电磁场理论基础课后答案

h h ∂f h ∂u
h h
f
1 h h h
h h ∂f h ∂u ，
1-14. （教材 1-18）证明 · 证明： ∂ ∂ ∂ x y z ·r ∂y ∂z ∂x x ∂ ∂x x y z ∂ ∂ ∂y ∂z y z
3
r
0
1-15. 在圆柱坐标系、 圆球坐标系中分别计算拉梅系数， 并写出梯度、 散度、 旋度的表达式。 解： 圆柱坐标系中， x y h h h Φ ·A ρ cos φ ρ sin φ z z cos φ sin φ 1 ρ sin φ ρ cos φ 1 ρ ∂Φ ∂ρ φ ∂Φ ρ ∂φ z ∂Φ ∂z ∂ ρA ∂z 1 ∂ ρA ρ ∂ρ 1 ∂ A ρ ∂φ ∂ A ∂z ρ
∂A ∂y
∂A ∂z ∂ A ∂x ∂y · A·B A· B
y
∂A ∂x
∂A ∂z
z ∂ A ∂y ∂z
∂A ∂x 0
∂A ∂y
∂ A ∂x ∂z
∂ A ∂y ∂z · A B
∂ A ∂x ∂z · B A ⁄
1-8.
（教材 1-8）证明 证明： A·B A A ·B B
。 A · B B· A B A B · A
（教材 1-2）设 解Fra Baidu bibliotek f 1 r r 1r r r
1-3.
（教材 1-3）证明 证明： r nr r nr nr
r 。 ∂ z ∂z r r r 3x r r 3y r r 3z
1-4.
（教材 1-4）证明 证明： 1 r · r r 3r r 3r
1-5.
（教材 1-5）证明 · 证明： 1 1 r ·r · r r r （教材 1-6）证明 证明：
W
2-12. （教材 2-18）求由三个同心导体球构成的导体系的电位系数 中球内外半径为 b 和 c，外球内外半径为 d 和 e。 解： 1 a P 1 4πε 1 b 1 c 1 c 1 d 1 e 1 d 1 e 1 e 1 c 1 c 1 d 1 d 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e
2ar cos α r
2ar cos α q a a 0
Φ
a q
a
d
a a
d
当q 即：
0时，Φ
圆心位置：a 半径：r 电位为零 2-5. d
d d d
（教材 2-6）在边长为 a 的正方形的四角顶点分别放置电量为 q 的点电荷，在正方形 的几何中心处放置电量为 Q 的点电荷。问 Q 为何值时，每个电荷所受的力都是零。 解： 由对称性可知，无论 Q 为多少，Q 的受力都是零。 q √2 4πε a q 4πε 2a Q 1 4πε a 2 0
6 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
Q
q
√2 2
1 4
2-6.
（教材 2-7）求半径为 a、电量为 Q 的均匀带电球面所产生的电位、电场强度和该系 统的总储能。 解： E r 0 Q E r 4πε r U r U r W a Q 4πε r Q 4πε a a Q 8πε a 的均匀带电球体相距为 d
2-3.
（教材 2-3） 半径为 a 的均匀带电半球的体电荷密度为， 试计算底面边缘上任一点的 电位与电场。 （提示，建立极坐标系） 解： 以待求点为原点建立极坐标系，电位为 ρ cos θ ρ sin θ a 2aρ sin θ cos φ ρ 4πε a ρ 2a sin θ cos φ
Φ
ρr sin θ dr dθ dφ 4πε r
1-9.
