(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文
可交换矩阵成立的条件与性质
作者：
系别：
专业：
年级：
学号：
指导教师：
导师职称：
指导教师评语：
该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。

在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。

但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中
指导教师：
内容提要
矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA
特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.
关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵
Abstract
Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under
AB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BA
conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.
Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix
目录
引言 (1)
一可交换矩阵及相关定义 (1)
(一)矩阵 (1)
(二)可交换矩阵 (3)
二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)
(一)可交换矩阵成立的条件 (3)
(二)相关结论 (5)
(三)可交换矩阵的性质 (7)
三几类常用的可交换矩阵 (7)
四可交换矩阵的应用 (8)
五总结 (10)
参考文献 (10)
致谢 (10)
可交换矩阵成立的条件与性质
引 言
随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.
一、可交换矩阵及相关定义
㈠矩阵
1、矩阵的定义
由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.
矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.
2、矩阵的运算
()1加减法
设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则
()n
m ij ij b a B A ⨯+=+ ()2 这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算
()n m ij ij b a B A ⨯-=-
()3 ()2数与矩阵的乘积
设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且
()n m ij ka kA ⨯=
()4 即给A 的每个元素均乘以数k .
()3矩阵的乘积
设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则
()n m ij c C AB ⨯==
()5 称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中
()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=
即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.
注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．
()4对称矩阵
在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：
1,0,-<<=n j i A A ji ij
()6 则称A 为对称矩阵.
()5反对称矩阵
设A 是一个n 阶方阵，如果
A A T -=
()7
则称A 为反对称矩阵.
㈡可交换矩阵
一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：
1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.
2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.
3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠.
因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：
BA AB = ()8
则称矩阵A 和B 是可交换的.
二、矩阵可交换成立的条件与性质
若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设
()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=-- ()9 系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记
()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--
容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()I b A b A b A g q q q +++=- 110可交换.
(一) 可交换矩阵成立的条件
定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换.
证明 由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得
)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-
))((I B I A ---=
即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有
I I A I B I B I A =--=--))(())(( 即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.
定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明 设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T
=== 所以AB 是对称的.
反之，由于()AB AB T =，所以()BA A B AB AB T T T
===，因此，B A ,可交换.
推论 设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.
定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.
证明 设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以
()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10 所以AB 为反对称矩阵.
反之，若AB 为反对称矩阵,则
()11
从而BA AB =.
定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵． 证明 因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而
()()()BA AB A B A B AB T T T
==--== ()12 反之，若AB 为对称矩阵，则 ()()()AB BA A B A B AB AB T T T ==--=== ()13
所以B A ,是可交换矩阵.
定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换. 证明 因BA AB =,故有
()14
即1-A 与1-B 是可交换的.
反之，因1-A ，1-B 可交换，故有
()15 两边求逆得到BA AB =.
推论 可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .
定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T T
B A AB = 证明 如果BA AB =，那么()()T T T
T B A BA AB == 反之，若()T T T A B AB =，则()()T
T T T BA A B AB ==，即BA AB =. ()()()BA A B AB AB T T T -===-()()111111------===B A BA AB A B ()()1
11111------===AB A B B A BA
定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵.
证明 若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B 代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵.
反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则
()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ====== ()16
引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.
(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.
定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵. 定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.
定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件:
(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-
(2)()'''
B A AB = 定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=．
定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．
(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.
(二)相关结论
定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立：
(1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22
(2)()222
2B AB A B A ++=+ (3)()222
2B AB A B A +-=-
(4)()A B AB A B AB m m K K K
==,，其中m k ,分别为正整数 ()()
121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A
(5)()k k m m k k m m
B A
C B A -=∑=+0 证明 (1)因为
()()22B BA AB A B A B A --+=-+
()()22B BA AB A B A B A -+-=-+
由已知BA AB =，可得
()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22
(2)()()()222
B BA AB A B A B A B A +++=++=+ 由已知BA AB =，可得
()222
2B AB A B A ++=+
同理可得： ()222
2B AB A B A +-=-
(3)由已知BA AB =,可得 ()k k k B A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,
A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====
(4)运用数学归纳法
①当2=m 时，由（1）等式成立，即
()()B A B A B A +-=-22
②假设1-=k m 时，等式成立，即有
()()
23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A ③当k m =时，由已知BA AB =，有
()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-
()()
()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-= A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++= 由性质有
11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A
因此，上式可转化为：
A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=- k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B -
()()121---+++-=k k k B B A A B A
()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121
即证得
()()
121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A 同理可证得
()
()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121 (5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证.
(三) 可交换矩阵的性质
高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.
性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:
(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数
(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换
(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？
(4)()k m m
k k m m
B A
C B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有：
(1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵
(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵
(3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵
(4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.
三、几类常用的可交换矩阵
假设以下矩阵均为n 阶实方阵，
定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换
(2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换
(3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换
(4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换
(5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换
(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换
(7)设A 可逆,则A 与A 可交换
(8)设E AB =,则B A ,可交换.
定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换
(2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换.
定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换
(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.
四、可交换矩阵的应用
例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵.
证明 记()n n ij a ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.
由A E AE ij ij =,得
()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.
故A 是数量矩阵.
例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？
解 不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有
A A
B B =-1
即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．
例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =． 证明 记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得
ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）
故A 是数量矩阵．
例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换.
解 由已知11BA B A =，22BA B A =，那么
()()
21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．
例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T =）．
解 题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则
()()AB B A BA AB T T T
T ===.
反之，若()AB AB T =，则 BA A B AB T T ==．
例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.
证明 在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.
例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.
解 一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如
()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.
()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.
A 和
B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.
例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），
证明 设()()()n n ij n n ij n n ij d BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故
()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===
由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得
()0=-ij j i b a a
而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅
故
()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=
所以B 为对角矩阵．
五、总结
本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．
参考文献
[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.
[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)
[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)
[4].戴笠辉、颜七笙， 《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)
[5].李瑞娟、张厚超 ，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)
[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)
[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)
[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C 的显式解及其应用》， 2002 致谢
本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨
向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.。