第三章 公开密钥密码学
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计算机网络安全技术
第三章 公开密钥密码学
第三章 公开密钥密码学
• 对称密钥密码体制存在的问题
密钥分配问题 N(N-1)/2个密钥 层次式密钥结构并未根本解决问题 EKm[Ks]，EKs[M] 签名验证问题
南京理工大学计算机科学与技术学院
第三章 公开密钥密码学
• 公开密钥密码体制的概念是在解决对称密钥密码体制 中的密钥分配与数字签名问题时提出的。
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 这些要求本质上在于设计一个陷门单向函数。
敌手即使知道公开密钥KUb和密文C，要想恢复原来的报文 M在计算上是不可行的； 加密和解密函数可以以两个次序中的任何一个来使用： M = DKRb[EKUb(M)] = EKUb[DKRb(M)]
p
即，每个合数都可以唯一地分解出素数因子。 例如： 91 ＝ 7×13 3600 ＝ 24×32×52
P
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பைடு நூலகம்
§3.2.1 RSA的数论基础
• 互素
若gcd(a, b) = 1，则称a和b互素。 如果a和b都是整数，而m是一个固定的正整数，则当m|ab时，称a和b模m同余，记为a b(mod m)。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码系统：加密与鉴别
源点A X Y Z 终点B
报文源点
加密算法
加密算法
解密算法
Y
解密算法
X
报文终点
KUb
KRb
密钥对 产生源
KRa
KUa
密钥对 产生源
Z = EKUb[EKRa[X]] X = DKUa[DKRb[Z]]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
解密 接收方B收到该报文后，使用其私有密钥解密报文，而 其他所有收到该报文的人都无法解密报文，因为只有 B 才有 B的私有密钥。 P = DKRb[C]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 密码学中使用的符号约定
参与方B容易通过计算产生出一对密钥（公开密钥KUb，私 有密钥KRb）； 在知道公开密钥KUb和待加密报文M的情况下，发送方A可 以很容易通过计算产生对应的密文，即 C = EKUb(M) 在计算上是容易的； 接收方B使用私有密钥KRb容易通过计算解密所得到的密文， 以便恢复原来的明文，即 M = DKRb(C) = DKRb[EKUb(M)] 在计算上是容易的； 敌手即使知道公开密钥KUb，要确定私有密钥KRb在计算上 是不可行的；
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§3.2 RSA公钥密码
• RSA算法是由MIT的Ron Rivest、Adi Shamir和Len Adleman于1977年研制并于1978年首次发表的一种 算法，且成为惟一被广泛接受并实现的通用公开密钥 加密方式。 • RSA是一种分组密码，其中的明文和密文都是对于某 个n的从0到n-1之间的整数。
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§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 陷门单向函数是一族可逆函数fk，满足
• 因此，研究公钥密码算法就是要找出合适的陷门单向 函数。
当已知k和X时，Y = fk(X)易于计算； 当已知k和Y时，X = fk-1(Y)易于计算； 当已知Y但未知k时，求X = fk-1(Y)在计算上是不可行的。
• 公开密钥密码系统：鉴别
密码分析者 源点A
ˆR K a
终点B
报文源点
X
加密算法
Y
解密算法
X
目的端
KRa
KUa
密钥对 产生源
Y = EKRa[X] X = DKUa[Y]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
报文是用A的私有密钥进行加密的，只有A才能发送该报文， 因此整个加密报文可以被当作A的数字签名，得不到A的私 有密钥就不可能对报文进行改动。 所以，在实现数据完整性的同时，还实现了发送方的鉴别。
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§3.1.2 公开密钥密码系统的应用
• 各种公开密钥密码系统的应用范围
算法 RSA Diffie-Hellman DSS 加密/解密 是 否 否 数字签名 是 否 是 密钥交换 是 是 否
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§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 公开密钥密码算法必须满足以下条件
1976年，W. Diffie与M. E. Hellman首次提出公开密钥密 码体制的概念。
• 公钥密码体制的出现在密码学历史上是迄今为止最大 的、而且是惟一真正的革命。
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第三章 公开密钥密码学
