解三角形课件!

3.三角形面积公式
1 (1) S aha ( ha 表 示a边 上 的 高 ) 2 1 1 1 ( 2) S absinC ac sinB bc sinA 2 2 2
1 ( 3) S r (a b c )(r为 内 切 圆 半 径 ) 2
abc ( 4) S 4R

（3）a 18, b 20, A 150
解法一：（几何作图法）分别如下图①、②、③
c
b=22
A B D A C
c
a=11
B b=20 A
解 法 二( ： 1)2 2 2 3 ( 2)11 22 1 2
2 6 ABC有 两 解 2 ABC有 一 解 ( 3) A 150 ABC无 解
2 2 2
余弦定理的变形：
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 a2 b2 c 2 cos A ; cosB ; cosC . 2bc 2ac 2ab
当A、B、C分别为90 时，上面的关系式分别 化为 a 2 b2 c2 ; b2 a 2 c2 ; c2 a 2 b2
在三角形中，已知a、b和A时解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或 直角
图 形 a>b 关 a<bsin a=bsin bsinA<a< A A b 或 系 a=b 式 一个解 两个解 一个解 解 无解 个 数
a<b a>b 或 a=b 一 无解 个 解
例4.根据下列条件，判定三角形解的情况.
（ 1）a 2 2 , b 2 3 , A 45 ; （2）a 11, b 22, A 30 ;
b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 3 c 2 2 3 cos45 即c 2 6c 1 0 解之，得 c 6 2 2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
求三角形的面积
1 例8.在ABC中 ， 已 知 tan B 3 , cosC , AC 3 6， 3 求ABC的 面 积 .
( 3) 182 202 c 2 2 20 c cos150 c 2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
例5. ABC中，已知A 60 , b 4 3, 为使此三角形只有 一个解, a满足的条件是（ A. 0 a 4 3 C. a 4 3或a 6
解法三 :
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
2 2
(1) 2 2 2 3 c 2 2 2 3 c cos45 c 2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
( 2) 112 222 c 2 2 22 c cos 30 c 2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
例9. 在ABC中 ，O为 坐 标 原 点 ， A(1, cos ), B(sin ,1), (0, ], 2 则 当为 多 少 时 OAB的 面 积 最 大 值 ？ Y
B(sin ,1)

解 ：S OBC SOCMD (பைடு நூலகம்S OAC S OBD S ABM )
例3. 钝 角ABC中 ，a 1, b 2, 则 最 大 边 c的 取 值 范围是 5 c 3
a b c 5c 解：由余弦定理得cosC 2ab 4 2 5c C是最大角钝角 0c 5 4 a b c c 3 5 c 3
1 1 法 三 ： 由 三 角 形 的 面S 积 ah 5 2 3 5 3 2 2 1 又S bc si n A 2 21 si n A 2 21 si n A 5 3 2 5 7 5 7 si n A A arcsi n 14 14
求三角形的边
2 2 2
2
二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件 一般解法 应用 定理 正弦 由A+B+C=180求出角A；根据正弦 定理求出b与c;在有解时只有一解 余弦 由余弦定理求出c；由正弦定理求 正弦 出A、B；在有解时只有一解 余弦 由余弦定理分别求出A、B；由内角 定理 和是180求出C;有解时只有一解 正弦 由正弦定理求出B；由内角和为180 定理 求出C；由正弦定理求出c;可有两 解，一解或无解
c）
B. a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
三、求三角形基本量
求三角形基本量包括求三角形的内角、求 三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基 本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已 知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求 解过程中往往会与三角恒等变换知识结合，同 时要注意在解出结果后运用第二部分所讲的三 角形解的个数的判定来对结果进行取舍，得到 最终结果。
a b c ( 3). si n A , si n B , si nC ; 2R 2R 2R a b b c c a (4). , , ; si n A si nB si nB si nC si nC si n A
2.余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B c a b 2ab cosC
例7. 在ABC中，已知 a 3 , b 2 , B 45 , 求边c.
解：方法一 (用 正 弦 定 理 ) a b a sinB 3 sin45 3 sin A sin A sinB b 2 2 又 b a , B A, A 60 或120
一边和两角 (如a、B、C)
两边和夹角 (如a、b、C) 三边 (a、b、c)
两边和其中 一边的对角 (如a、b、A)
在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三 种方法： （1）几何作图法 （2）用正弦定理确定另一边的对角
（3）利用余弦定理整理后是以c为未知数的 一元二次方程。因为 c 是三角形的边长，必 有 c>0。所以，所给定的三角形的解就取决 于满足方程的未知数c正实数值得存在情况
解三角形
1.正弦定理
知识点梳理
a b c 2 R(其 中R为ABC外 接 圆 的 半 径 ) sin A sinB sinC
正弦定理的变形：
(1)a 2 R si nA ， b 2 R si nB , c 2 R si nC ;
(2). a : b : c si nA : si nB : si nC ;
(9) sin sin 或 若、是 三 角 形 的 内 角 则 有
正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
求角
解 三 角 形
求三角形中基本量 判断三角形形状
求边 求面积
解三角形中的交汇问题
解三角形的实际应用
测量距离 测量高度 测量角度
一、正余弦定理推论的应用
D(0,1)
M
1 1 X SOCED 1 S OAC cos S OBD sin 2 2 C(1,0) O 1 1 S ABM (1 cos )(1 sin ) S ABM （ 1 - sin cos sin cos） 2 2 1 1 S OAC S OBD S ABM sin cos 2 2 1 1 1 S OBC (1 sin cos ) (1 sin2 ) 2 2 2 1 当 时 S OBC 达 到 最 大 ， 最 大 值 为 2 2
解 ： 设AB、BC、CA的 长 分 别 为 c、a、b 3 1 2 2 2 tan B 3 , 得B 60 ， sinB , cos B 又sinC 1 cos C 2 2 3

