高中数学必修五：不等关系与不等式

解：M⊕N＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2， M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2， M⊕N－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0， ∴M⊕N≥M⊖N.
变式训练 4：若规定ac db＝ad－bc， 则ab －a b________ab －b a(a，b∈R，a≠b)． (用“>”，“＝”，“<”填空)
A．v≤120 km/h 或 d≥10 m B．vd≤≥11200mkm/h C．v≤120 km/h D．d≥10 m
【答案】B
3．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M，N 的大小关系为________． 【解析】M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N 【答案】M>N
4．若需在长为 4 000 mm 圆钢上，截得长为 698 mm 和 518 mm 的两种毛坯分别为 x，y 个，则 x，y 应满足的不等关系为 ________．
综上可知，当 a>1 时，a>1a；
当 a＝1 时，a＝1a；
当 0<a<1 时，a<1a.
类型三 利用作商法比较大小 例 3：设 a>0，b>0，且 a≠b，比较 aabb 与 abba 的大小．
解：aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b， 当 a>b>0 时，ab>1，且 a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即 aabb>abba； 当 b>a>0 时，0<ab<1，且 a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即 aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
变式训练 3：若 a>0，比较 aa 与 3a 的大小． 解：a3aa＝(a3)a 当 0<a<3 时，0<a3<1， 则(a3)a<1，aa<3a； 当 a＝3 时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a； 当 a>3 时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
类型四 创新应用问题 例 4：规定 A⊕B＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R，若 M＝ a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断 M⊕N 与 M⊖N 的大小．
变式训练 1：一个盒子中红、白、黑三种球分别有 x 个、y 个、 z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13， 白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式将题中的不等 关系表示出来．
解：列不等式组，涉及到“至少”、“至多”问题，要用到“≥” 或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件， 据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)．
变式训练 2：已知 a>0，试比较 a 与1a的大小． 解：∵a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1，∵a>0， ∴当 a>1 时，a－1aa＋1>0，有 a>1a； 当 a＝1 时，a－1aa＋1＝0，有 a＝1a；
当
0<a<1
时，a－1aa＋1<0，有
1 a<a.
不等关系与不等式
学习目标： 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．学会比较两数大小的方法.
新知初探 1．实数的大小顺序
实数与数轴上的点是 一一对应 的，在数轴上，某一点 对应的实数总比它的 左边 的点对应的实数大．
2．比较实数 a，b 大小的依据 (1)文字叙述 如果 a－b 是正数 ，那么 a>b； 如果 a－b 是 零 ，那么 a＝b； 如果 a－b 是 负数 ，那么 a<b，反之也成立． (2)符号表示 a－b>0⇔a > b； a－b＝0⇔a ＝ b； a－b<0⇔a < b.
解：加糖前糖水浓度为ba，加糖后糖水浓度变为ba＋＋mm， 根据题意，有ba<ab＋＋mm(a>b>0，m>0)．
2．作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形．将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式． (3)定号．即判断差的符号是正、负还是零． (4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．
课堂检测
1．设 M＝x2，N＝x－1，则 M 与 N 的大小关系为( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
【解析】∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 ＝x2－x＋14＋34＝(x－12)2＋34>0. ∴M>N.
【答案】A
2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10m， 用不等式表示为( )
【解析】由题意可知，x，y 应满足以下条件．
698x＋518y≤4 000， x≥0， y≥0， x，y∈N.
698x＋518y≤4 000， x≥0， 【答案】y≥0， x，y∈N.
5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖 水的浓度变大了．若 a 克糖水中含 b 克糖，再加 m 克糖溶 化后，则糖水更甜，你能用一个不等式来表示这个关系吗？
些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上 的一个动点向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来 越大，由此可以得到下面两个结论：
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点 对应的实数大；
(2)对于任意两个实数 a 和 b，在 a＝b，a>b，a<b 三种 关系中，有且仅有一种关系成立．
(mg)
A(1 片)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
5
B(1 片)
1
7
可待因 (mg) 1 6
若要求至少提供 12 mg 阿司匹林，70 mg 小苏打，28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等 式的形式表示出来．
解：设提供 A 药片 x 片、B 药片 y 片．
2x＋y≥12， 5x＋7y≥70， 由题意，得x＋6y≥28， x≥0，x∈N， y≥0，y∈N.
y＋z≥55
类型二 利用作差法比较大小 例 2：已知 a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
解：a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为 a>b>c>0，所以 a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.
【解析】由题意得：ab －a b＝a2＋b2，ab －b a＝2ab， ∴a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0(a≠b)， ∴ab －a b>ab －b a.
【答案】>
课堂小结： 1．比较实数大小的依据 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系．那
思考感悟： 1．不等关系与不等式有何区别？
答：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”， “<”，“≠”，“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系 的，可用“a>b”，“a<b”，“a≠b”，“a≥b”或“a≤b”等式子表示， 不等关系是通过不等式来体现的．
2．你能用数学符号表示下表中的不等关系吗？
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
至多
小于
至少
大于等于
不少于
小于等于
不多于
答：
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
典例探究
类型一 用不等式(组)表示不等关系
例 1：两种药片的有效成分如下表所示.
成分
阿司匹林 小苏打
药片
(mg)