• • • • • §3.1 公开密钥密码系统原理 §3.2 RSA公钥密码 §3.3 公开密钥管理 §3.4 Diffie-Hellman密钥交换协议 §3.5 ElGamal公钥密码体制
常规加密中使用的秘密密钥Km（m是修饰符） 例如，AB之间的秘密密钥Kab，会话密钥Ks 公钥加密中使用的公开密钥KUa、私有密钥KRa 加密 EKab[P]、EKUb[P]（加密）、EKRa[P]（签名） 解密 DKab[C]、DKRb[C]（解密）、DKUa[C]（鉴别）
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• 同余
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 模运算及其性质
[a (mod n) + b (mod n)] mod n = (a+b) mod n [a (mod n) - b (mod n)]mod n = (a-b) mod n [a (mod n) · b (mod n)] mod n = (a·b) mod n a · b = 1 mod n （乘法逆元）
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥加密既可以使用本方的私有密钥，也可以使 用对方的公开密钥。
公开密钥密码系统：加密 使用对方B的公开密钥KUB进行加密可以实现数据的加 密。 公开密钥密码系统：鉴别 而使用本方A的私有密钥KRA进行加密实现数字签名和 鉴别。 公开密钥密码系统：加密与鉴别
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码系统：加密
密码分析者 源点A
ˆ X ˆR K b
终点B
报文源点
X
加密算法
Y
解密算法
X
目的端
KUb
KRb 密钥对 产生源
Y = EKUb(X) X = EKRb(Y)
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§3.1.1 公开密钥密码系统
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥加密过程中的重要步骤
密钥产生 网络中的每个端系统都产生一对用于其将报文进行加密 和解密的密钥。 密钥公开 每个系统都通过将自己的公开密钥放进一个登记本或者 文件来公布它，而另一个私有密钥则是保密。 加密 发送方A向接收方B发送一个报文，A使用B的公开密钥 加密该报文。 C = EKUb[P] 解密（…）
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 使用公钥加密
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 使用私钥加密
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码体制的特点
公开密钥算法基于数学函数而不是替代和置换。 公开密钥密码体制中的密钥是非对称的，它使用两个不同 的密钥，这对于保密通信、密钥分配和鉴别等领域都有着 深远的影响。 公开密钥密码成功地解决了计算机网络安全的身份鉴别、 数字签名等问题，推动了包括电子商务在内的一大批网络 应用的不断深入发展。 使密钥管理变得容易。 加密和解密较常规密钥密码体制慢。
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§3.1.2 公开密钥密码系统的应用
• 根据应用的需要，发送方可以使用发送方的私有密钥、 接收方的公开密钥，或者两个都使用，以完成某种类 型的密码编码解码功能。 • 大体来说，可以将公开密钥密码系统分为三类
加密/解密 发送方用接收方的公开密钥加密报文。 数字签名 发送方使用自己的私有密钥“签署”报文。 签署功能是通过对于报文，或者作为报文的一个函数的 一小块数据应用密码算法完成的。 密钥交换 两方合作以便交换会话密钥。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 常规加密与公开密钥加密的比较
常规加密 加密解密 安全条件 加密速度 方便性 密钥数量 功能 同一密钥 密钥必须保密 快 密钥分配不便 N(N-1)/2 加密 公开密钥加密 不同但相关的密钥 其中一个保密 慢 密钥公开方便 2N 加密、签名、密钥分配
§3.2.1 RSA的数论基础 §3.2.2 算法描述 §3.2.3 RSA算法中的计算问题 §3.2.4 对RSA的攻击方法 练习
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 素数
素数是大于1，且仅能被1和它本身整除的自然数；否则为 合数。
• 任何大于1的整数a都能被因式分解为如下的惟一形 式： a ap 其中a p 0
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§3.1 公开密钥密码系统原理
• 公开密钥密码系统原理
§3.1.1 公开密钥密码系统 §3.1.2 公开密钥密码系统的应用 §3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码算法要求每个参与方拥有一对相关的密 钥：
