第6章：杆件横截面上的应力分析

除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，
在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。
F
F
F
F
有限元分析的圣维南原理
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1.2 应力集中
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在 离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。 但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟 槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增 大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于 均匀。 由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为 应力集中。
作用。试求在距离轴心 10mm 处的切应力，并求轴横截面上的 最大切应力。
解：1.求截面的极惯性矩和抗扭截面系数
πD 4 π 504 1012 Ip 6.133107 m 4 32 32 πD 3 π 503 109 Wp 2.453105 m3 16 16
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.2 受扭圆轴横截面上的应力
扭转实验
Me Me
a c
b
a' b' d' l
g
r x
j
O r x
d l
c'
实验现象
（1）所有轴向线仍近似为直线，且都倾斜了相同的微小角度γ。 （2）所有圆周线保持原有的大小、形状及其相互之间的距离， 在横截面内绕轴线转过了一个角度υ，称为扭转角。 （3）变形前小矩形abcd，变形后错动成平行四边形a′ ， b′ c′ d′ 即发生了剪切变形。
l
q
q Ag
(a)
2.求轴力函数并画轴力图，确定危险截面。
第六章 杆件横截面上的应力分析
在距离柱顶端任意位置x处， 用截面法将柱体沿该处截 开，取上半段为研究对象， 其受力图如图(b)所示。
x l
q
FN
O
由平衡方程可得轴力函数: FN ( x) gAx (0 x l )
画轴力图如图(c)所示。
由于 g ( ) 发生在垂直于半 径的平面内，所以 ( ) 也 应与半径垂直。
( )
第六章 杆件横截面上的应力分析
3. 静力关系
Me
T T
微剪力 (ρ)dA
d
(ρ) dA
dq
R
其对圆心的微力矩
( (ρ )d A )
(ρ)dA
x
横截面上所有微力矩之和等于扭矩，即
+
20kN
+
O
-
x
30kN
2.求最大正应力。
s max
FN max A 4 FN max πd 2 4 30103 N 6 95 . 54 10 Pa 95.54MPa 2 -6 2 3.14 20 10 m
BC段轴力是压力，故得到的应力是压应力。
第六章 杆件横截面上的应力分析
R0 T
I p 2πR d
3 0
d
R0——平均半径 δ —— 壁厚
Wp
Ip R0
2πR d
2 0
横截面上的切应力(认为均匀分布):
T T max 2 Wp 2πR0 d
第六章 杆件横截面上的应力分析
T 4kN m 【例题6-4】 一直径为D 50mm 的实心圆轴，受到扭矩
A1
由截面法易知，吊环的轴力为：
A3 A2 15 F 50 15
FN F 38kN
2.求吊环的最小横截面面积。
f10
f22
50
分别计算孔ϕ22处、销子处和接近凹槽底部处的横截面 面积A1、 A2和A3：
f22
第六章 杆件横截面上的应力分析
A1 (50 22)mm 20mm 560mm
【例题6-2】一等截面的柱体，横截面面积为A，高度为l，材料
密度为ρ，如图所示。试求其由于自重引起的最大正应力。
分析：在需要考虑力的内效应时，杆件的 自重不能作为集中力而须作为分布载荷看 待，因此需先求出轴力函数。
解：1.求重力集度q。
在需要考虑力的内效应时，杆件 的自重不能作为集中力而须作为 分布载荷看待（如图(a)），重 力集度（即单位杆长的重量）为：
可由圣维南原理加以说明。
第六章 杆件横截面上的应力分析
2 .圣维南原理
当杆端承受集中载荷 或其他非均匀分布的载荷 时，杆件并非所有的横截 面都保持平面，从而产生 均匀的轴向变形，这种情
况下， 公式：
FN s A
并不对杆件所有横截面都适用。
第六章 杆件横截面上的应力分析
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，
dj dx
dj g ( ) d x dj g ( ) dx dj 其中 表示扭转角沿轴线长 dx
度方向的变化率。
dx
dj 同一截面上 为常数，因 dx 此 g ( ) 与 成正比
第六章 杆件横截面上的应力分析
2. 物理关系
在剪切比例极限内
dj ( ) Gg ( ) G dx
q
FN(x)
由轴力图可知，底端截面 为危险截面，且
(a)
(b)
x (c)
gAl
FN
max
= ρgAl
3.求最大正应力。 FN max ρgAl σ max = = = ρgl （压应力） A A
第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-3】 起重吊环的尺寸如图所示，若起吊重量F 38kN ， 试求吊环内的最大正应力。 F 20 分析：从吊环的受力情况和截面法可知， 轴力沿吊环轴线是不变的，故最大正应力 必然发生在最小横截面上。 解：1.求吊环的轴力。
第六章 杆件横截面上的应力分析
6.1 拉（压）杆横截面上的应力
6.1.1 拉（压）杆横截面上的应力
1 .拉（压）杆横截面上的应力
轴向拉伸实验
F F
实验现象 (1) 各横向线仍保持直线，任意两相邻横向线沿轴线发生相对平移； (2) 横向线仍然垂直于纵向线，纵向线仍然保持与杆件的轴线平行。 原来的矩形网格仍为矩形。
2.求τ(ρ)及τmax
T 4 103 3 6 ( ) 10 mm 10 10 65 . 22 10 Pa 65.22MPa 7 Ip 6.13310
T 4 103 6 max 163 . 07 10 Pa 163.07MPa 5 Wp 2.453 10
其中：σ 为拉（压）杆横截面上的正应力（符号规定：拉为正、压为负）； FN为杆件横截面上的轴力；
A 为杆件横截面面积。
第六章 杆件横截面上的应力分析
备注:
（1）公式也适用于FN为压力时的应力计算。但要注意对于细 长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题（这一内容 将在后面专门研究），这里所指的是受压杆未被压弯的 情况。 （2）对于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆： FN ( x ) s ( x) A( x ) （3） 用公式计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅 取决于物体所受外力合力的大小，而很少考虑外力的分布 方式。事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近区 域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大，
2
A1
F
20
A2 2 (50 22)mm15mm 840mm
2
A3 2 20mm15mm 600mm2
A3
故吊环的最小横截面面积
A2
Amin A1 560mm
3.求吊环内的最大正应力。
2
f10
15 F 50 15
f22
f22
50
吊环内的最大正应力
s max
FN 38 103 N 6 67 . 9 10 Pa 67.9MPa 6 2 Amin 560 10 m
第六章 杆件横截面上的应力分析
第六章 杆件横截面上的应力分析
F
F
F
m
n
m
n
m
n
F
F
F
smax
m n
s max
m n
smax
m F n
F
F
有圆孔或切口或倒角的受拉板条
第六章 杆件横截面上的应力分析
A
A
s max 理论应力集中系数α s s max 应力集中处的最大应力。由解析理论、 实验或数值方法确定。
受扭圆轴横截面上切应力的分布规律
() max
O T
max
第六章 杆件横截面上的应力分析
截面极惯性矩和抗扭截面系数
（1）实心圆轴
Ip
D
d dA dq O
2π
0

