闭区间套定理的推广及应用

闭区间套定理的推广及应用

摘要：先介绍了闭区间套定理，再把闭区间套定理进行了推广，并得到了

严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．再讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．

关键词：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用.

闭区间套定理是实分析中的一个重要定理．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发推广该定理．

首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用．

1 ． 闭区间套定理在1R 的推广

闭区间套定理是一个基本的定理．所以，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．

定义1.1 设[]{},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [][]11,,n n n n a b a b ++⊆，1,2,3,n = ； (2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称[]{},n n a b 为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．

定理1.1(闭区间套定理) 若[]{},n n a b 是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，

使得 ： [],n n a b ξ∈(1,2,3,n = ) 且 lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

推论 1.1 若[],n n a b ξ∈(1,2,3,n = )是区间套[]{},n n a b 确定的点，则对任意正数ε，存在自然数N ，当n N >时，总有 [](),,n n a b U ξε⊂．

定义1.2 设(){},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的开区间列，如果满足： (1) 1211n n n a a a b b b -<<<<<<<< ，1,2,3,n = ； (2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称(){},n n a b 为R 中的一个严格开区间套．

注：定理1.1中的闭区间列的端点有1a ≤2a ≤ ≤n a ≤ ≤n b ≤1n b -≤ ≤1b

如果将闭区间列

[]{},n

n

a b 1,2,3,n = 改成开区间列 (){},n n

a b

1,2,3,n = ，定理的结论不成立。例如开区间列 10,n ⎧⎫

⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭

1,2,3,n =

同样满足定义 1.1的两个条件，但不存在任何数ξ属于开区间，即

()1

,i i i a b ∞

==∅ 。如果开区间列是一个严格开区间列则结论是成立的，即得

到严格开区间套定理。

定理 1.2 (严格开区间套定理) 若(){},n n a b 是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点ξ，使得 (),n n a b ξ∈，1,2,3,n = ， 且 lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

证明 ：由定义 ，{}n a 是一个严格递增且有上界的数列．由单调有界定理，

{}n a 有极限，不妨设 ： lim

n n a ξ→∞

=， 且 n a ξ<，1,2,3,n = ． 同理严格递减有下界的数列{}n b 也有极限．由定义应有

lim lim n n n n b a ξ→∞

→∞

==， 且 n b ξ>，1,2,3,n = ．

从而存在(),n n a b ξ∈(1,2,3,n = )．

最后证明唯一性．假如另有ζ，使得(),n n a b ζ∈，1,2,3,n = ，那么有

n n b a ζξ-<-，1,2,3,n = ．在上述不等式两边取极限，有 ζξ-≤()lim 0n n n b a →∞

-=． 即 ζξ=．

故原命题成立．

定义1.3 设[){},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的半闭半开区间列，如果满足： (1) 1a ≤2a ≤ ≤n a ≤ 11n n b b b -<<<< ，1,2,3,n = ； (2) lim()0n n n b a →∞

-=；

则称[){},n n a b 为R 中的一个严格半闭半开区间套．

（ 类似也可以定义严格半开半闭区间套(]{},n n a b ）

定理 1.3 (严格半开半闭区间套定理) 如果(]{},n n a b 是R 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得

(],n n a b ξ∈，1,2,3,n = ， 且 lim lim n n n n a b ξ→∞

→∞

==．

仿定理1.2的证明即可．

2 . 闭区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．

定义 2.1 设H 是一个非空集合，在H 上定义一个双变量的实值函数

(),x y ρ，对任意的,,x y z H ∈，有：

(1)(正定性)(),x y ρ≥0，并且(),0x y ρ=当且仅当x y =成立； (2)(对称性)()(),,x y y x ρρ=；

(3)(三角不等式)(),x y ρ≤()(),,x z z y ρρ+；