《传热学》第三章 非稳态热传导

V 特征长度 lc = A
θ t − t∞ = = exp ( − Bi• Fo ) θ 0 t0 − t∞
温度呈指数 分布
θ θ0
θ t − t∞ = = exp ( − Bi• Fo ) θ 0 t0 − t∞
θ hA τ ln =− θ0 ρVc
Bi ⋅ Fo
应用集中参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
θ = e −1 = 36.8% θ0
上式表明：当传热时间等于
ρ Vc
hA
时，物体的过余
ρ Vc
温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 hA 为时间常数，也称弛豫时间，用 τ c 表示。
τc =
ρ Vc
hA
θ t − t∞ hA = τ) = exp(− θ 0 t0 − t∞ ρVc
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来 的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有 关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不 同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境 下时间常数也是不相同。 如果导热体的热容量（ ρcV ）小、换热条件好 （hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热 体的温度变化快，时间常数 ( ρVc / h A) 小
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的 温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚 2δ 、初温 t 0 、表面传热系数 t∞ h 、平板导热系数 ，将其突然置于温度为 λ 的流体中冷却。 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
δ λ δh Bi = = 1h λ
（1） 1/ h << δ / λ 这时，由于表面对流换 热热阻 1 / h 几乎可以忽略， 因而过程一开始平板的表 面温度就被冷却到 t ∞ 。 并随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近 于 t∞ 。
∂t Φ = ∂τ ρ c
⋅
φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边 界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源， 即： − ΦV = Ah(t − t )
∞
物体被冷却，∴φ应为负值
dt ρ cV = − Ah(t − t∞ ) dτ
适用于本问题的导 热微分方程式
方法二
Qτ =
∫
τ
0
Φ (τ )d τ = ( t 0 − t ∞ ) ∫ h A e
0 − hA τ ρVc
τ
−
hA τ ρVc
dτ
＝ ( t 0 − t ∞ ) ρ cV 1 − e （
）
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，计算式相同。
2、时间常数 方程中指数的量纲：
t − t∞ hA θ = = exp(− τ) θ 0 t0 − t∞ ρVc
设有任意形状的物体，其体 积为V、表面积为A、密度为 ρ、比热为c以及初始温度为 t0，突然放入温度为t∞的换热 系数为h的环境中。 求物体温度随时间变化的依 变关系
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
φc
h, t∞
建立数学模型－利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通 过表面与外界交换的热流量φc 。
方程式改写为：
dθ
hA dτ =− θ ρ Vc
dθ
hA dτ =− θ ρVc
积分 ⇒ ⇒
hA τ ∫θ0 = − ∫0 dτ θ ρVc
θ
dθ
⇒
θ hA τ ln =− θ0 ρVc
⇒
t − t∞ hA θ = exp(− = τ) θ 0 t0 − t∞ ρVc
过余温度比 傅立叶数
hA hV λ A2 ⋅ 2 τ τ= 其中的指数： ρ cV λ A V ρc h(V A) aτ = ⋅ = Bi ⋅ Fo 2 (V A) λ
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z , τ ) ;
Φ = f(τ )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
∂ ∂ ∂t ∂t ∂ ∂t ∂t & = ρc (λ ) + (λ ) + (λ ) + Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
教学内容与要求
【教学内容要点】 • 1、非稳态导热的概念和特点 • 2、集中参数法的处理方法 • 3、一维非稳态热传导问题的分析解 • 4、简单多维非稳态问题的分析解 • 5、半无限大物体的分析解 【教学要求】 • 1、理解非稳态导热的定义和正规状况阶段和非正规状况阶段的定义及特点 • 2、掌握Bi数和Fo数的定义和表达式 • 3、掌握Bi数对第三类边界条件无限大平板非问题导热的影响 • 4、掌握集中参数法的适用条件和计算方法 • 5、了解一维非稳态热传导问题的分析解 • 6、掌握用查诺莫图求解一维和多维非稳态热传导的方法 • 7、了解半无限大物体的概念和分析解
第3章 非稳态导热
3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法-集中参数法 3-3 典型一维物体非稳态导热问题的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导 热。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
当物体被冷却时（t >t∞）,由能量守恒可知 物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量
dt hA(t − t ∞ ) = - ρVc dτ
适用于本问题的 导热微分方程式
令：θ = t − t ∞ — 过余温度
⎧hAθ = - ρVc dθ 控制方程 ⎪ dτ ⎨ ⎪θ (τ = 0) = t − t = θ 初始条件 ⎩ 0 ∞ 0
Bi =
δ λ δh = 1h λ
1）毕渥数的定义：
δ λ δh Bi = = 1h λ
