第十章-变形和刚度计算
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第十章 变形与刚度计算
§10-1 轴向拉伸与压缩的变形 §10-2 圆轴扭转变形及刚度计算 §10-3 弯曲变形与刚度计算 §10-4 能量法简介 §10-5 简单静不定问题的求解
2
§2-6 轴向拉伸与压缩的变形
一 纵向变形
b
l l1 l
F
h
l l
l l1
h1
F
b1
l l l FNl E EA
A
Aq wCq C
m
B Bq
θ B θBqθBm
ql3 m l
()
24E I 6EI
A
AmwCm C
B Bm
31
讨论：如何分解载荷？
分解原则：分解后每根 梁只作用单个载荷。
q
A
l
F
M
B
q
A
l
A
l
A
l
B
F
B
M
B
32
讨论：如何分解载荷？
q
q
C B
Aa
a
B
A a Ca
a
a
A
C
B
q
解：（1)BC段变形，AC段刚化
w
(1 ) B
qa 4 8EI
( )
EI
q
A
C
B
a
a
(2)AC段变形，BC段刚化
30
例10－6、一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图 所示。试按叠
加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 A , B 。
解：将荷载分为两项简单荷载
m
q
w C wCqwCm
A
5ql4 m l2 ( )
lC
B
384EI 16 E I
q
θ A θAqθAm
ql3 m l ( ) 24EI 3E I
qa 4 3EI
(
)
w Cm
qa 4 4EI
(
)
A
q
B
w (2) C
wCF wCm
7qa4 12 E I
(
)
(3)总变形
Ca
F = qa
A
C
m q q a 2 2B
wC
wC1 wC2
7qa4 12 E I
(
)
a 思考题：求wB
a
37
例10-9、用叠加法(变形叠加)求B截面的挠度。
由右图可知，d 表示相距为dx的两
个横截面之间的相对扭转角。
11
距离为L的两个横截面之间的相对转角则为：
L T dx
0 GIP
若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL
G IP
(单位：rad)
若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
n Ti Li
i1 Gi I Pi
A
(0)
M0L 6EIZ
(
)
B
(L)
M0L 3EIZ
(
)
28
E Izw (L 2)M 6L 0(1 2L )3M 6 0L(1 2L )w(
L) 2
M0L2 16EIz
(
)
4、刚度计算 校核刚度
w M L2
4EIz
w 0(θ 0)
M0 x2 M0L0 x L
自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。
w
A
C
B
x
C'
w挠度
B
转角
18
3、挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程为 w f(x)
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度。
w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度
B
转角
19
4、挠度与转角的关系
tg w ' w' (x)
M BC
a
a
q
M A C 0 MAC M B C 0 MBC
A
B
Ca
第1根 第2根
AC段
0
M AC
BC段
M BC
0
A
C
B
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
36
例10-8、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度
。解：（1)BC段变形，AC段刚化
EI
q
w (1) C
0
A
C
B
(2)AC段变形，BC段刚化
a
a
w CF
(2) 变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受
基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁
某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁
的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件
可以不同。
逐段刚化
法 内力叠加
法
35
例10-7、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度
。
EI
q
q
A
C
B
A
C
B
M AC
M (x )
积分一次得转角方程为：
dw
E I z d x E I z M(x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
E I z w M(x)dxdx C x D
24
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件
确定。
位移边界条件
A
A
A
A
光滑连续条件
A
A
wA 0
wA 0
27
确定积分常数
EIz
M0 2L
x2
C
EIzwM 6L0 x3CxD
x 0 w(0) 0
w
x L w (L) 0
A
M0
Bx
得： D 0 C M 0 L
6
L
所以
EIzM 2L0 x2
M0L 6
EIzwM 6L0 x3M60Lx
求A，B，wL/2
解：1、 刚度计算
Tmax=9560N.m
m
a
x
T m ax G IP
180
0.48 [ ]
所以刚度符合要求。
14
计
2、变形计算
算
变
BC＝
T BC lBC G IP
1
80
0.477
