高考数学第一轮复习 各个知识点攻破5-1 平面向量的概念及初等运算 新人教B版
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规定：|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa 与a平行.
• (2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋ μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
精品课件
• 1．下列命题中，真命题的个数为 ()
• ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若
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考纲预览
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向 量的概念．
2．掌握向量的加法与减法．
3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条 件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概 念，掌握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向 量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题；掌 握向量垂直的条件．
• (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向 量的加法．
• (2)法则：三角形法则、平行四边形法 则．
• (3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)．
• 3．向量的减法
• (1)定义：求两个向量差的运算，叫做向 量的减法．
• (2)法则：三角形法精则品课件、平行四边形法
• 4．实数与向量的积 • (1)定义实：数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，
6．掌握平面两点间的距离公式．掌握线段定比分点和中 点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三
角形.
精品课件
命题探究
1.由于本章知识分向量和解斜三角形两部分，所以应用本章知 识能解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定 理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决 平面几何中的一些计算和证明的问题；另一类是运用正、 余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解三角形知识解决 度量不可到达的两点间距离(或高度)问题．
2．多以选择题或填空题的形式考查有关概念及运算． 3．向量的基本运算．
熟练掌握向量的加减运算以及向量与实数的积是解决向 量问题的关键，也是高考考查的重点，尤其向量加法 和减法的几何意义是历年高考考查的热点．预测命题 题型有：
(1)向量加、减法的运算． (2)结合平面向量基本定理考查向量的几何表示及向量之
精品课件
• (4)零向量：长度为零的向量叫做零向量， 记作0；零向量的方向不确定．
• (5)单位向量：长度为1个长度单位的向量
叫做单位向量．
• (6)共线向量方：向相同或相反的向量叫共线向量，
规定零向量与任何向量共线
•
长度相等且方向相同．的向量叫相等
•的(向7)量相等的向量：
•
．
精品课件
• 2．向量的加法
共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，
故选D.
• 答案：D
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• 2．e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，
则下列各组向量中，不能作为一组基底的是 ()
• A．2e1－3e2和4e1－6e2 B．e1－e2和e1＋e2
• C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
• 解析：因为共线的一组向量不能作为一组基底，
a∥b，b∥c，则a∥c；③若a＝b，b＝c，
则a＝c；④若＝
，则A，B，C，
D是一个平行四边形的四个顶点．
• A．4
B．3
• C．2
D．1
精品课件
• 解析：|a|＝|b|即两向量的模相等பைடு நூலகம்但方
向不确定，∴①不正确；对于②，当b＝0
时，其方向是任意的，∴a∥c不正确；对
于④，当
时，A，B，C，D有可能
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•
精品课件
•
平面向量的加、减运算
• [例1] 已知A、B、C是不共线的三点，O 是△ABC内的一点，若
• 求证：O是△ABC的重心．
• [分析] 要证明O是△ABC的重心，即证O 是△ABC各边中线的交点，可联系重心的
性质和向量加法的意义证明．
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[解] 如图 2 所示，
∵O→A＋O→B＋O→C＝0，
间的相互关系.
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• 1．平面向量的有关概念
• (1)向量的定
既有大小又有方向的量叫做向量
义： ．
有向线段的长度
•表(示2)向表量示的方大法小：，用用有箭向头线所段指来的表方示向向量．
•
表示向量的方向．用字母a，b，…或用
，…表示．
• (3)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|
|.
1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线
的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1.以考查向量的基本概念为主，同时考查向量的线性运 算．
对于A,2(2e1－3e2)＝4e1－6e2，即2e1－3e2和4e1 －6e2共线，故不能作为一组基底．
• 答案：A
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• 答案：D
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• 答案：－1
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• 5．如图1，设▱ABCD一边AB的四等分点中 最靠近B的一点为E，对角线BD的五等分点 中靠近B的一点为F，求证：E、F、C三点
∴O→A＝－(O→B＋O→C)．
图2
即O→B＋O→C是与O→A方向相反且长度相等的向量．
以 OB、OC 为相邻两边作平行四边形 OBDC，
则O→D＝O→B＋O→C，∴O→D＝－O→A.
在平行四边形 OBDC 中，设 BC 与 OD 相交于 E，
2．从近几年高考试题看，向量试题在高考试卷中所占比重在 提升，题型多为选择、填空题，主要考查平面向量的概念 和运算；解答题中往往与三角函数、解析几何等知识结合， 给出条件解决问题．解三角形以小题穿插于立体几何与解 析几何中.
