函数的间断点

令 f (1) 2,
y
2 1
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统பைடு நூலகம்为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在 .
3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 , x 0, 例 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. x x , x 0, y
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 讨论函数 f ( x ) 1 x ,
解
x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1, 故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
x 0为函数的跳跃间断点 .
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定 x x
0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
例
讨论函数 2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
例题
当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
函数的间断点
制作人: 二组
函数间断点的定义
1．间断点定义 设函数f (x)在点的某去心邻域内有定义。若 f (x)有下列三种情形之一： （1）在没有定义； （2）虽在有定义，但不存在； （3）虽在有定义，且存在，但； 则函数f (x)在点为不连续，而点称为函数f (x)的不连续点或间断点。
1.跳跃间断点如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时,
y
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
解
f (1) 1, f (1 0) 2,
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:可去型,跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型