关于针对浅谈高考中的数学建模问题

HR Planning System Integration and Upgrading Research of

A Suzhou Institution

浅谈高考中的数学建模问题

宁波鄞州正始中学数学组—王伍成

函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。

一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。

下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。

1、优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”

或“线性规划”问题解决

例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?

(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。

（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）

分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为

p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。

解：依题意得不等式

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。

本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。

2、最（极）值问题工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函

数模型”，转化为求函数的最值。

例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35

a

≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911

x

≤≤）时，一年的销售量为2

(12)x

-万件．

（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()

Q a

分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

2

(3)(12)[911]

L x a x x

=---∈

，，．

（Ⅱ）2

()(12)2(3)(12)

L x x x a x

'=-----

(12)(1823)

x a x

=-+-．

令0

L'=得

2

6

3

x a

=+或12

x=（不合题意，舍去）．

35

a

≤≤，

228 86

33

a

∴+

≤≤．

在

2

6

3

x a

=+两侧L'的值由正变负．

所以（1）当

2

869

3

a

+<

≤即

9

3

2

a<

≤时，

2

max (9)(93)(129)9(6)

L L a a ==---=-．

（2）当2289633a +≤≤即952

a ≤≤时， 23

max 2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭

⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932

a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值3

1()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（万元） 本题利用导数来求三次函数的最值。

3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则

301=b ，x b b +⨯=94.012

对于1>n ，有

)94.01(94.0 94.0211x b x

b b n n n ++⨯=+⨯=-+

所以)94.094.094.01(94.0211n n n x b b +++++⨯=+

x b n

n

06.094.0194.01-+⨯= n x x 94.0)06

.030(06.0⨯-+= 当006

.030≥-x ，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n 。