CA＝TG CAIlP CA180 0.954
T
形 时 ， 扭 矩 应
A 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR wAL wAR
ALAR
25
刚度条件
数学表达式
wmax [w]
max []
刚度条件的应用 (1)校核刚度 (2)设计截面尺寸 (3)求许可载荷
26
例10-5、已知EIz为常数，M0，L，求A，B，及中点的挠度；
若 w M L2 ，试校核刚度。
(单位：rad)
— 相对扭转角
GIP 称作抗扭刚度
12
2、刚度计算
m ax
d
dx max
T GIP
max
[]
(rad/m)
或
m ax
T 180
GIP
max
[]
(°/m)
注意区分两截面之间的相对扭转角与单位长度扭转角
13
例10－3 d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计 算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转 角。MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m
w A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B
转角
20
二、用积分法求弯曲变形
推导纯弯曲正应力公式时，得到：
1 M E Iz
横力弯曲时忽略剪力对变形的影响： 1 M (x ) d 2w (x ) EIz
1 由数学知识可知：
dx 2 [1 ( dw )2 ]3
dx
1 d 2w 略去高阶小量 d x 2
2L
6
3
w M 0L2 [w ] max 9 3 E I Z
所以，刚度满足要求。
EIzwM 6L0 x3M60Lx
EIzM 2L0 x2
M0L 6
29
三、用叠加法求梁的弯曲变形
1、叠加法原理（力的独立性原理） 在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时， 如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、 变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响， 各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单 独作用时所产生的效果之和。 2、求梁的弯曲变形的叠加法 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同 一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
AD＝TG ADIlPAD180 0.635
取 代 数
轴两端截面之间的相对扭转角为：
值
B
＝
D
BC＋CA＋AD＝0.805
。
15
例10-4、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考虑AB杆的变形， 求B截面的垂直位移。
F
B
TL
解： w B AC 300 G I P 3 0 0
500
2.05103m
C
A
10
5
f 20
16
§10-3 弯曲变形与刚度计算
一、基本概念
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移,
称为该截面的挠度。用w表示。
w
A
CB
x
w挠度
C'
B'
挠度：向上为正,向下为负.
17
2、转角
横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。 用 表示
如何求B截面的挠度及转角？
33
a
a
A
C
B
q
wC
wB
A
C
B
C
q
w B w C C a
B
A a Ca
EI
q
A
C
B
a
a
a
a
A
C
B
q
如何用另一种方法求C截面及B截面的挠度及转角？
34
使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况 和梁的变形形式，可采取两种处理方式：
(1) 载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处 的总变形等于各基本载荷作用下在该处产生变形的代 数和。
i)多力杆：
l n F N i l i
i1 E Ai
40kN
60kN
200
200
FN 40kN
20kN
x
ii)对于N沿杆长连续变化的情况，即FN=FN(x)： 20kN
FN
FN (x)
l FN (x)dx
x
l EA(x)
5
讨论题
在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片1和2， 在F力作用下，若测得1120×10－6， 2=40×10－6 ，则该试件
材料的泊松比是 C 。
(A) 3； (B) 3；
F
1 2
(C) 1/3； (D) 1/3；
F
6
讨论题
图示阶梯形杆总变形△l= A 。
(A ) 0
(B ) Fl 2EA
(C ) F l EA
(D ) 3Fl 2EA
2EA
EA
F
2F
3F
l/2
l/2
7
讨论题. 抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：
40kN
9
例题10-2、已知：d1=15.3mm, L=54mm, L0.04m m , 0.3
E=200GPa, 试计算横截面上的正应力及横向变形量。 解：1) 计算轴向应变
L 0 . 0 4 741106 L 54
2) 计算横截面应力
E 148.2(MPa)
3) 计算横向应变
222106
4) 计算横向变形 d d 1 0.0034(mm) 压紧力： F A 54.5kN
10
§10-2 圆轴扭转变形及刚度计算
1、变形计算
d T 或 d T dx
d x G IP
GIP
d 表示的是扭转角沿长度方向的变化率 dx
EA为抗拉刚度
