(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文

可交换矩阵成立的条件与性质

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该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。

成绩：中

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内容提要

矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA

特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.

关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵

Abstract

Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under

AB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BA

conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.

Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix

目录

引言 (1)

一可交换矩阵及相关定义 (1)

(一)矩阵 (1)

(二)可交换矩阵 (3)

二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)

(一)可交换矩阵成立的条件 (3)

(二)相关结论 (5)

(三)可交换矩阵的性质 (7)

三几类常用的可交换矩阵 (7)

四可交换矩阵的应用 (8)

五总结 (10)

参考文献 (10)

致谢 (10)

可交换矩阵成立的条件与性质

引 言

随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.

一、可交换矩阵及相关定义

㈠矩阵

1、矩阵的定义

由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

11211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.

矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.

2、矩阵的运算

()1加减法

设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则

()n

m ij ij b a B A ⨯+=+ ()2 这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算

()n m ij ij b a B A ⨯-=-

()3 ()2数与矩阵的乘积

设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且

()n m ij ka kA ⨯=

()4 即给A 的每个元素均乘以数k .

()3矩阵的乘积

设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则

()n m ij c C AB ⨯==

()5 称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中

()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=

即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.

注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．

()4对称矩阵

在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：

1,0,-<<=n j i A A ji ij

()6 则称A 为对称矩阵.

()5反对称矩阵

设A 是一个n 阶方阵，如果

A A T -=

()7

则称A 为反对称矩阵.