第八章网上课件[1]

假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平 α下,
检验假设 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 .
或称为“在显著性水平 α下, 针对 H 1检验 H 0” .
H 0称为原假设或零假设 , H 1 称为备择假设 .
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假设检验的相关概念
4. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域W中的值时, 我们 拒绝原假设H0, 则称区域W为拒绝域, 拒绝域的 边界点称为临界点. 如在前面实例中,
拒绝域为 | u |≥ uα / 2 ,
临界点为 u = − uα / 2 , u = uα / 2 .
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例 某味精厂用一台包装机包装味精, 包得的 每袋重量是一个随机变量X, 它服从正态分布. 根据质量要求每代袋重量为100克。由以往的经 验知道X的均方差为0.5克，现从某天包装的味 精中抽取9袋，测得它们的重量为(克): 99.3，100.0，99.3，99.7， 99.4，99.8，100.2，99.5。 问机器是否正常?
解：
H 0不 真 ⇒ X ~ B(10, 0.3)
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作业：P230-1,2
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第8.2节 单个正态总体的参数假设检验
一、单个总体均值的检验
二、 单个正态总体方差的假设检验
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设总体 X ~ N ( μ , σ ), X1,…，Xn是一个样本，
样本的均值和方 差分别为 X 和 S 2 .
假设检验的一般步骤
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(2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫 取伪错误, 这类错误是“以假为真”.
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误 的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.
若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加 样本容量.
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假设检验的两类错误 真实情况 (未知) H0 为真 H0 不真 所 接受 H0 正确 犯第II类错误 作 决 策 拒绝 H0 犯第I类错误 正确
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8. 右边检验与左边检验
形如 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ > μ 0 的假设检验 称为右边检验 . 形如 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ < μ 0 的假设检验 称为左边检验 .
右边检验与左边检验统称为单边检验.
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二、假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求 , 提出原假设 H 0 及备择 假设 H 1 ;
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}= α ,
P{接受H0|H0不真}= β .
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显著性水平α 为犯第一类错误的概率.
假设检验的相关概念
6. 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考 虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.
7. 双边检验
形如 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 的假设检验称 为双边检验 .
99.52 − 100 | u |=| |= 2.28 < 2.58 0.5 3
没有落入否定域，接受原假设。
假设检验的相关概念
5. 两类错误及记号
(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃 真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误 的概率是显著性水平 α .
总体分布未知时的假设检验问题 这一章我们讨论对参数的假设检验 .
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假设检验:(1)提出假设 ====》(2)利用样本进行检验 ====》(3)得出结论（是接受, 还是拒绝） 通常借助于实际推断原理:“小概率事 件在一次试验中基本上不会发生 ”.
让我们先看一个例子.
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例8.1.1 某厂生产的一批产品， 其出厂标准为： 次品率不超过 4%. 现抽测 60 件产品，发现有 3 件次品，问这批产品能 否出厂？ 原假设
假设 H 0 : μ = 0.5, H 1 : μ ≠ 0.5 原假设 （零假设）
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备择假设 （对立假设）
例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是 一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值 为0.5千克, 标准差为0.015千克。某日开工后为检验包装 机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得平均净 重为0.511千克, 问机器是否正常?
(1)先作出假设 (2)根据假设H0的内容，选取适当的检验统计量，并在 H0成立的条件下确定该统计量的分布。 (3)对给定的显著性水平，要根据统计量的分布，查 找出临界值，从而确定拒绝域。 (4)根据样本算出检验统计量的观察值，观察小概率事 件是否发生（是否落入拒绝域中），做出结论。
统计量的分布定理
取显著性水平 α 为 0 .05
(3)对给定的显著性水平，要根据统计量的分布，查 找出临界值，从而确定拒绝域。 1.96
得到一个小概率 ⎧ X − 0.5 ⎫ P⎨ ≥ u0.05/ 2 ⎬ = 0.05, 事件发生的区域 ⎩ 0.015 / 9 ⎭ 小概率事件
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拒绝域
例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是 一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值 为0.5千克, 标准差为0.015千克。某日开工后为检验包装 机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得平均净 重为0.511千克, 问机器是否正常?