E F N
A
E为弹性摸量
3
F
b
h
l l1
二 横向变形
b b1 b
b b
横向应变: 泊松比:
bbb
钢材的E 约为200 GPa， 约为0.25—0.33
h1
F
b1
4
l F N l 的应用推广： EA
w
4EIz
解： 1、外力分析
A
x
L
FA
M0
Bx
FB
FA
d
F2 wB
M0 L
2、EI内z 力dx分2析 M(x)
M (x) M M0 x0 x 0 x L
LL
3、变形分析 挠曲线、转角、挠度方程
EIz
d2w dx2
M M (x
)0
L
x
EIz
M0 2L
x2
C
EIzwM 6L0 x3CxD
（1）总伸长是否为 L P1L1 P2L2 ？
EA EA
如有错误，正确的算式是什么？
P1
P2
L1
FN P1 - P2
L2 x
LFN1L1 FN2L2 EA EA
(P1P2)L1 P2L2 EA EA
P2
8
例10-1、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，E=200GPa, []=170MPa。 试求：杆的总变形量。
d 2w dx 2
M (x) EIz
21
x
在规定的坐标系中, x 轴水平向右 w
M
M
为正, w 轴竖直向上为正.
O
曲线凹向上时: w 0M 0
w
曲线凸向上时： w 0M 0
M0 M
w 0 M
x
因此, w 与 M 的正负号相同
O
M0
w 0
22
d 2w M (x ) dx2 EIz
解：轴力图如图所示
A1=200mm2 A2 =250mm2
20kN
60kN
40kN
20kN200m m l1200G Pa200m m 20.1m m
200
200
40kN 200m m
FN 20kN
l2200G P a250m m 20.16m m
x
l l1 l2 0 .0 6 m m
由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线 的近似微分方程为：
d 2w M (x ) dx2 EIz 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w 2 项;
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
23
d 2w dx 2
M (x ) EIz
EIz
d 2w dx2
§10-1 轴向拉伸与压缩的变形 §10-2 圆轴扭转变形及刚度计算 §10-3 弯曲变形与刚度计算 §10-4 能量法简介 §10-5 简单静不定问题的求解
2
§2-6 轴向拉伸与压缩的变形
一 纵向变形
b
l l1 l
F
h
l l
l l1
h1
F
b1
l l l FNl E EA
A
Aq wCq C
m
B Bq
θ B θBqθBm
ql3 m l
()
24E I 6EI
A
AmwCm C
B Bm
31
讨论：如何分解载荷？
分解原则：分解后每根 梁只作用单个载荷。
q
A
l
F
M
B
q
A
l
A
l
A
l
B
F
B
M
B
32
讨论：如何分解载荷？
q
q
C B
Aa
a
B
A a Ca
a
a
A
C
B
q
解：（1)BC段变形，AC段刚化
w
(1 ) B
qa 4 8EI
( )
EI
q
A
C
B
a
a
(2)AC段变形，BC段刚化
30
例10－6、一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图 所示。试按叠
加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 A , B 。
解：将荷载分为两项简单荷载
m
q
w C wCqwCm
A
5ql4 m l2 ( )
lC
B
384EI 16 E I
q
θ A θAqθAm
ql3 m l ( ) 24EI 3E I
qa 4 3EI
(
)
w Cm
qa 4 4EI
(
)
A
q
B
w (2) C
wCF wCm
7qa4 12 E I
(
)
(3)总变形
Ca
F = qa
A
C
m q q a 2 2B
wC
wC1 wC2
7qa4 12 E I
(
)
a 思考题：求wB
a
37
例10-9、用叠加法(变形叠加)求B截面的挠度。
由右图可知，d 表示相距为dx的两
个横截面之间的相对扭转角。
11
距离为L的两个横截面之间的相对转角则为：
L T dx
0 GIP
若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆
TL
G IP
(单位：rad)
若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆
n Ti Li
i1 Gi I Pi
A
(0)
M0L 6EIZ
(
)
B
(L)
M0L 3EIZ
(
)
28
E Izw (L 2)M 6L 0(1 2L )3M 6 0L(1 2L )w(
L) 2
M0L2 16EIz
(
)
4、刚度计算 校核刚度
w M L2
4EIz
w 0(θ 0)
M0 x2 M0L0 x L
自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。
w
A
C
B
x
C'
w挠度
B
转角
18
3、挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程为 w f(x)
式中, x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度。
w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度
B
转角
19
4、挠度与转角的关系
tg w ' w' (x)
M BC
a
a
q
M A C 0 MAC M B C 0 MBC
A
B
Ca
第1根 第2根
AC段
0
M AC
BC段
M BC
0
A
C
B