• 欧拉定理
费马小定理
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 中国剩余定理
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 需要澄清的几个错误观念
公开密钥加密方法要比传统的加密方法更加安全。 事实上，任何加密方案的安全程度都依赖于密钥的长度 和破译密码所需要的工作量。 公开密钥密码体制是一种通用技术，它已使传统密码体制 变得陈旧。 其实正相反，由于当前公开密钥加密在计算上的巨大开 销，在可预见的将来常规加密并不会被抛弃。 公开密钥的密钥分配实现起来很简单。 事实上，使用公开密钥密码体制分配密钥仍需要某种形 式的协议。
• 如果a与n互素，则存在b使得
• 定义集合Zp为小于p的所有非负整数集合：
Zp = {0, 1, 2, …, (p-1)} 若p是素数，则集合Zp中的所有数均与p互素。
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• 费马定理
如果p是素数，a与p互素，则 ap-1 = 1 mod p 证明 集合Zp中的所有数均与a相乘模p，结果将以某种次序涵 盖Zp中的数，且a · 0 0 mod p。 因此，(p-1)个数{a mod p, 2a mod p, …, (p-1)a mod p}是{1,2, …, p-1}的一个排列。 将这些数相乘可得 (a mod p) (2a mod p) …((p-1)a mod p) = (p-1)! mod p p-1，所以 (p-1)!ap-1 = 由于a·2a·…·((p-1)a) = (p-1)!a (p-1)! mod p，因为(p-1)!与p互素，所以可以在等式 两端去掉(p-1)!。 p-1 = 1 mod p 即a
一个公开，称为公开密钥； 另一个保密，称为私有密钥。
• 公开密钥算法使用一个密钥进行加密，而使用另一个 不同但是相关的密钥进行解密。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥算法具有以下重要特性
仅仅知道密码算法和加密密钥而要确定解密密钥，在计算 上是不可行的； 两个相关密钥中任何一个都可以用作加密而让另外一个用 作解密。 例如，RSA算法。
§3.2.1 RSA的数论基础
• 欧拉函数
φ (n)表示小于n，且与n互素的正整数的个数。 若p是素数，则φ (p) = p-1。 若p, q是素数，则φ (pq) = (p-1)(q-1)。 对于任何互素的整数a和n，有 aφ (n) 1 mod n 若p为素数，则ap a mod p。
第三章 公开密钥密码学
第三章 公开密钥密码学
• 对称密钥密码体制存在的问题
密钥分配问题 N(N-1)/2个密钥 层次式密钥结构并未根本解决问题 EKm[Ks]，EKs[M] 签名验证问题
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第三章 公开密钥密码学
• 公开密钥密码体制的概念是在解决对称密钥密码体制 中的密钥分配与数字签名问题时提出的。
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§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 这些要求本质上在于设计一个陷门单向函数。
敌手即使知道公开密钥KUb和密文C，要想恢复原来的报文 M在计算上是不可行的； 加密和解密函数可以以两个次序中的任何一个来使用： M = DKRb[EKUb(M)] = EKUb[DKRb(M)]
p
即，每个合数都可以唯一地分解出素数因子。 例如： 91 ＝ 7×13 3600 ＝ 24×32×52
P
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 互素
若gcd(a, b) = 1，则称a和b互素。 如果a和b都是整数，而m是一个固定的正整数，则当m|ab时，称a和b模m同余，记为a b(mod m)。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码系统：加密与鉴别
源点A X Y Z 终点B
报文源点
加密算法
加密算法
解密算法
Y
解密算法
X
报文终点
KUb
KRb
密钥对 产生源
KRa
KUa
密钥对 产生源
Z = EKUb[EKRa[X]] X = DKUa[DKRb[Z]]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
解密 接收方B收到该报文后，使用其私有密钥解密报文，而 其他所有收到该报文的人都无法解密报文，因为只有 B 才有 B的私有密钥。 P = DKRb[C]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 密码学中使用的符号约定
参与方B容易通过计算产生出一对密钥（公开密钥KUb，私 有密钥KRb）； 在知道公开密钥KUb和待加密报文M的情况下，发送方A可 以很容易通过计算产生对应的密文，即 C = EKUb(M) 在计算上是容易的； 接收方B使用私有密钥KRb容易通过计算解密所得到的密文， 以便恢复原来的明文，即 M = DKRb(C) = DKRb[EKUb(M)] 在计算上是容易的； 敌手即使知道公开密钥KUb，要确定私有密钥KRb在计算上 是不可行的；
