正多边形的平面镶嵌

正多边形的平面镶嵌

在用正多边形进行平面镶嵌时，设一个顶点处有边数分别为n 1、n ２、n ３、…n m 的正多边形， 令3≤n 1≤n ２≤n ３≤…≤n m ，则

31≥11n ≥21n ≥31n ≥…≥m

n 1。 根据平面镶嵌定义得：

1

01180)2(n n ∙-＋202180)2(n n ∙-＋30

3180)2(n n ∙-＋…＋m m n n 0180)2(∙-＝0360，

整理为：

11n ＋21n ＋31n ＋…＋m

n 1

＝22-m ，∴3m ≥22-m ，∴m ≤6,又22-m ＞0，即m ＞2,

∴2＜m ≤6，∴正整数m ＝3，4，5，6 ⑴ m ＝3时，

13n ≥11n ＋21n ＋31

n ＝21，∴n 1≤6, ∴n 1＝3，4，5，6， （ⅰ）n 1＝3时，

22n ≥21n ＋31n ＝61，∴n 2≤12，又2

1

n ＜61，即n 2＞6，

∴n 2＝7， 8， 9，10， 11， 12

∴n

＝42，24，18，15，分数，12 (ⅱ) n 1＝4时，

22n ≥21n ＋31n ＝41，∴n 2≤8，又

21

n ＜41，即n 2＞4

∴n 2＝5， 6， 7， 8 ∴n 3＝20，12，

28

，8

(ⅲ) n 1＝5时，

22n ≥21n ＋31

n ＝10

3，∴5≤n 2≤320，

∴n 2＝ 5， 6，

∴n ＝10，7.5，

（ⅳ）n 1＝6时，22n ≥21n ＋31n =3

1，∴6≤n 2≤6， ∴n 2＝6 ∴n

＝6

⑵ m ＝4时，

14n ≥11n ＋21n ＋31n ＋4

1n ＝1,∴3≤n 1≤4, ∴n 1＝3，4， （ⅰ）n 1＝3时，

23n

≥21n ＋31n ＋41n =3

2

，∴3≤n 2≤29，∴n 2＝3，4

同理n 2＝3时，n 3＝4， 5， 6

n 4＝12，分数，6 (ⅱ) n 1＝4时，

23n ≥21n ＋31n ＋

41n ＝43,∴4≤n 2≤4, ∴n 2＝4, ∴32n ≥31n ＋4

1

n ＝21

∴4≤n ３≤4, ∴n 3＝4， ∴n 4＝4

∴m ＝4时，共有4组解

⑶ m ＝5时，

15n ≥11n ＋21n ＋31n ＋41n ＋51

n ＝2

3，∴3≤n 1≤310，∴n 1＝3，

∴

24n ≥21n ＋31n ＋41n ＋51

n ＝67，∴3≤n 2≤724，∴n 2＝3

∴

33n ≥31n ＋41n ＋51

n ＝65，∴3≤n ３≤518，∴n 3＝3

∴

42n ≥41n ＋51

n ＝2

1，∴3≤n 4≤4, ∴n 4＝3，4 ∴n 5＝6，4

∴m ＝5时，共有2组解

经检验，这2组都能大面积平面镶嵌。 ⑷ m ＝6时，

16n ≥11n ＋21n ＋31n ＋41n ＋51n ＋6

1n ＝2， ∴3≤n 1≤3，∴n 1＝3， ∴

25n ≥21n ＋31n ＋41n ＋51n ＋61

n ＝35，∴3≤n 2≤3，∴n 2＝3， ∴

34n ≥31n ＋41n ＋51n ＋61n ＝3

4，∴3≤n 3≤3，∴n 3＝3， ∴

43n ≥41n ＋51n ＋61n ＝1，∴3≤n 4≤3，∴n 4＝3， ∴

52n ≥51n ＋61n ＝3

2，∴3≤n 5≤3，∴n 5＝3，∴n 6＝3， ∴m ＝6时，有1组解：n 1＝n 2＝n 3＝ n 4＝n 5＝ n 6＝3 经检验，这1组能大面积平面镶嵌。

综上所述：能大面积平面镶嵌的有11种情况

用一种正多边形进行平面镶嵌的有：

正三角形（每个顶点处有6个）；

正四边形（每个顶点处有4个）；

正六边形（每个顶点处有3个）。

用两种正多边形进行平面镶嵌的有：

正三角形和正十二边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正十二边形）；

正三角形和正六边形（每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形或者4个正三角形和1个正六边形）；正三角形和正四边形（每个顶点处有3个正三角形和2个正四边形）；

正四边形和正八边形（每个顶点处有1个正四边形和2个正八边形）。

用三种正多边形进行平面镶嵌的有：

正四边形和正六边形和正十二边形（每个顶点处各1个）；

正三角形和正四边形和正十二边形(每个顶点处有2个正三角形和1个正四边形和1个正十二边形)；

正三角形和正四边形和正六边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正四边形和1个正六边形）。