正规子群与商群
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∴H G
2.2.2 正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup)
定理:设H是G的子群，则以下几个命题是相互等价 的。 (1) a ∈G，有aH= Ha（即H G） (2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H (4) a ∈G，有aHa-1= H
例. 考虑4次对称群S4，令 K4={(1)，(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)}， 则易证K4是S4的一个子群，而且是正规子群。 但H={(1)，(1 2 4)，(1 4 2)}是S4的子群，不是正规 子群。 正规子群还有以下性质: (1)设A G，B G，则A∩B G，AB G (2)设A G，B≤G，则A∩B B，AB≤G (3)设A G，B G，且A∩B={e}，则 a∈A， b∈B，有ab=ba
证明: (1)(2)： a∈G， h∈H，有ah ∈Ha，推出ah=h1a， 所以aha-1=h1 ∈H (2) (3)： aha-1∈H，得到 aHa-1 H (3) (4)： a∈G，有aHa-1 H，也有a-1Ha H; 又 h ∈H，有aha-1=h1 ， ∴h=ah1a-1 ∈ aHa-1， ∴ H aHa-1， ∴ aHa-1=H (4) (1)： aHa-1=H，得(aHa-1)a=Ha， aH=Ha
2.2.3 商群(Quotient Group)
设H G，则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集 合相等，记做G/H。
G/H={aH|a∈G}={Ha|a∈G} 定义 由H确定的G中的元素间的等价关系～为同余 关系： a～b a-1b ∈H a≡b(modH) 则每一个陪集记做a =aH，称为模H的一个同余类， 故 G/H={ a | a∈G }。
( 2.2 Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
§2.2 正规子群与商群
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法: aH，bH∈G/H， aH· bH ={ah1bh2|h1，h2∈H} 是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH· H=H · aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推论3 有限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End
定义:设H≤G， a∈G，若aH＝Ha，则称H为G的正规 子群(不变子群)，记做H G。
例1. 对称群S3的子群H={(1)(1 2 3)(1 3 2)}是它的正规 子群，而子群{(1)(1 2)}及{(1)(13)}， {(1)(2 3)}都不 是它的正规子群。 例2. 任意群G的两个平凡子群G和{e}都是G的正 规子群。 G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。 若G≠ {e}，但G中除G 和{e}外无其它正规子群，则 称G为单群。
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0, 1, 2, , m 1 }， 即整数模m的同余类群。 一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。 根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
例3. 交换群G的任意子群H显然都是正规子群。
例4. 群G中所有与G的任意元能够交换的元构成G的 一个正规子群。这是G的一个重要的正规子群， 叫做G的中心，记做C(G)
C(G)={x| x∈G，xa=ax， a∈G }。 例5. 群G中指数为2的群必为正规子群。
事实上，设H≤G，[G:H]=2，取a∈G \ H，则 H∩aH=φ， H∩Ha=φ， 又G=H∪aH，且 G=H∪Ha，由陪集性质得aH= G \ H=Ha。
2.2.2 正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup)
定理:设H是G的子群，则以下几个命题是相互等价 的。 (1) a ∈G，有aH= Ha（即H G） (2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H (4) a ∈G，有aHa-1= H
例. 考虑4次对称群S4，令 K4={(1)，(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)}， 则易证K4是S4的一个子群，而且是正规子群。 但H={(1)，(1 2 4)，(1 4 2)}是S4的子群，不是正规 子群。 正规子群还有以下性质: (1)设A G，B G，则A∩B G，AB G (2)设A G，B≤G，则A∩B B，AB≤G (3)设A G，B G，且A∩B={e}，则 a∈A， b∈B，有ab=ba
证明: (1)(2)： a∈G， h∈H，有ah ∈Ha，推出ah=h1a， 所以aha-1=h1 ∈H (2) (3)： aha-1∈H，得到 aHa-1 H (3) (4)： a∈G，有aHa-1 H，也有a-1Ha H; 又 h ∈H，有aha-1=h1 ， ∴h=ah1a-1 ∈ aHa-1， ∴ H aHa-1， ∴ aHa-1=H (4) (1)： aHa-1=H，得(aHa-1)a=Ha， aH=Ha
2.2.3 商群(Quotient Group)
设H G，则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集 合相等，记做G/H。
G/H={aH|a∈G}={Ha|a∈G} 定义 由H确定的G中的元素间的等价关系～为同余 关系： a～b a-1b ∈H a≡b(modH) 则每一个陪集记做a =aH，称为模H的一个同余类， 故 G/H={ a | a∈G }。
( 2.2 Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
§2.2 正规子群与商群
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法: aH，bH∈G/H， aH· bH ={ah1bh2|h1，h2∈H} 是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH· H=H · aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推论3 有限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End
定义:设H≤G， a∈G，若aH＝Ha，则称H为G的正规 子群(不变子群)，记做H G。
例1. 对称群S3的子群H={(1)(1 2 3)(1 3 2)}是它的正规 子群，而子群{(1)(1 2)}及{(1)(13)}， {(1)(2 3)}都不 是它的正规子群。 例2. 任意群G的两个平凡子群G和{e}都是G的正 规子群。 G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。 若G≠ {e}，但G中除G 和{e}外无其它正规子群，则 称G为单群。
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0, 1, 2, , m 1 }， 即整数模m的同余类群。 一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。 根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
例3. 交换群G的任意子群H显然都是正规子群。
例4. 群G中所有与G的任意元能够交换的元构成G的 一个正规子群。这是G的一个重要的正规子群， 叫做G的中心，记做C(G)
C(G)={x| x∈G，xa=ax， a∈G }。 例5. 群G中指数为2的群必为正规子群。
事实上，设H≤G，[G:H]=2，取a∈G \ H，则 H∩aH=φ， H∩Ha=φ， 又G=H∪aH，且 G=H∪Ha，由陪集性质得aH= G \ H=Ha。