注意： 否定域的大小与显著水平α 的大小有关。对 于同一组样本值，在不同的显著水平 α 下，可能 得出截然相反的结论。可见 α 的选择是重要的。
ch8-17
X − 100 W = {| u |=| |≥ 2.58} 0.5 3
这时统计量的观测值
如 本 例 中 显 著 性 水 平 取 α = 0.01 ， 那 么 拒 绝 域 为
X i ~ N (μ , σ 2 )
X − μ ~ N ( 0 ,1 ) σ n
X −μ ~ t ( n − 1). S n
~ χ 2 ( n − 1);
n
( n − 1) S 2
σ2
Hale Waihona Puke Baidu
∑(
i =1
n
Xi − μ
σ
)2 =
1
σ
例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是 一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值 为0.5千克, 标准差为0.015千克。某日开工后为检验包装 机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得平均净 重为0.511千克, 问机器是否正常? (1)先作出假设
取显著性水平 α 为 0 .05
4
(3)根据:“小概率事件在一次试验中基本上不
当 p ≤ 0 . 04 时， A 几乎不可能发生， 但抽样却发生了。 所以，假设
(4)得出结论
会发生 ”的原则，作出判别。
p = 0 . 04 是不合理的。
假设不合理，拒绝假设。
结论：说时这批产品的不合格率大于0.04，不能出厂．
定义： 显著性水平
一般地，在假设检验中
取显著性水平 α 为 0 .05
(4)根据样本算出检验统计量的观察值，观察小概率事 件是否发生（是否落入拒绝域中），做出结论。
x − 0.5 0.015 / 9
=
0.511 − 0.5 0.015 / 9
= 2.2
> 1.96
说明小概率事件发生（落入拒绝域）
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故拒绝H0，认为机器不正常。
假设检验的相关概念
（零假设）
解：(1)先作出假设
设H 0 : p ≤ 0.04,
(2)根据样本信息，考察某一事件发生的概率
先考虑 p = 0 . 04 时 , p = 0.04 代入 设A = “在抽出的 60 件产品中有 3 件次品”
3 则 P ( A) = C 60 p 3 (1 − p )57 ≈ 0.000006
取显著性水平 α 为 0 .05
(2)根据假设H0的内容，选取适当的检验统计量，并在 H0成立的条件下确定该统计量的分布。
X 当原假设成立时， ~ N ( 0.5,0.015 ) , 那么选择统计量
2
X − 0.5 ~ N (0,1), u= 0.015 / 9
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检验统计量
例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是 一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值 为0.5千克, 标准差为0.015千克。某日开工后为检验包装 机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得平均净 重为0.511千克, 问机器是否正常?
(1)取显著性水平 α为0.05
( 2)取显著性水平 α为0.01
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H 0 : μ = 100, H 1 : μ ≠ 100 当 H 0 成立时，总体 X ~ N (100,0.52 ) ，从而统计量 X − 100 u= ~ N (0,1) 0.5 9 对于给定的显著性水平α = 0.05 ，确定分位数 u0.025 = 1.96 X − 100 X − 100 |≥ 1.96} = 0.05 这说明{| |≥ 1.96} 使得 P {| 0.5 3 0.5 3
例 某味精用自动包装机装味精，重每袋量服从正态分布 ch8-16 2 X ~ N ( μ ,σ ) ，根据质量要求，每袋重量为 100 g。由以往 的经验知道 X 的均方差σ = 0.5 g ，现从某天包装的味精中 抽取 9 包，测得它们的重量为(单位 ：g) 99.3， 100.0， 99.4， 99.3,99.7,99.4,99.8,100.2,99.5 问这一天包装机的工作是否正常(取显著性水平α = 0.05 )
2. 给定显著性水平 α 以及样本容量 n ;
3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;
4. 按 P{ H 0 为真拒绝 H 0 } = α 求出拒绝域 ; 5. 取样 , 根据样本观察值确定接 受还是拒绝 H 0 .
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习题分析 P232-B3
解：
H 0 真 ⇒ X ~ B(10, 0.6)
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习题分析 P232-B3
X − 100 |≥ 1.96}是一个小概率事件 这说明{| 0.5 3 X − 100 由样本观测值算得 x = 99.62 ，代入 u = 得 0.5 9 99.52 − 100 | u |=| |= 2.28 > 1.96 0.5 3 这说明小概率( 0.05 )事件在一次试验中发生了， 因此 我们拒绝原假设 H 0 : μ = 100 ，即认为包装机工作不正常
第8章
8.1假设检验的基本概念
一、假设检验的基本原理和相关概念 二、假设检验的一般步骤 三、小结
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一、假设检验的基本原理和相关概念
在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一 类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验 关于总体的某个假设是否正确. 假设检验
{
假设检验问题
参数假设检验 非参数假设检验 总体分布已 知，检验关 于未知参数 的某个假设
1. 显著性水平 2. 检验统计量
为了检验假设 H 0 , 需要根据样本 X 1 , X 2 , , Xn X − μ0 适当地构造一个统计量 (如 u = ), 称这个 σ/ n 统计量为检验统计量 .
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假设检验的相关概念
3. 原假设与备择假设
对总体分布函数的类型 或分布函数中的参数 , 提出一个明确的假设 , 称之为原假设 ( 零假设 ).
是一个小概率事件
例 某味精用自动包装机装味精，重每袋量服从正态分布 ch8-15 2 X ~ N ( μ ,σ ) ，根据质量要求，每袋重量为 100 g。由以往 的经验知道 X 的均方差σ = 0.5g ，现从某天包装的味精中 抽取 9 包，测得它们的重量为(单位 ：g) 99.3， 100.0， 99.4， 99.3,99.7,99.4,99.8,100.2,99.5 问这一天包装机的工作是否正常(取显著性水平α = 0.05 ) 解 本例就是要在显著性水平α = 0.05 下检验假设
α 通常取为 0 . 01， . 05 , 或 0 . 1 . 0
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将小概率值记为 α ( 0 < α < 1), 称为显著性水平 .
假设检验的思想 假设检验的思想方法实际上是一种反证法： 先假设结论成立，然后在这个结论成立的条件下 进行推导和运算。如果得到矛盾，则推翻原来的 假设，结论不成立。但是，在这里所得到的矛盾 不是纯形式逻辑上的矛盾，即不是绝对成立的矛 盾。而是与人们普遍的经验的矛盾。这就是小概 率事件在一次试验中不会发生。假设检验把这条 经验作为一条原则。根据这条原则，如果小概率 事件地一次试验中发生了，则认为原来的假设不 成立，因此，可以说假设检验采用的是一种带概 率性质的反证法。 6