15单位根检验ADL模型

第9章 单位根检验

9.1 DF 分布

由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。

先给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p .），

y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (9.1) y t = μ + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (9.2) y t = μ + α t + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2

) (9.3) 其中μ 称作位移项（漂移项），α t 称为趋势项。

显然，对于以上三个模型中的y t 都是非平稳的。

(9.1) 式是无漂移项和趋势项的随机游走过程。见图9.1a 。 (9.2) 式是随机趋势过程。将(9.2) 式做如下变换则展示的更清楚。 y t = μ + y t -1 + u t = μ + (μ + y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + μ t +

∑-t i i u 1

= μ t + ∑-t

i i

u 1

(9.4)

-10

-5

5

10

20

40

60

80

100120140160180200

y=y(-1)+u

1200

1400

1600

1800

2000

2200

50100150200250300

图9.1a 由y t = y t -1+ u t 生成的序列 图9.1b 深圳股票综合指数（file:stock ）

这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。所以称作随机趋势过程，见图9.2，虽然总趋势向上，但误差项上下漂动。因为对y t 作一次差分

∆ y t = y t - y t -1 = μ + u t （平稳） (9.5) 序列就平稳了，所以也称y t 为差分平稳过程。

-20

0204060

801001201002003004005006007008009001000y=0.1+y(-1)+u

-100

-80-60-40

-20

020

1002003004005006007008009001000

y=-0.1+y(-1)+u

图9.2a 由y t = 0.1+ y t -1+ u t 生成的序列 图9.2b 由y t = - 0.1+ y t -1+ u t 生成的序列（file:simu2）

下面的随机过程

y t = μ +α t + u t (9.6) 称作趋势平稳过程或退势平稳过程，即减去趋势后，为平稳过程。y t - α t = μ + u t 。确定性趋势过程见图9.3。

-5

0510

15

20253050

100

150

200

250

with deterministic trend

6080100

120

140160180400

450500550600650700750800

图9.3 y t = 0.1 t + u t 生成的序列（file:simu2） 图9.4 y t = 0.1+ 0.1t + y t -1+ u t 生成的序列（file:simu2）

图9.4给出的是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。 y t = μ + α t + y t -1 + u t = μ + α t + (μ + α (t -1) + y t -2 + u t -1) + u t

= … = y 0 + μ t + α t 2

- α (1+2 +…+ t ) +∑=t

i i u 1

= y 0 + μ t + α t 2

-

2

α

( 1+ t ) t +∑=t

i i u 1

= (μ -2

α

) t +

2

α

t 2

+∑

=t

i i

u 1

(设定y 0=0)

含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t 的2次方过程。这种过程在经济问题中非常少见。

实际经济序列的增长趋势常常是指数形式的。如中国的国民收入和消费见图9.5。然而无论随机趋势过程还是确定性趋势过程，所设定的趋势都是线性的。这是为什么？原因是原

序列取对数后，趋势项常是线性的。例如y t = e β t

则 Ln y t = β t 所以用经济序列建立模型之前应先取对数。对数的中国的国民收入和消费见图9.6。这样做的另一个好处是有助于消除异方差。

5000

10000

15000

20000

25000

IP

CP

7.0

7.58.0

8.5

9.09.510.0LNIP

LNCP

图9.5 中国的国民收入和消费 图9.6 对数的中国国民收入和消费

证明可知，当T → ∞ 时，统计量

DF =)ˆ(βt =

)ˆ(1ˆβ

βs -=

∑=---T

t t u y s 1

2

/12

1)

(1ˆβ

=

∑

∑=-=-T

t t u T

t t t y s y u 1

2

/12

111

)

(

⇒

2

/11

2

2

)

)

((

)

1)1()(2/1(di i W W ⎰- (9.7)

同理，对于模型 (9.2) 和 (9.3) 的DF 统计量的极限分布也是Wiener 过程的函数。由

于这些极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法进行研究。

蒙特卡罗模拟方法得到的模型(9.1)、 (9.2) 和 (9.3) 的DF 统计量的分布见图9.7。

图9.7

附表6 DF 分布百分位数表

模型 T α 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 -2.66 - 2.26 - 1.95 - 1.60 0.92 1.33 1.70 2.16 50 -2.62 - 2.25 - 1.95 - 1.61 0.91 1.31 1.66 2.08 (a) 100 -2.60 - 2.24 - 1.95 - 1.61 0.90 1.29 1.64 2.03 模型 (9.1) 250 -2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.29 1.63 2.01 500 -2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 ∞ -2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 25 -3.75 - 3.33 - 3.00 - 2.63 - 0.37 0.00 0.34 0.72 50 -3.58 - 3.22 - 2.93 - 2.60 - 0.40 - 0.03 0.29 0.66 (b) 100 -3.51 - 3.17 - 2.89 - 2.58 - 0.42 - 0.05 0.26 0.63 模型 (9.2) 250 -3.46 - 3.14 - 2.88 - 2.57 - 0.42 - 0.06 0.24 0.62 500 -3.44 - 3.13 - 2.87 - 2.57 - 0.43 - 0.07 0.24 0.61 ∞ -3.43 - 3.12 - 2.86 - 2.57 - 0.44 - 0.07 0.23 0.60 25 -4.38 - 3.95 - 3.60 - 3.24 - 1.14 - 0.80 - 0.50 - 0.15 50 -4.15 - 3.80 - 3.50 - 3.18 - 1.19 - 0.87 - 0.58 - 0.24 (c) 100 -4.04 - 3.73 - 3.45 - 3.15 - 1.22 - 0.90 - 0.62 - 0.28 模型 (9.3) 250 -3.99 - 3.69 - 3.43 - 3.13 - 1.23 - 0.92 - 0.64 - 0.31 500 -3.98 - 3.68 - 3.42 - 3.13 - 1.24 - 0.93 - 0.65 - 0.32 ∞ -3.96 - 3.66 - 3.41 - 3.12 - 1.25 - 0.94 - 0.66 - 0.33 t (∞) N (0,1) -2.33 -1.96 -1.65 - 1.28 1.28 1.65 1.96 2.33

注：1. 适用于模型 (9.1), (9.2) 和 (9.3), 条件 β = 1。T ：样本容量，α：检验水平。 2. 摘自Fuller (1976) 第373页。

9.2 百分位数表

Full (1976) 用蒙特卡罗模拟方法得到DF 统计量的百分位数表，见附表6。以模型(9.1)、 (9.2)，(9.3)用蒙特卡罗方法模拟10000次得到的DF 分布见图9.7。

9.3 进一步讨论

以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，还应该进一步讨论在AR(p ) 模型