（教材 1-13）证明 ⁄ 证明： f⁄g f⁄ g f ⁄g g f f g ⁄g
f
1⁄g
1⁄g
f
f⁄g
g
1⁄g
f
1-10. （教材 1-14） （1） 证明 （ 2） 求 解 （1） f r ，使
· f
·
⁄
r
⁄
·
⁄
·
·
（2） df dr f r C r C r C
1-11. （教材 1-15）证明 证明： f f f f
2-13. （教材 2-19）一个半径为 a 的导体球壳充满密度为
的电荷，已知电场分布为
求球内的电荷密度 解： ρ r ε ·E 球壳内无电场 4πa ρ ρ ρ
内 内
及球壳内外侧面上的面电荷密度 。 · Ar r ε A 3r r · r r ·3 6ε Ar
q 4πε d
q 4πε d q 4πε d q 4πε d q 4πε d
1 4π 1 4πa 1 4πa 1 4πa
1 ∂Φ R ∂n Φ · nds
Φ
∂ 1 ds ∂n R 1 4πa 1 4πa
q 4πε d Φds Φds
1 4π
1 Φ·n R
Φ
1 ds R
· Φdv · Edv
1 4πa
a
o
a
q
2-10. （教材 2-15）以下列出三种电场分布，求包含在各体积内的总电荷。 （1） 半径为 R 的球， （2） 半径为 a，长度为 L 的圆柱， （3） 一顶点位于原点，边长为 a 的立方体， 其中 A 是常数 解： （1） Q (2) Q ε Aa 2πaL (3) Q ε Aaa 2πε Aa L 2ε Aa ε E · ds
A
r sin θ φ ∂ ∂φ r sin θ A
4 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
2、 静电场
2-1. （教材 2-1）如图所示，有两无限大的荷电平面，其面电荷密度分别为 和 平面的间距为 d，求空间三个区域内的电场分布。 ，两
s
s
d
解： 取坐标系 x 轴垂直于两电荷平面，坐标原点位于两平面中心。由高斯定律，得 E x 0, |x| d⁄2 E x ρ ⁄ε x, |x| d⁄2 2-2. （教材 2-2）一半径为 a 的圆环，环上均匀分布着线电荷，其线电荷密度为 ，求圆 环轴线上任一点处的电场。 解： 取直角坐标系，原点位于圆环中心，z 轴垂直于圆环面。显然轴线上电场方向为垂直于 圆环面，远离圆环。 E ρℓ z dℓ 4πε r r ρℓ z 4πε z a adθ ρℓ az 2ε z a
1 ∂ ρA ρ ∂ρ ρ 1 ∂ ρ ∂ρ A ρφ ∂ ∂φ ρA
∂ A ∂φ z ∂ ∂z A
A
圆球坐标系中， x y h r sin θ cos φ r sin θ sin φ z r cos θ cos φ sin θ sin φ sin θ cos θ
3 / 45
1
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
1、 矢量分析
1-1. （教材 1-1）设 解： f 1-2. 1 r r 1r rr r r ⁄ ，求f。 r r 。 r r ⁄ ∂ x ∂x r 0 ⁄ 3 r·r r 。 x y z ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f ∂x ∂y ∂z ∂ f ∂x ∂z z ∂ f ∂x ∂y ∂ f ∂x ∂y 0 ∂ y ∂y r | |，求f。
1 QU r 2
2-7.
（教材 2-10）一个电量为 的点电荷与半径为 a、电量为 （d>a） ，试求它们的相互作用能。 解： 带电球体的 dv 体积内电荷与 q1 电荷的相互作用能为 q ρr sin θ drdθdφ q ρdv dw 4πε R 4πε √d r 2dr cos θ
（这里取球坐标，坐标原点位于带电球中心，q1 电荷位于 r=d,=0 处） 则 q ρ q ρr sin θ W dw dφ dθ dr 4πε 4πε √d r 2dr cos θ q ρ 2ε q ρ 2ε q ρ d 3ε r d a d r sin θ √d d r r q d 3ε 2dr cos θ 2dr a d d 3q 4πa dθ dr q ρ 2ε 2drt dr r √d q ρ d 2ε r 2drt 2t dr dt dr
r
q q 4πε d
可见，这里可以将带电球体上的电荷分布视为一个点电荷处理。 2-8. （教材 2-11）证明：如果一个点电荷 q 在一个半径为 a 的球面内（球外无电荷） ，则 q 在球面上所产生的电位平均值
证明： 设点电荷 q 距离圆心为 d，则无穷远处的电位为
7 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
h h
r cos φ cos θ r sin φ cos θ r sin θ r r sin φ sin θ r cos φ sin θ r sin θ ∂Φ θ ∂Φ φ ∂Φ Φ r ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ ∂ ∂ rA ·A r sin θ A r sin θ A r sin θ ∂r ∂θ ∂φ 1 ∂ r sin θ A r sin θ ∂r r 1 ∂ r sin θ ∂r A rθ ∂ ∂θ rA 1 ∂ sin θ A r sin θ ∂θ ∂ 1 A r sin θ ∂φ
ρa y πε
sin θ cos θ dθ
ρa y 3πε
2-4.
