数值分析1 - 数值计算的基本概念

寻求适合计算机计算的方法
误差评估（讨论方法的好坏）
特点：
（1）应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解）
抽象性；
严密的科学性；
应用的广泛性； 使用的高技术性
（2）数值计算本身的特点
离散化：计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算 法理论主要是连续系统的离散化数值求解。
构造性：方法的构造，解的存在唯一性的证明 递推性：复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重
作为 x 的相对误差。
➢ 相对误差限δ是未知的，但可以确定
三、有效数字
定义：设 x 为准确值，x 为 x 的近似值且 x可表示为
（1）x ( 0. a1 an ) 10m (m是整数)，
其中a1 0, a2 , , an 为 0, 1, … , 9 中的一个数字。若 x的绝对误差
满足
（2） x x 1 10mn ，
一、误差种类与来源
认识实际问题
数学模型
数值计算方法
程序设计
舍入误差
观测误差
模型误差
截断误差
上机计算求出结果
➢ 观测误差（或称测量误差） 由数据观测产生的误差
➢ 模型误差
补充例 子说明
数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差
➢ 截断误差（或方法误差）
由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起
➢ 舍入误差
0.33104 1 104， 2
5位有效数字
1位有效数字
➢ 一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如
g 9.81m s2 作为 g的近似值，与 g 0.00981km s2
均为3位有效数字。
➢ 在有效数意义下，不同的有效数位数的近似值的近似精度 是不同的。如10.4200的精度高于10.42：
用
：y
n1
1 5n
1 5
12 5
yn .
y1
0.05,
y3
1 3
5 y2
0.083,
y4
1 4
5
y3
0.165,L
选初值： (1) y9 y10 y9 0.017 ; (2) y10 0 y9 0.020
y8
1 45
y9 5
0.019,
y7
1 40
y8 5
0.021,
y6
1 35
1. 绝对误差
定义：设某量的准确值为x，x 是 x 的近似值，称 e(x) x x
为x 的绝对误差。 若 e( x) x x ，称 为x 的 绝对误差限。
即 x x x，在应用上常记为x x .
例2 电流表、电压表等仪器。
例3 3.1415926
e( ) ,
3.1416
e
r
(
x
)
e( x) x
x x
x
e
r
(
x
)
e
r
(
x
)
e( x) x
e( x x
)
x*e(x) x e(x) x x*
e2(x) x*( x* e( x))
(
e( x) x
)
2
1
e( x) x
➢ 通常将
(er( x))2
1
e* r
(
x)
0
er( x)
x x
x
er( x) 较小时
e( x) x
的基本过程（如左图）
数值分析是研究适合于
数值计算方法
在计算机上使用的实际
可行、理论可靠、计算
程序设计
复杂性好的数值计算方
法。
上机计算结果
结论：➢ 实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法，是
数值分析课程研究的核心对象。
➢构造算法的基本手段：近似
➢研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析
§2 误差与有效数字
e( )
1 2
104.
绝对误差不是误差的绝对值，即 e(x)可正可负。
通常 x 是未知的，故 e( x) 未知 ，但一般地 已知。
2. 相对误差
定义： 设某量的准确值为 x，x 是 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比er ( x)
x x
x
e( x x
)
为
x
的相对误差。
若 er (x)
x x x
y7 5
0.025,
y5
1 30
y6 5
0.028,
y4
1 25
y5 5
0.034,
y3
1 20
y4 5
0.043
,
y2
1 15
y3 5
0.058,
y1
1 10
y2 5
0.088,
y0
1 5
y1 5
0.182,
原因 —— 误差的传播与累积 失之毫厘,差之千里！
二、误差的基本概念(从误差度量上来说)
计算机实现计算时，机器的有限字长所造成
例1
n 0,1, ,8时，求积分yn
1 xn dx 的近似值。 0 x5
解:
yn 5 yn1
01
x n 5 x n1 x5
dx
1 n
yn
1 n
5
yn1
.
Q y0
1 dx ln6ln5 0.182(保留3位) 3216…
0 x5
改
y115y0 0.09, y2
,
称δ为
x 的相对误差限。
例4 设 x1 1.234，x2 0.002，x1 1.233，x2 0.001， 估计近似数x1、x2 的绝对误差与相对误差。
解:
e( x1 )
x1 x1
103，
e( x2 )
x
2
x2
103 ,
但 x1是 x1的一个好的近似， x2不是 x2的好的近似.
复（适合计算机计算）
近似替代：在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次 计算替代
模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算
二、数值分析的研究对象
对象——
分析实际工程计算问题，由数学模型提 出求解的数值计算方法并编程计算出结
果，然后进行误差分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析实际问题
解决现代工程技术问题
数学模型
第一章 数值计算的基本概念
引言
误差与有效数字
算法的稳定性与病态问题
计算机计算的几个问题 算法设计的原则
作为一小 节内容
§1 引言
一、数值学科的发展历史及现状
历史 （经典的工程数学问题） 现状 （1）应用广泛 边科缘 学学与科工程计算
计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）
（2）主要工作
er ( x1 )
103 1.234
0.81%，
er (x2 )
103 0.002
50%.
Why?
结论:
近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似
值 x的相对误差越小，则近似值越精确。
➢
er ( x)
是一个无量纲的数，er ( x)
x x
x
e( x) x
。
x一般是未知的，故
er
(
x)难求。考察量
2
误差不超过m-n位的半个单位
则称该位到 x 的第一位非零数字为 x 的有效数字，记为n，
即 x 有n位有效数字，或说 x 准确到 m-n 位。
➢ 有效数字的位数不能仅考虑 e( x) 1 10mn，还要看x*本身
2
例5
设x
8.000033，考虑
x1*
8.0000，x
* 2
8
尽管
x1 x
x2 x