等价关系。

( )。