2群论自测练习

第二章 群论

自测练习

一、概念解释

1. 置换

2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数

二、判断题

1.对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

2.任何一个子群都同一个变换群同构。

3. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。 （ ）

4. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。（ ）

5.4S 的置换⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。 6. 群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。

三、选择题

1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。

A. ),(+N

B. ),(+Q

C. ),(*+Z , 其中是非零整数集合

D. ),(+C

2. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。

A. 111)(---=b a ab

B. 222)(---=b a ab

C. 若e a =2，则1-=a a

D.ba ab =

3.精确到同构, 4阶群有( )个。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 以下结论正确的是 ( )。

A.全体非零整数对普通乘法作成一个群

B.全体奇数对普通加法作成一个群

C.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群

D.、实数域上行列式等于1的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群

5. 若,H K 分别是群G 的2011阶, 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ) 。

A.1阶子群

B.2011阶子群

C.2012阶子群

D.2011⨯2012阶子群

6. 以下结论正确的是 ( )。

A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限

B.无限群中至少有一个无限阶元

C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数

D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元

7. 在4次对称群4S 中，阶等于2的元的个数是( )。

A.2

B. 3

C.6

D.9

8. 设N 是群G 的不变子群，以下结论不正确的是( )。

A 、若G 是交换群，则/N G 是交换群

B 、若G 是非交换群，则/N G 是非交换群

C 、若G 是循环群，则/N G 是循环群

D 、若G 中元的阶都有限,则/N G 中元的阶都有限

四、填空题

1．设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为。

2．凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

3. 设)(a G =是循环群，则G 与整数加群同构的一个充要条件是 。

4. 设Z 是整数加群，Z}n |{2n 2∈=Z 是Z 的子群，则商群Z Z 2/的阶是 。

5. 模12的剩余类加群12Z 到模18的剩余类加群18Z 的同态映射有 个。

6. p (p 是素数)阶群的子群有 个。

7. 在全体非零复数对普通乘法作成的群*C 中，由

2i 31+-生成的子群的所有元素是 。

8. 若N 是4次对称群4S 的12阶子群，则商群/N 4S 的阶是 。

9. 在同构的意义下，p (p 是素数)阶群共有 个。

10. 在实数域上全体2阶可逆矩阵对普通乘法作成的群中，由⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-=0110A 生成的子群的所有元素是 。 11. 模12的剩余类加群12Z 的单位元是 .

12. 已知群G 中元素a 的阶为6，则4a 的阶等于 .

13. 整数加群Z 的所有生成元是 .

14. n 次对称群n S 的阶是 .

五、计算题

1.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 2.设6S ∈σ，其中 .261453654321⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=σ 1）将σ分解成不相连循环置换的乘积； 2）求σ的阶； 3）求1-σ及2σ。

3. 设9次置换⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ， （1）将σ表成互不相交的轮换乘积；

(2) 将σ表示成形式为对换的乘积；

(3)求出σ的逆与的阶。

六、解答与证明题

1.请举一个幺半群其中有一个元素的左逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。

2.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a ，证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。

3. 假设G 是n 2阶群，则G 包含有2阶元素；如果n 是奇数并且G 是Abel 群，则G 只有一个2阶元素。

证明

4.实数集R ，对运算)(2b a b a += 能否作成群，并说明理由。

5.设G=（a ）是循环群，证明：当n a =时，G=（a ）与n 次单位根群同构。

6.设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。

7.设R 是一个有单位元1的环，R b a ∈,,证明：如果ab +1在R 中有逆元，则ba +1在R 中也有逆元。

8.设2R 为所有实数对),(y x 作成的集合，对运算),(),(),(d b c a d c b a -+= ，2R 能否构成群，说明理由。

9.令G={}b a e ,,，且G 有如下乘法：