《导数及其应用》章末复习

本章回顾一、思维导图

1．变化率与导数

2．导数的计算

3．导数在研究函数中的应用

4．生活中的优化问题举例

5．定积分的概念

6．微积分基本定理

7．定积分的简单应用

二、章末检测题

（一）选择题

1.函数32

=++-在3

f x x ax x

()39

x=-处取得极值，则a=( ) A．2

B．3

C．4

D．5

答案：D

解析：略

点拨：利用导数研究函数的极值

2.函数y＝x2cos x的导数为( )

A ．y '＝2xcosx －x 2sinx

B ．y '＝2xcosx ＋x 2sinx

C ．y '＝x 2cosx －2xsinx

D ．y '＝xcosx －x 2sinx 答案：A 解析：略

点拨：导数乘法与除法运算

3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D

解析：因为y′＝a －

1

x ＋1

，所以a －1＝2，解得a ＝3. 点拨：导数的几何意义，导数的加法与减法运算

4.一辆汽车按规律s ＝at 2＋1作直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( ) A ．12 B ．13 C ．2 D ．3 答案：D 解析：略

点拨：实际问题中导数的意义

5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

B ．(－3，3)

C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

D ．[－3，3] 答案：D

解析：f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤ 3. 点拨：利用导数研究函数的单调性；数学思想：数形结合

6．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x)的图象可能是( )

答案：A 解析：略

点拨：利用导数的正负与函数的单调性的关系求解.

7．已知,a b 为正实数，函数3()2x f x ax bx =++在[0,1]上的最大值为4，则()f x 在

[1,0]-上的最小值为（ ）

A ．3

2

- B ．32

C ．2-

D ．2 答案：A

解析：2()32ln 2x f x ax b '=++，因为,a b 为正实数，所以当[0,1]x ∈时，()0f x '>，即()f x 在[0,1]上是增函数，故(1)24f a b =++=，从而2a b +=.易知当[1,0]x ∈-时，

()0f x '>，即()f x 在[1,0]-上是增函数，则()f x 在[1,0]-上的最小值为

13(1)()22

f a b -=-++

=-. 点拨：利用导数求函数在闭区间上的最值

8．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案：A

解析：令f(x)＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x)>0，f(x )单调递增，当－1

(2)2f m =+，(0)f m =，故(2)(0)f f >由于f(x)＝0在[0,2]上有解，所以(1)0

(2)0f f <⎧⎨

>⎩

，即：⎩⎨⎧

m －2≤0，

2＋m ≥0，

解得：－2≤m ≤2.

点拨：利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

9．定义域为R 的函数f(x)满足f (1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x )>1

2，则满足2f(x)

C ．{x |x <－1或x >1}

D ．{x |x >1} 答案：B

解析：令g(x )＝2f(x )－x －1，由于f′(x)>1

2，所以g′(x )＝2f′(x)－1>0，故g(x)为单调增函数，

而f (1)＝1，于是g (1)＝2f (1)－1－1＝0，所以当x <1时，g(x)<0，即2f(x )

10．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确

的是（ ）

A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤

B ．0x -是()f x -的极小值点

C ．0x -是()f x -的极小值点

D ．0x -是()f x --的极小值点

答案：D 解析：略

点拨：结合函数图像的对称性与极值的判断方法可得.

11．已知函数f(x)＝a x ＋xlnx ，g(x)＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2，都有

f(x 1)－g(x 2)≥2成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，－1] 答案：B

解析：由于g(x )＝x 3－x 2－5，故g′(x)＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，所以函数g(x )在⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

12，23上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18－1

4－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－

1.由于对∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2，f(x 1)－g(x 2)≥2恒成立，于是f(x)≥[g(x)＋2]max ，即x ∈

⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f(x )≥1恒成立，即a x ＋xlnx ≥1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，a ≥x －x 2lnx 在⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

12，2上恒成立，令h(x)＝x －x 2lnx ，则h′(x)＝1－2xlnx －x ，而h″(x)＝－3－2lnx ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，2时，h″(x)<0， 所以h′(x)＝1－2xlnx －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减，由于h′(1)＝0，所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫

12，1时，

h′(x)>0，x ∈[1,2]时，h′(x)<0， 故h(x)≤h (1)－11=，解得a ≥1.

点拨：导数在研究函数最大值、最小值中的应用