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§3.2 RSA公钥密码
• RSA算法是由MIT的Ron Rivest、Adi Shamir和Len Adleman于1977年研制并于1978年首次发表的一种 算法，且成为惟一被广泛接受并实现的通用公开密钥 加密方式。 • RSA是一种分组密码，其中的明文和密文都是对于某 个n的从0到n-1之间的整数。
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 陷门单向函数是一族可逆函数fk，满足
• 因此，研究公钥密码算法就是要找出合适的陷门单向 函数。
当已知k和X时，Y = fk(X)易于计算； 当已知k和Y时，X = fk-1(Y)易于计算； 当已知Y但未知k时，求X = fk-1(Y)在计算上是不可行的。
• 公开密钥密码系统：鉴别
密码分析者 源点A
ˆR K a
终点B
报文源点
X
加密算法
Y
解密算法
X
目的端
KRa
KUa
密钥对 产生源
Y = EKRa[X] X = DKUa[Y]
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§3.1.1 公开密钥密码系统
报文是用A的私有密钥进行加密的，只有A才能发送该报文， 因此整个加密报文可以被当作A的数字签名，得不到A的私 有密钥就不可能对报文进行改动。 所以，在实现数据完整性的同时，还实现了发送方的鉴别。
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§3.1.2 公开密钥密码系统的应用
• 各种公开密钥密码系统的应用范围
算法 RSA Diffie-Hellman DSS 加密/解密 是 否 否 数字签名 是 否 是 密钥交换 是 是 否
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§3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
• 公开密钥密码算法必须满足以下条件
1976年，W. Diffie与M. E. Hellman首次提出公开密钥密 码体制的概念。
• 公钥密码体制的出现在密码学历史上是迄今为止最大 的、而且是惟一真正的革命。
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第三章 公开密钥密码学
• • • • • §3.1 公开密钥密码系统原理 §3.2 RSA公钥密码 §3.3 公开密钥管理 §3.4 Diffie-Hellman密钥交换协议 §3.5 ElGamal公钥密码体制
常规加密中使用的秘密密钥Km（m是修饰符） 例如，AB之间的秘密密钥Kab，会话密钥Ks 公钥加密中使用的公开密钥KUa、私有密钥KRa 加密 EKab[P]、EKUb[P]（加密）、EKRa[P]（签名） 解密 DKab[C]、DKRb[C]（解密）、DKUa[C]（鉴别）
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• 同余
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 模运算及其性质
[a (mod n) + b (mod n)] mod n = (a+b) mod n [a (mod n) - b (mod n)]mod n = (a-b) mod n [a (mod n) · b (mod n)] mod n = (a·b) mod n a · b = 1 mod n （乘法逆元）
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥加密既可以使用本方的私有密钥，也可以使 用对方的公开密钥。
公开密钥密码系统：加密 使用对方B的公开密钥KUB进行加密可以实现数据的加 密。 公开密钥密码系统：鉴别 而使用本方A的私有密钥KRA进行加密实现数字签名和 鉴别。 公开密钥密码系统：加密与鉴别
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码系统：加密
密码分析者 源点A
ˆ X ˆR K b
终点B
报文源点
X
加密算法
Y
解密算法
X
目的端
KUb
KRb 密钥对 产生源
Y = EKUb(X) X = EKRb(Y)
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§3.1.1 公开密钥密码系统
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥加密过程中的重要步骤
密钥产生 网络中的每个端系统都产生一对用于其将报文进行加密 和解密的密钥。 密钥公开 每个系统都通过将自己的公开密钥放进一个登记本或者 文件来公布它，而另一个私有密钥则是保密。 加密 发送方A向接收方B发送一个报文，A使用B的公开密钥 加密该报文。 C = EKUb[P] 解密（…）
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 使用公钥加密
