薛定谔方程及简单应用

i Et
(x) ei Et
由d2 (x)
dx 2
p2 2
(x)
和
p2 E
2m
振幅函数
得
d2 (x) 2mE (x) 0
dx 2
2
自由粒子的振幅方程
（二）定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
Ek
Ep
p2 2m
U ；p2
2m(E
U)
代入
d 2 ( x)
dx 2
p 2
2
( x)
U(x) =
x 0, x a
o
ax
代入一维定态薛定谔方程
d2
d x2
2m 2
(
E
U )
0
得本问题中的薛定谔方程: 0<x<a
U
d2
d x2
2m 2
E
0
x 0, x a
o
a
x
d2
d x2
2m 2
E
0
0 （粒子不能逸出势阱）
2. 求解波函数
由
d2
dx 2
2mE 2
0
0 x a
令
k
2
最小能量E1即零点能,
o
n= 4
n= 3
n= 2
n= 1
a
x
粒子不可能静止不动， 满足不确定关系
由
E
k 22 2m
n2 22
2ma 2
n2E1
E
En1
En
2n
1
22
2ma 2
n E
(n 1,2,3,...)
E n= 4
a E
ma 2 2 E 0
回到经典情况，能量连续。
o
n= 3
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值
本征函数
4. 讨论解的物理意义，
即求| |2，得出粒子在空间的概率分布。
一、一维无限深势阱
模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 简化模型。
例如： 金属中自由电子
受规则排列的晶格点阵作用
U
简 相互碰撞(简化：交换动量)
得
d2 ( x)
dx 2
2m 2
(E
U
)
(x)
0
一维定态薛定谔方程
自由粒子：
势函数 U 0
推广到 三维情况：
振幅函数 (x, y, z)
2
x 2
2
y 2
2
z 2
2m 2 (E
U )
0
拉普拉斯算符 2 2 2 2 x2 y 2 z 2
2
( x,
y,
z)
2m 2
(E
U
)
(
x,
y,
z)
0
三维定态薛定谔方程
Ψ t
i
EΨ
i Ψ EΨ； t
由(1)和(2)得出一维自由粒子所遵从的薛定谔方程：
i Ψ EΨ t
2 2Ψ EΨ 2m x2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
一维自由粒子的薛定谔方程
★ 振幅函数 (x)的方程 —— 振幅方程
Ψ
(x,t)
Ψ ei ( Et px) 0
Ψ e e
i
பைடு நூலகம்px
0
由 (a) 0 得 Asinka 0
o
ax
k n
a
(n 1,2,3)
(x) Asin n x (n 1,2,3,...)
a
(x) Asin n x (n 1,2,3,...)
a
由归一化条件 | |2dx 1
*
d
x
a
A2
sin2
n
x
d
x
1
0
a
A 2 a
于是： (x) 2 sin n x (n 1,2,3,...)
a
a
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒 子出现的概率不相同。
Ψ(x,t)
2
sin
nx
e
i
Et
|Ψ (x,t) |2| (x) |2 2 sin2 nx
aa
aa
Ψ x,t
E4 16E1
x2
n= 4
n= 4
E3 9E1
E2 4E1
E1
o
n= 3 n= 2 n= 1
ax o
n= 3
( x, t )
Ψ
e
i
(
E
t
px
)
0
（1）将 Ψ (x,t)对x求二阶偏导，得
Ψ x
i
pΨ e
i
(
E
t
px
)
0
i
pΨ；
2Ψ
p2
x2 2 Ψ
对于质量为m的自由粒子，势能为零，则 E E p2 k 2m
2Ψ
p2
x2 2 Ψ
2 2Ψ
p2
Ψ EΨ
2m x2 2m
（2）将 Ψ (x,t) 对t 求一阶偏导得
n= 2 n= 1
ax
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子：
振幅函数 ( x) 2 sin n x
a
a
波函数 (x,t) 2 sin nx ei Et
aa
(n 1,2,3,...)
概率密度 |Ψ (x, t) |2 | (x) |2 2 sin2 nx
n= 2 n= 1
ax
Ψ x,t
E4 16E1
n=4
x2
n= 4
E3 9E1
E2 4E1
E1
o
n=3 n= 2 n=1
ax o
n= 3
n= 2 n= 1
ax
两端为波节， |Ψ |2 0， 粒子不能逸出势阱 阱内各位置粒子出现概率不同，|Ψ |2峰值处较大
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多 |Ψ |2 相同，量子 经典
U
化 只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
o
a
认为金属中自由电子不能逸出表面
U
——无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性…...
o
a
求解步骤：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程，得本问题中的薛定谔方程。
设粒子在一维无限深势阱运动
U
势函数
0 (0 < x < a)
同学们好!
§16.4 (§ 17.1) 薛定谔方程及应用
是波函数Ψ所遵从的方程— 量子力学的基本方程, 根据微观粒子的波动性(同光波比较) 得到自由粒子的波函数 考虑在势场中（保守场）——推广
薛定谔方程的建立 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
（一） 一维自由粒子的薛定谔方程
波函数
Ψ
（三） 一般形式薛定谔方程
(x, y, z,t)
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U 2m
Hˆ i
t
本课程只要求定态问题：
一维： 三维：
d2
dx 2
2m 2
(E
U
)
0
2
2m 2
(E
U
)
0
薛定谔方程应用举例 (一维问题) 求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
aa
Ψ (x,t)
2
sin
n
x
e
i
Et
aa
(n 1,2,3)
注意： 解为驻波形式
4.讨论解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
由
k2
2mE 2
k n
a
得
E
k 22 2m
n2 22
2ma 2
n2E1
(n 1,2,3,...)
E只能取一系列分离值n2E1 E
式中
E1
22
2ma 2
2mE 2
得
d2
dx2
k 2
0
通解: (x) Asin kx B coskx
积分常数
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
通解: (x) Asin kx B coskx
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：
(0) (a) 0
U
由（0） 0 得 B = 0 (x) Asin kx