机械振动6连续系统的振动2杆的纵向振动概论

上式同样略去系数C.
7
(2) 杆两端自由 自由端的应力必须为零，由应力应变关系，两端应变为零：
u(0,t) u(L,t) 0
x
x
dU (0) dU (L) 0
dx
dx
U (x) C sin x D cos x
a
a
dU C cos x D sin x
dx a
a
a
C 0, D sin L 0
相比，由于前者端部附有质量，使其固有频率明显降低。
13
如果杆的质量相对附加质量很小，即 AL 1,
M
tan AL 1,
M
对应第一阶的1也为小值,
则tan 1 1,
12
AL
M
,
由此可估算基频：1
a L
1
EA LM
k M
Fra Baidu bibliotek
式中，k AE / L,为不计本身质量时杆的抗拉刚度，
这与单自由度系统的结果相同，说明在计算基频时，如果杆本
x)
(
a
)2U
(
x)
0
F(t) Asint B cost A,B由杆的初始条件确定
U (x) C sin x D cosx C, D, 由杆的边界条件确定
a
a
（确定杆纵向振动的形态，称为振型 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个 （下面讲述）
O 1
2
tan
2 3
2
3
2
12
1 0.86，
1
a1
L
0.86 L
E，
2 3.43，
2
3.43 L
E，
f ( )
tan tan 1
3
3 6.4373，
3
6.4373 L
E，
O 1
2
2 3 2
2
而一端固定一端自由的杆的固有频率为i
(2i 1)
2L
E
1
2L
E，
2
3
2L
E，
3
5
2L
E，
的固有频率和固有振型。
O
解：上端固定，其边界条件：
L EA
u(0,t) 0, U (0) 0,
下端附质量M，在振动时产生对杆端的惯性力
M
：
u ( L, t )
2u( L, t )
EA x
M
t 2
,
x
而 u(L,t) dU (L) F (t),
x
dx
2u( L, t ) t 2
U
(L)F(t)
a
sin L 0
a
L i
a
i
ia
L
i
L
E
(i 1,2,)
所以振型函数：
Ui
(x)
cos
i x
a
cos
i x
L
(i 1,2)
上式同样略去系数C.
8
(3) 杆一端固定，另一端自由 这时，边界条件：
U (0) 0, dU(L) 0 dx
U (x) C sin x D cos x
a
a
dU C cos x D sin x
dx a
a
a
D 0, C cosL 0 cosL 0
a
a
L (i 1)
a
2
i
(2i 1)
2L
E
(i 1,2,)
所以振型函数：
Ui
(x)
sin
i x
a
sin (2i 1) x
2L
(i 1,2)
上式同样略去系数C.
9
两端固定、两端自由和一端固定一端自由的杆的前三阶振型：
2U
(L)F
(t),
EA dU (L) 2MU (L),
dx
U (x) C sin x D cosx
a
a
D 0, EA cos L 2M sin L ,
aa
a
11
D 0, EA cos L 2M sin L , U (x) C sin x D cosx
aa
a
a
a
tan L EA L tan L AL 质量比
x
3
f (x,t)
0 x dx L
x
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： N(x,t) A(x)E A(x)E u
x
由牛顿定理：
Adx
2u t 2
N x
dx
f
( x, t )dx
代入，得：
(
x)
A(
x)
2u t 2
x
A( x) E
u x
f
( x, t )
6
(1) 杆两端固定 固定端的变形为零，所以边界条件：
U (0) U (L) 0
U (x) C sin x D cos x
a
a
D 0, C sin L 0
a
sin L 0
a
L i
a
i
ia
L
i
L
E
(i 1,2,)
所以振型函数：
Ui (x)
sin
i x
a
sin
i x
L
(i 1,2)
杆的纵向强 迫振动方程
对于等直杆，, A为常数 有：
2u t 2
a2
2u x2
1
A
f
( x, t )
a E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度
4
等直杆的纵向自由振动：
f (x,t)
x
2u t 2
a2
2u x 2
a E/ 0
L
要求解，同样需要两个初始条件和两个边界条件。
假设杆的各点作同步运动，即设 ：
x
f (x,t) dx L
dx
u u dx
x
x
u f (x,t)dx
N
N N dx
x
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
dx
x
Adx
2u t 2
横截面上的内力： N(x,t) A(x)E A(x)E u
x
由牛顿定理：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
f
( x, t )dx
N dx f (x,t)dx
u(x,t) U (x)F(t)
F(t) 表示运动规律的时间函数
U (x)表示杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅 代入，得： F(t) a2 U (x)
F (t) U (x)
5
F(t) a2 U (x) 记： 2
F (t) U (x) 通解：
F(t) 2F (t) 0
U
(
U1(x)
U1(x)
U1(x)
x
x
x
U 2 ( x)
U 2 ( x)
U 2 ( x)
x
x
x
U 3 ( x)
U 3 ( x)
U 3 ( x)
x
x
x
Ui (x)
sin
i x
L
,
Ui
(x)
cos
i x
L
,
U
i
(
x)
sin
(2i
1)
2L
x
10
例6.2-1 求上端固定、下端有一质量块M的等直杆作纵向振动
第六章 连续系统的振动 6.2 杆的纵向振动
讨论直杆的纵向振动
0
f (x,t) L
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
杆参数： 杆长 L， 截面积 A(x)
材料密度(x) 弹性模量 E
f (x,t) 杆上分布的纵向作用力
杆各处x的纵向位移为 u(x,t)
x
2
微段分析
0
a aM
a aM
由上式可以求出无穷多个固有频率，有无穷多对应的振型。
也可以通过作图求出固有频率：
设质量比 AL / M 1, L / a,
f ( )
tan 1/ ,
1 0.86， 2 3.43，3 6.4373，
1
a1
L
0.86 L
E，
2
3.43 L
E，
3
6.4373 L
E，
tan 1