2 2 b sinC 3 8 sin A sin(B C ) sinB cosC 由正弦定理得 c sinB 3 2 3 1 1 2 2 3 2 1 cos B sinC S ABC bc sin A 6 2 8 3 2 3 2 3 6 3 2 3 6
4.三角形中的常见结论
(1) A B C (2)在三角形中大边对大角，大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边 (4)有关三角形内角的三角函数式
sin(A B ) sinC ; tan(A B ) tanC ; A B C cos sin ; 2 2 cos(A B ) cosC ; A B C sin cos ; 2 2 A B C tan cot 2 2
例2.在ABC中 ， 已 知 sin A : sinB : sinC k : ( k 1) : 2k , 1 则k的 取 值 范 围 是 （ ( , ) ）
2
解：有正弦定理得 a : b : c sin A : sinB : sinC k : ( k 1) : 2k 又 根 据 三 角 形 两 边 之 大 和 k k 1 2k 1 与第三边得 k 1 2k k 解 得k 由 两 边 2 k 2k k 1 1 1 之差小于第三边解得 k k范 围 是 ( , ) 2 2
(5)在ABC中， tan A tanB tanC tan A tanB tanC
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(8)在ABC中，A B a b sinA sinB.
1 例1. 在ABC中 ， 已 知 cos A , b 1, c 2, 则 4 abc ( ). sin A sinB sinC
解：由余弦定理得 a
2
b 2 c 2 2bc cos A 2
15 si n A 1 cos A 4 abc a 8 15 si n A si nB si nC si n A 15
求三角形的角
例6.在锐角三角形 ABC中，a、b、c分别为角 A、B、 C所对的边，又 c 21, b 4, 且BC边上高 h 2 3, A 求角A.
c 解：在 ABD和ACD中 ， 分 别 由 勾 股 定理可得 BD 3 CD 2 B a BC 3 2 5 h b C
D
b2 c 2 a 2 法一：由余弦定理得 cos A 2bc ( 21)2 4 2 5 2 21 21 A arccos 14 14 2 4 21
AD 2 3 3 法二： 在ACD中 sinC AC 4 2 a c C 由正弦定理 3 sin A sinC a sinC 5 7 5 7 sin A A arcsin c 14 14
b sin C 2 sin 75 6 2 当A 60 时 ，C 75 c sinB sin45 2 b sin C 2 sin 15 6 2 当A 120 时 ，C 15 c sinB sin45 2
用 余 弦 定 理 方法二