相距为 d。试证明在此带电系统中，有一个半径有限 （教材 2-4）设点电荷 与 的球形等位面，并求出它的半径、球心位置以及此等位面的电位值（电位参考点为无 限远处） 。 证明： 取球坐标，设 q1 位于(a,0,0)，q2 位于(a+d,0,0)处，空间中电位分布为： 1 q q 1 q q Φ ＝ R 4πε R 4πε √r a 2ar cos α a d 2 a d r cos α r 1 4πε 当r r a a a √r 1 4πε d a q r √r d 时， 2 a d r cos α a a a d q 2a a a d cos α d a a d 2 a d r cos α a d q √r 2 a a 2ar cos α d r cos α
Φds
q 4πε d
q 4πε a
Φ
即 Φ q 4πε a
2-9.
（教材 2-12）求下图所示的电荷分布所产生的偶极矩 和四极矩[Q]。
y
2q
2ℓ x -q
解： P Q Q Q Q 2q2ℓy qax q a x 2qax 4qℓy 3a a q a q 4ℓ 2q 8qℓ 3a a q 4ℓ 2q 16qℓ a q 3 · 4ℓ a q 8qℓ a q 4ℓ 2q Q Q Q Q Q 0
。 f f f f f f f f f f 0
1-12. （教材 1-16）证明平面格林定理式 · Bds
ℓ
可以写成 B · ndℓ
形式，求出 与 M，N 的关系。 解： 有B · ndℓ 再考虑 · B Mdx
N
Ndy，且ndℓ
M
dxy
dyx
2 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
R
ε AR 4πR
4πε AR
Aaa
2-11. （教材 2-17）一个半径为 a，中心在原点的球形带电体，已知其电位分布为
8 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
求此位场的储能。 解： 0 E ε 2 Φ Φ a r r |E| dv ε 2 r r Φ a 4πr dr r 2πε Φ a 1 dr r 2πε Φ a ，其中内球半径为 a， a
。 3 r 3 r·r r 3 r
·r
0
1-6.
f
∂f x ∂x
∂f y ∂y
∂f z ∂z
x
∂ f ∂y ∂z
∂ f ∂y ∂z
y
∂ f ∂x ∂z 。
1-7.
（教材 1-7）证明 · 证明：
1 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
·
A ∂ A ∂x ∂y
· x
则可令B
Nx
My
的展开式 1-13. （教材 1-17）证明在一般正交曲线坐标系中 1 ∂ h h ∂f ∂ h h ∂f ∂ f h ∂u h ∂u h h h ∂u ∂u ∂u 证明： 1 ∂f f u h ∂u f · f 1 ∂f u h ∂u 1 h h h ∂ ∂u ∂ ∂u 1 ∂f u h ∂u h h f ∂ ∂u ∂ ∂u h h ∂f h ∂u h h ∂ ∂u f ∂ ∂u h h ∂f h ∂u
2a sin θ cos φ dθ dφ
ρa 4ε
sin θ dθ
ρa 6ε
E
4 1 3 πa ρ x 2 4πε a
ρa x 6ε
5 / 45
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
E
y
ρr sin θ r cos θ dr dθ dφ 4πε r r
ρ y 4πε
2a sin θ cos θ cos φ dθ dφ