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
36
例10-8、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度
。解：（1)BC段变形，AC段刚化
EI
q
w (1) C
0
A
C
B
(2)AC段变形，BC段刚化
a
a
w CF
(2) 变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受
基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁
某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁
的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件
可以不同。
逐段刚化
法 内力叠加
法
35
例10-7、试用叠加法(变形叠加)求C 截面的挠度
。
EI
q
q
A
C
B
A
C
B
M AC
M (x )
积分一次得转角方程为：
dw
E I z d x E I z M(x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
E I z w M(x)dxdx C x D
24
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件
确定。
位移边界条件
A
A
A
A
光滑连续条件
A
A
wA 0
wA 0
27
确定积分常数
EIz
M0 2L
x2
C
EIzwM 6L0 x3CxD
x 0 w(0) 0
w
x L w (L) 0
A
M0
Bx
得： D 0 C M 0 L
6
L
所以
EIzM 2L0 x2
M0L 6
EIzwM 6L0 x3M60Lx
求A，B，wL/2
解：1、 刚度计算
Tmax=9560N.m
m
a
x
T m ax G IP
180
0.48 [ ]
所以刚度符合要求。
14
计
2、变形计算
算
变
BC＝
T BC lBC G IP
1
80
0.477
CA＝TG CAIlP CA180 0.954
T
形 时 ， 扭 矩 应
A 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR wAL wAR
ALAR
25
刚度条件
数学表达式
wmax [w]
max []
刚度条件的应用 (1)校核刚度 (2)设计截面尺寸 (3)求许可载荷
26
例10-5、已知EIz为常数，M0，L，求A，B，及中点的挠度；
若 w M L2 ，试校核刚度。
(单位：rad)
— 相对扭转角
GIP 称作抗扭刚度
12
2、刚度计算
m ax
d
dx max
T GIP
max
[]
(rad/m)
或
m ax
T 180
GIP
max
[]
(°/m)
注意区分两截面之间的相对扭转角与单位长度扭转角
13
例10－3 d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m， G=80GPa，[ ]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计 算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转 角。MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m
w A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B
转角
20
二、用积分法求弯曲变形
推导纯弯曲正应力公式时，得到：
1 M E Iz
横力弯曲时忽略剪力对变形的影响： 1 M (x ) d 2w (x ) EIz
1 由数学知识可知：
dx 2 [1 ( dw )2 ]3
dx
1 d 2w 略去高阶小量 d x 2
2L
6
3
w M 0L2 [w ] max 9 3 E I Z
所以，刚度满足要求。
EIzwM 6L0 x3M60Lx
EIzM 2L0 x2
M0L 6
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三、用叠加法求梁的弯曲变形
1、叠加法原理（力的独立性原理） 在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时， 如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、 变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响， 各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单 独作用时所产生的效果之和。 2、求梁的弯曲变形的叠加法 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同 一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
AD＝TG ADIlPAD180 0.635
取 代 数
轴两端截面之间的相对扭转角为：
值
B
＝
D
BC＋CA＋AD＝0.805
。
15
例10-4、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考虑AB杆的变形， 求B截面的垂直位移。
F
B
TL
解： w B AC 300 G I P 3 0 0
500
2.05103m
C
A
10
5
f 20
16
§10-3 弯曲变形与刚度计算
一、基本概念
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移,
称为该截面的挠度。用w表示。
w
A
CB
x
w挠度
C'
B'
挠度：向上为正,向下为负.