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 使用私钥加密
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码体制的特点
公开密钥算法基于数学函数而不是替代和置换。 公开密钥密码体制中的密钥是非对称的，它使用两个不同 的密钥，这对于保密通信、密钥分配和鉴别等领域都有着 深远的影响。 公开密钥密码成功地解决了计算机网络安全的身份鉴别、 数字签名等问题，推动了包括电子商务在内的一大批网络 应用的不断深入发展。 使密钥管理变得容易。 加密和解密较常规密钥密码体制慢。
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§3.1.2 公开密钥密码系统的应用
• 根据应用的需要，发送方可以使用发送方的私有密钥、 接收方的公开密钥，或者两个都使用，以完成某种类 型的密码编码解码功能。 • 大体来说，可以将公开密钥密码系统分为三类
加密/解密 发送方用接收方的公开密钥加密报文。 数字签名 发送方使用自己的私有密钥“签署”报文。 签署功能是通过对于报文，或者作为报文的一个函数的 一小块数据应用密码算法完成的。 密钥交换 两方合作以便交换会话密钥。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 常规加密与公开密钥加密的比较
常规加密 加密解密 安全条件 加密速度 方便性 密钥数量 功能 同一密钥 密钥必须保密 快 密钥分配不便 N(N-1)/2 加密 公开密钥加密 不同但相关的密钥 其中一个保密 慢 密钥公开方便 2N 加密、签名、密钥分配
§3.2.1 RSA的数论基础 §3.2.2 算法描述 §3.2.3 RSA算法中的计算问题 §3.2.4 对RSA的攻击方法 练习
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.2.1 RSA的数论基础
• 素数
素数是大于1，且仅能被1和它本身整除的自然数；否则为 合数。
• 任何大于1的整数a都能被因式分解为如下的惟一形 式： a ap 其中a p 0
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§3.1 公开密钥密码系统原理
• 公开密钥密码系统原理
§3.1.1 公开密钥密码系统 §3.1.2 公开密钥密码系统的应用 §3.1.3 对公开密钥密码编码学的要求
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥密码算法要求每个参与方拥有一对相关的密 钥：
• 欧拉定理
费马小定理
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§3.2.1 RSA的数论基础
• 中国剩余定理
南京理工大学计算机科学与技术学院
§3.1.1 公开密钥密码系统
• 需要澄清的几个错误观念
公开密钥加密方法要比传统的加密方法更加安全。 事实上，任何加密方案的安全程度都依赖于密钥的长度 和破译密码所需要的工作量。 公开密钥密码体制是一种通用技术，它已使传统密码体制 变得陈旧。 其实正相反，由于当前公开密钥加密在计算上的巨大开 销，在可预见的将来常规加密并不会被抛弃。 公开密钥的密钥分配实现起来很简单。 事实上，使用公开密钥密码体制分配密钥仍需要某种形 式的协议。
• 如果a与n互素，则存在b使得
• 定义集合Zp为小于p的所有非负整数集合：
Zp = {0, 1, 2, …, (p-1)} 若p是素数，则集合Zp中的所有数均与p互素。
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• 费马定理
如果p是素数，a与p互素，则 ap-1 = 1 mod p 证明 集合Zp中的所有数均与a相乘模p，结果将以某种次序涵 盖Zp中的数，且a · 0 0 mod p。 因此，(p-1)个数{a mod p, 2a mod p, …, (p-1)a mod p}是{1,2, …, p-1}的一个排列。 将这些数相乘可得 (a mod p) (2a mod p) …((p-1)a mod p) = (p-1)! mod p p-1，所以 (p-1)!ap-1 = 由于a·2a·…·((p-1)a) = (p-1)!a (p-1)! mod p，因为(p-1)!与p互素，所以可以在等式 两端去掉(p-1)!。 p-1 = 1 mod p 即a
一个公开，称为公开密钥； 另一个保密，称为私有密钥。
• 公开密钥算法使用一个密钥进行加密，而使用另一个 不同但是相关的密钥进行解密。
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§3.1.1 公开密钥密码系统
• 公开密钥算法具有以下重要特性
仅仅知道密码算法和加密密钥而要确定解密密钥，在计算 上是不可行的； 两个相关密钥中任何一个都可以用作加密而让另外一个用 作解密。 例如，RSA算法。
§3.2.1 RSA的数论基础
• 欧拉函数
φ (n)表示小于n，且与n互素的正整数的个数。 若p是素数，则φ (p) = p-1。 若p, q是素数，则φ (pq) = (p-1)(q-1)。 对于任何互素的整数a和n，有 aφ (n) 1 mod n 若p为素数，则ap a mod p。