几何概型-人教版高中数学

知识图谱

-几何概型二维情形一维情形三维情形第03讲_几何概型

错题回顾

几何概型

知识精讲

一．几何概型

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型（定义二：事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型）．

几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．

2．特点：

（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；

（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．

二．几何概型的计算公式

几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量（试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积等）），表示区域的几何度量（构成事件的区域长度（面积或体积等））．

三点剖析

一．方法点拨

1．几何概型求解的一般步骤

（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于

判断．

（2）把基本事件转化为与之对应的区域．

（3）计算基本事件空间与事件所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、

面积、体积等）

（4）利用公式代入求解．

2．几何概型的应用

要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何

图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．

题模精讲

题模一一维情形

例1.1、

将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为

（）

A、B、

C、D、

例1.2、

在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）

A、B、

C、D、

例1.3、

在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．

例1.4、

如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）

A、0.6

B、0.4

C、0.2

D、0.1

题模二二维情形

例2.1、

如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A、

1-B、

-

C、D、例2.2、

二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．

（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；

（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．

例2.3、

设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm 的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：

（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；

（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．

例2.4、

小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．

题模三三维情形

例3.1、

在500 mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）

A、

B、

D、

C、

例3.2、

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）

A、B、

1-

C、D、

1-

随堂练习

随练1.1、

某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．

随练1.2、

平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）

A、B、

C、D、

随练1.3、

在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）

A、B、

C、D、

随练1.4、

分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）

A、B、

C、D、

随练1.5、

设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．

随练1.6、

小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午到，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为到，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．

随练1.7、

1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）

A、0.01

B、0.19