浅论费马小定理

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摘要

费马小定理是数论中重要定理之一。它不仅仅可以解决很多数论中的问题，还可以证明很多数论中的重要定理，它在素性检验中也有很多应用。

本论文第一章简单阐述了费马小定理的历史背景以及要证明费马小定理的准备知识，用六种不同方法对费马小定理进行了证明。第二章阐述了主要阐述了费马小定理在素性检验中的应用，给出了Strassen

Solovay 素性测试算法。

关键词：费马；费马小定理；素性判别；素数

ABSTRACT

Fermat's little theorem is one of most important theorems in number theory. It can not only solve many problems, but also can prove a lot of important theorems in number theory. It has a lot of applications in primality test.

In this paper, the first chapter simply expounds the historical background and prepared knowledge of Fermat's little theorem. We use six different methods to prove Fermat's little theorem. And the second chapter mainly expounds the applications of the Fermat's little theorem, Solovay - Strassen primality test is presented.

Key words:Fermat; Fermat's little theorem; primality test;prime number

目录

引言 (1)

一、费马小定理 (1)

(一)费马小定理的内容 (1)

(二)费马小定理的历史背景 (1)

(三)证明费马小定理的预备定理 (2)

(四)费马小定理的证明 (2)

二、费马小定理在素性检验中的应用 (6)

(一)

strassen

Solovay 测试 (7)

小结 (9)

参考文献 (10)

致谢 (11)

引 言 费马小定理是初等数论中的重要定理，在定理的证明和解题过程中起着核心的作用，一直以来众多数学爱好者对费马小定理的研究取得了一个又一个的突破，如欧拉的证明方法等；对费马小定理的应用研究一直以来也是数学家们的追求，如AKS 测试。本论文主要研究了两个方面的问题：首先是研究了费马小定理的证明方法并对其进行归纳总结，这些证明方法中有些简便易懂，有些方法闪烁着智慧的光芒；其次是对费马小定理的应用进行研究，费马小定理的应用范围非常广泛，不但在数论中广泛，而且在国际数学赛上也得到了非常广泛的应用。本论文主要研究了费马小定理备受亲睐的应用，以

Strassen

Solovay -素性测试算法为典例，研究一直受数学家关心的素数判别问题，并结合这种算法体验费马小定理这个璀璨的明珠。

一、 费马小定理

(一)费马小定理的内容

费马小定理是说：当p 是一个素数时，对任意的整数a 都有：

()p a a p mod ≡

如果a 不是p 的倍数，即()1,=p a ，这个定理也可以写成：

()p a p mod 11≡-

费马小定理的是数论中重要的定理之一，它在实际应用中也非常广泛，更为素数检测奠定了理论基础，如文中提到strassen Solovay -测试，还有米拉拉宾测试，AKS 素性测试等等。

(二)费马小定理的历史背景

费马，于1601年8月17日在法国出生，大学毕业以后，费马在家乡图卢兹()Toulouse

当上了图卢兹议会的议员。精通多种语言，如意大利语、西班牙语、希腊语等等。他的一个业余爱好就是对数学的研究。他深入的研究了古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）、丢番图（Diophantus ，

约公元330246--年）、帕波斯（Pa p p u s ，

约350300--）以及与他较近的韦达（Viete ，约16031540--）等人的著作，是近代数论的开拓者。

费马小定理最早出现于公元1640年，费马写给友人梅森的一封信上，并在信中表明自己已经知道如何证明这个定理，只是因为纸张的空间狭小致使不能写下定理的证明方法。正式发表的证明方法大约

是100年后的数学家欧拉()Euler 提出，欧拉所用的方法就是利用二项式定理的方法，不过后来发现数学家莱布尼茨()Leibniz 早在1683年之前就已经用这样的方法证明出来了，只是没有发表。

(三)证明费马小定理的预备定理

定义1.设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。

在证明费马小定理之前，我们先给出几个引理【1】。

引理1.（剩余系定理2）若a ，b ，c 为3个任意整数，m 为正整数，若有

)(mod ,1),()(mod m b a m c m bc ac ≡=≡则有和成立。

证明： 由条件可知 )(mod 0n bc ac =-，

化简有 )(mod 0)(m c b a =-

又因为 1),(=m c

所以有 )(mod 0m b a ≡- 即有)(mod m b a ≡

引理2.（二项式定理）若n 是一个正整数，则有

()().)!

(!!,)(0k n k n y x y x n k k k n n k n k n

-==+-=∑其中 证明：根据二项式的展开定理，我们有：

n n n n n n n n n n n y

x C y x C y x C y x C y x 011111100)(++++=+---

n n n n n n n y xy C y x C x ++++=---1111 由组合公式可得： ()().)!

(!!,)(0k n k n y x y x n k k k n n k n

k

n -==+-=∑其中 引理 3.（多项式定理）如果k 1, k 2, k 3, ……k m ,和n 均是正整数，且有1≥n 和

n k k k k m =++++ 321，则有

()∑+=

+++n =km +k3+k2+k121km …… k3, k2, k1,2121)( m k m k k n n m x x x x x x 其中 ()!!!!21,,21m n

k k k k k k n m =。

(四)费马小定理的证明

很多年以来，许多数学爱好者在不同的角度、不同的方向证明了费马小定理。本论文通过对众多证