毕渥数属特征数（准则数）。 2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小 反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规 律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺 度。 毕渥数
3.2
零维问题的分析法－集中参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均 匀一致的分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只 与时间有关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关， 因此，也称为零维问题。 适用条件： 导热系数相当大；几何尺寸很小； 表面传热系数极低
3.2.1 集中参数法温度场的分析解
稳态热传导
• 深入讨论热量传递三种基本方式的规律。为了解决工程中的 传热问题，必须能够：1）准确地计算所研究过程中传递的 热流量；2）准确地预测物体中的温度分布。其中预测温度 分布是关键。 • 首先引出导热基本定律的最一般的数学表达式，然后介绍导 热微分方程及相应的初始条件，它们构成了导热问题完整的 数学描写。 • 在此基础上，针对几个典型的一维导热问题进行分析求解， 以获得物体中的温度分布和热流量的计算式。肋片是工程技 术中广泛采用的增加换热表面积的有效方法，本章将分析肋 片的导热问题并给出几个应用实例。具有内热源的导热在核 反应堆等工程领域应用较广，对一维的问题进行分析。最后 简要介绍多维问题导热问题温度分布的求解方法以及导热量 的计算方法。
Baidu Nhomakorabea 2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡。 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值． 着重讨论瞬态非稳态导热。
⎡ W ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ 2 ⎥⋅⎣m ⎦ hA W 1 ⎣m K⎦ = = = J s ρVc ⎡ kg ⎤ ⎡ J ⎤ 3 ⎢ 3 ⎥⋅⎢ K⋅kg ⎥[m ] ⎣m ⎦ ⎣ ⎦
即与 的量纲相同
τ
1
hA 若τ = ⇒τ =1 hA ρVc
ρVc
t − t∞ hA θ = exp(− = τ) θ 0 t0 − t∞ ρVc
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ∂τ ρcp
（3-1b）
初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例
f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数 1、导热量计算
瞬态热流量：
dt hA = − ρ cV ( t 0 − t ∞ ) Φ = − ρ cV e ρ cV dτ = ( t 0 − t ∞ ) hA e
− hA τ ρ cV − hA τ ρ cV
[W ]
导热体在时间 0－τ 内传给流体的总热量：
第3章 非稳态导热
许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化， 或确定其内部温度到达某一限值所需的时间。——非稳态导热 问题 本章讨论非稳态导热问题。首先简述非稳态导热的基本概念， 然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物 体以及多维问题的导热微分方程的分析解法。最后总结求解非 稳态导热问题的一般策略以及应用实例。 与稳态导热类似，非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬 时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传到热量的计算方 法。
温度分布主要 受初始温度分 布控制 温度分布主要 取决于边界条 件及物性
非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 两个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集中参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件 及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要 任务。 三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形 式统一表示为：
方法一
椐非稳态有内热源的导热微分方程：
λ ⎛ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎞ Φ ∂t ⎜ ⎟+ = + + ∂τ ρc ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ρc ⎝ ⎠
⋅
∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ 的一元函数，与坐标x、y、z无关，即
⎛ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ⎞ ⎜ 2 + 2 + 2⎟=0 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
t∞
（2）
δ / λ << 1/ h
这时，平板内部导 热热阻 δ / λ 几乎可以忽 略，因而任一时刻平板 中各点的温度接近均 匀，并随着时间的推 移，整体地下降，逐渐 趋近于 t∞ 。
Bi =
δ λ δh = 1h λ
（3）δ / λ 与 1 / h 的数值比较接近
这时平板中不同时刻的温度分 布介于上述两种极端情况之 间。 由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导 热的温度场的变化具有重要影 响。为此，我们引入表征这两 个热阻比值的无量纲数毕渥 数。
• 非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置 处的导热量是处处不同的；不同位置间导热量 的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时 间的变化，这是区别与稳态导热的一个特点。 • 对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题 的定量分析。
3 温度分布
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段