17
2、转角
横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。 用 表示
如何求B截面的挠度及转角？
33
a
a
A
C
B
q
wC
wB
A
C
B
C
q
w B w C C a
B
A a Ca
EI
q
A
C
B
a
a
a
a
A
C
B
q
如何用另一种方法求C截面及B截面的挠度及转角？
34
使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况 和梁的变形形式，可采取两种处理方式：
(1) 载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处 的总变形等于各基本载荷作用下在该处产生变形的代 数和。
i)多力杆：
l n F N i l i
i1 E Ai
40kN
60kN
200
200
FN 40kN
20kN
x
ii)对于N沿杆长连续变化的情况，即FN=FN(x)： 20kN
FN
FN (x)
l FN (x)dx
x
l EA(x)
5
讨论题
在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片1和2， 在F力作用下，若测得1120×10－6， 2=40×10－6 ，则该试件
材料的泊松比是 C 。
(A) 3； (B) 3；
F
1 2
(C) 1/3； (D) 1/3；
F
6
讨论题
图示阶梯形杆总变形△l= A 。
(A ) 0
(B ) Fl 2EA
(C ) F l EA
(D ) 3Fl 2EA
2EA
EA
F
2F
3F
l/2
l/2
7
讨论题. 抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：
40kN
9
例题10-2、已知：d1=15.3mm, L=54mm, L0.04m m , 0.3
E=200GPa, 试计算横截面上的正应力及横向变形量。 解：1) 计算轴向应变
L 0 . 0 4 741106 L 54
2) 计算横截面应力
E 148.2(MPa)
3) 计算横向应变
222106
4) 计算横向变形 d d 1 0.0034(mm) 压紧力： F A 54.5kN
10
§10-2 圆轴扭转变形及刚度计算
1、变形计算
d T 或 d T dx
d x G IP
GIP
d 表示的是扭转角沿长度方向的变化率 dx
EA为抗拉刚度
E F N
A
E为弹性摸量
3
F
b
h
l l1
二 横向变形
b b1 b
b b
横向应变: 泊松比:
bbb
钢材的E 约为200 GPa， 约为0.25—0.33
h1
F
b1
4
l F N l 的应用推广： EA
w
4EIz
解： 1、外力分析
A
x
L
FA
M0
Bx
FB
FA
d
F2 wB
M0 L
2、EI内z 力dx分2析 M(x)
M (x) M M0 x0 x 0 x L
LL
3、变形分析 挠曲线、转角、挠度方程
EIz
d2w dx2
M M (x
)0
L
x
EIz
M0 2L
x2
C
EIzwM 6L0 x3CxD
（1）总伸长是否为 L P1L1 P2L2 ？
EA EA
如有错误，正确的算式是什么？
P1
P2
L1
FN P1 - P2
L2 x
LFN1L1 FN2L2 EA EA
(P1P2)L1 P2L2 EA EA
P2
8
例10-1、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，E=200GPa, []=170MPa。 试求：杆的总变形量。
d 2w dx 2
M (x) EIz
21
x
在规定的坐标系中, x 轴水平向右 w
M
M
为正, w 轴竖直向上为正.
O
曲线凹向上时: w 0M 0
w
曲线凸向上时： w 0M 0
M0 M
w 0 M
x
因此, w 与 M 的正负号相同
O
M0
w 0
22
d 2w M (x ) dx2 EIz
解：轴力图如图所示
A1=200mm2 A2 =250mm2
20kN
60kN
40kN
20kN200m m l1200G Pa200m m 20.1m m
200
200
40kN 200m m
FN 20kN
l2200G P a250m m 20.16m m
x
l l1 l2 0 .0 6 m m
由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线 的近似微分方程为：
d 2w M (x ) dx2 EIz 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w 2 项;
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。
23
d 2w dx 2
M (x ) EIz
EIz
d 2w dx2