数学方法在土木工程中的应用

数学理论在土木工程中的应用

摘要: 在土木工程中，我们应用的很多公式，都是建立在数学理论的基础上推导而得。本文介

绍了最小二乘法[2]

在拟合曲线中的应用；矩阵[4]

在计算张量中应用；微分方程[6]

在建立平衡微分方程中的应用。通过这些介绍，使我们能够更好的了解数学理论的重要性。

关键词：最小二乘法；矩阵；微分方程；弹塑性力学；土木工程

Abstract : In civil engineering, we applied formulas are based on the mathematical theory of

derivation derived. This article describes the application of the least squares method of cure- fitting; matrix used in calculating tensor; differential equations in establishing equilibrium a- pplications. Through these presentations, so that we can better know the importance of the mathematical theory.

Key words: least squares; matrix; differential equations; elastic-plastic mechanics;civil engineering

0 前言

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，可以理解为人类逻辑性训练的必要。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。

在土木工程中，很多学科原理的推导都是建立在数学基础上，推导出的结果，使我们能够更好地解决工程实际问题，同时实际问题又会促进数学的发展和改革。

1 最小二乘法建立函数曲线的应用

在土木工程实验中，为了揭示某些相关量之间的关系,找出其规律,往往需要求解其函数解析式，常通过实验得到一组数据，

0011(,),(,), ,(,)m m x y x y x y ⋅⋅⋅，寻求反映客观事物变

化规律的函数关系()y f x =的最佳近似表示式[1]

()x y s *

=。在做岩土工程试验时，我们会得到一

系列的数据，这些数据之间有什么关系？能反应什么问题？以及如何应用？遇到这些问题时，就

需要我们把数据进行量化，建立各个参数之间的关系曲线，而最小二乘法在曲线拟合方面简单，快捷，准确性满足工程实际要求。

研究土体电阻率与饱和度的关系，得到一组数据[3]（见表1）

表1 饱和度和电阻率数据 Table1 Saturation and resistivity data 饱和度 r i S x （）

电阻率 () ()i m y ρΩ⋅

0.10 0.22 0.40 0.51 0.65 0.82 0.89 1.00

620 205 164 83 25 23 21 20

通过描点画图(见图1)，

图1 土的电阻率与饱和度关系曲线 Fig1 Relationship between soils resistivityand its

satuation degree

根据其关系曲线我们可以推导出其经验公式为

-b y ax =，用-b

y ax =进行曲线拟合，步骤如下：

对-b

y ax =两边取对数得：

ln y ln -ln a b x =

令ln y, =ln =ln u A a v x =，则得，

-u A bv =

由表1中数据计算出表2数据，如下：

表2关系换算数据 Table2 Relations translated data

i v

i u

-2.3026 -1.5141 -0.9163 -0.6733 -0.4308 -0.1985 -0.1165 0.0000

6.4297 5.3230 5.0999 4.4188 3.2189 3.1355 3.0445 2.9957

现在可以用直线1s A bv =-拟合上述数据，得

2.985A = 1.589b =

于是19.787a =，-1.589

19.787y x =

通过图1和拟合曲线函数可知，电阻率与饱和度呈幂函数关系,前者随后者增加而减小。当饱和度较小、土样处于干燥状态时，电阻率很高,饱和度的变化对电阻率影响很大。随着饱和度的增加，关系曲线出现拐点，电阻率变化趋于平缓。当土样趋于饱和时，电阻率无明显变化。

2 矩阵特征值和特征向量在弹塑性

力学中的应用

弹塑性力学是固体力学发展较早、且在实践中得到广泛应用的一个分支，是研究弹性与塑形物体变性规律的一门学科。它推理严谨、计算结果准确，是分析和解决工程技术问题的基础和依

据，是土木工程专业的学生必学科目。

在弹塑性力学由一点的应力分量为实数，应力张量为实对称张量，可知物体内任意一点的应力矩阵为实对称矩阵。根据线性代数中有关实对称矩阵对角形的有关定理和特征根、特征向量的性质，可确定应力主轴的存在。因此求一点的主应力问题就转化成求一点的应力矩阵的特征值和特征向量的问题。 推导过程如下[4]：

设应力张量ij σ的特征值为λ，特征向量为u ，

E 为单位矩阵，根据线性代数的知识有下式成立

()0ij

E u σλ-⋅=

上式有非零解的充分必要条件是

det()0ij

E σλ-=

展开有

32123()()()0J J J λσλσλσ---=（2）

其中

123112233

112222333311222122331112233122331

222113222313312

()()()

()

()2 J J J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ==-+=+++++++--- （3）

简单表示为

123()()()det()

1

()2

ii ii jj ij ji J J J tr σσσσσσσσσσ

==

==- 上式中的1J 、2J 、3J 称为应力张量的三个不变分量。将它们带入式（3），解一元三次方程得到三个实根，就是所求应力矩阵的特征值，即主应力。相对于每个特征值的特征向量则为应力矩阵

（

4） （1）