精品课件
• 第一节 平面向量的概念及初 等运算
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考纲要求 考试热点
在一条直线上．
图1
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证明：在▱ABCD 中，已知 E 为 BA 的靠近 B 的四等 分点，F 为 BD 的靠近 B 的五等分点．
所以B→E＝14B→A，B→F＝15B→D. 而B→D＝B→C＋C→D＝B→C＋B→A， 又E→F＝B→F－B→E＝15(B→C＋B→A)－14B→A，所以E→F＝15B→C －210B→A. 同时，E→C＝B→C－B→E＝B→C－14B→A. 于是E→F＝15(B→C－14B→A)＝15E→C. 所以 E、F、C 三点在一条直线上．
• (2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋ μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
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• 1．下列命题中，真命题的个数为 ()
• ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若
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考纲预览
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向 量的概念．
2．掌握向量的加法与减法．
3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条 件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概 念，掌握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向 量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题；掌 握向量垂直的条件．
• (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向 量的加法．
• (2)法则：三角形法则、平行四边形法 则．
• (3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)．
• 3．向量的减法
• (1)定义：求两个向量差的运算，叫做向 量的减法．
• (2)法则：三角形法精则品课件、平行四边形法
• 4．实数与向量的积 • (1)定义实：数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，
6．掌握平面两点间的距离公式．掌握线段定比分点和中 点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三
角形.
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命题探究
1.由于本章知识分向量和解斜三角形两部分，所以应用本章知 识能解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定 理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决 平面几何中的一些计算和证明的问题；另一类是运用正、 余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解三角形知识解决 度量不可到达的两点间距离(或高度)问题．
2．多以选择题或填空题的形式考查有关概念及运算． 3．向量的基本运算．
熟练掌握向量的加减运算以及向量与实数的积是解决向 量问题的关键，也是高考考查的重点，尤其向量加法 和减法的几何意义是历年高考考查的热点．预测命题 题型有：
(1)向量加、减法的运算． (2)结合平面向量基本定理考查向量的几何表示及向量之
精品课件
• (4)零向量：长度为零的向量叫做零向量， 记作0；零向量的方向不确定．
• (5)单位向量：长度为1个长度单位的向量
叫做单位向量．
• (6)共线向量方：向相同或相反的向量叫共线向量，
规定零向量与任何向量共线
•
长度相等且方向相同．的向量叫相等
•的(向7)量相等的向量：
•
．
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• 2．向量的加法
共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，
故选D.
• 答案：D
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• 2．e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，
则下列各组向量中，不能作为一组基底的是 ()
• A．2e1－3e2和4e1－6e2 B．e1－e2和e1＋e2
• C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
• 解析：因为共线的一组向量不能作为一组基底，
a∥b，b∥c，则a∥c；③若a＝b，b＝c，
则a＝c；④若＝
，则A，B，C，
D是一个平行四边形的四个顶点．
• A．4
B．3
• C．2
D．1
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• 解析：|a|＝|b|即两向量的模相等பைடு நூலகம்但方
向不确定，∴①不正确；对于②，当b＝0
时，其方向是任意的，∴a∥c不正确；对
于④，当
时，A，B，C，D有可能
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•
精品课件
•
平面向量的加、减运算
• [例1] 已知A、B、C是不共线的三点，O 是△ABC内的一点，若
• 求证：O是△ABC的重心．
• [分析] 要证明O是△ABC的重心，即证O 是△ABC各边中线的交点，可联系重心的
性质和向量加法的意义证明．
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[解] 如图 2 所示，
∵O→A＋O→B＋O→C＝0，
间的相互关系.
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• 1．平面向量的有关概念
• (1)向量的定
既有大小又有方向的量叫做向量
义： ．
有向线段的长度
•表(示2)向表量示的方大法小：，用用有箭向头线所段指来的表方示向向量．
•
表示向量的方向．用字母a，b，…或用
，…表示．
• (3)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|
|.
1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线
的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1.以考查向量的基本概念为主，同时考查向量的线性运 算．
对于A,2(2e1－3e2)＝4e1－6e2，即2e1－3e2和4e1 －6e2共线，故不能作为一组基底．
• 答案：A
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• 答案：D
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• 答案：－1
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• 5．如图1，设▱ABCD一边AB的四等分点中 最靠近B的一点为E，对角线BD的五等分点 中靠近B的一点为F，求证：E、F、C三点
∴O→A＝－(O→B＋O→C)．
图2
即O→B＋O→C是与O→A方向相反且长度相等的向量．
以 OB、OC 为相邻两边作平行四边形 OBDC，
则O→D＝O→B＋O→C，∴O→D＝－O→A.
在平行四边形 OBDC 中，设 BC 与 OD 相交于 E，
2．从近几年高考试题看，向量试题在高考试卷中所占比重在 提升，题型多为选择、填空题，主要考查平面向量的概念 和运算；解答题中往往与三角函数、解析几何等知识结合， 给出条件解决问题．解三角形以小题穿插于立体几何与解 析几何中.
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• 第一节 平面向量的概念及初 等运算
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考纲要求 考试热点
在一条直线上．
图1
精品课件
证明：在▱ABCD 中，已知 E 为 BA 的靠近 B 的四等 分点，F 为 BD 的靠近 B 的五等分点．
所以B→E＝14B→A，B→F＝15B→D. 而B→D＝B→C＋C→D＝B→C＋B→A， 又E→F＝B→F－B→E＝15(B→C＋B→A)－14B→A，所以E→F＝15B→C －210B→A. 同时，E→C＝B→C－B→E＝B→C－14B→A. 于是E→F＝15(B→C－14B→A)＝15E→C. 所以 E、F、C 三点在一条直线上．