D2
0
πD ddq 32
3
3
4
πD Wp D 2 16
Ip
第六章 杆件横截面上的应力分析
（2）空心圆轴

A
dA
2
——截面极惯性矩
dj T d x GIp
T ( ) Ip
——受扭圆轴横截面上切应力的计算公式 公式的适用条件 等直圆轴 线弹性范围
其中：T为横截面上的扭矩 Ip为横截面的极惯性矩
为所求切应力点到圆心的距离
第六章 杆件横截面上的应力分析
受扭圆轴横截面上的最大切应力
第六章 杆件横截面上的应力分析
假设与推理
平面假设 ：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小 相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截 面之间的距离不变。 扭转圆轴横截面上无正应力，只存在切应力。 受扭圆轴横截面上切应力的计算公式 1. 变形几何关系
变形前 变形后
g
g (ρ)
dj


A
( )d A T
dj ( ) Gg ( ) G dx
dj G dx

A
2 dA T
第六章 杆件横截面上的应力分析

A
( )d A T
dj ( ) Gg ( ) G dx
记 Ip
dj G dx

A
2 dA T
内外径之比:
d/D
π( D 4 d 4 ) πD 4 Ip (1 4 ) 32 32
d D
π( D4 d 4 ) πD3 Wp (1 4 ) 32(D /2) 16
第六章 杆件横截面上的应力分析
（3）薄壁圆筒
内外径之比: d / D 0.9
第六章 杆件横截面上的应力分析
杆件横截面上应力分析的方法
分析截面上的应力，首先必须了解应力在截面上的分布规律。 由于应力是不可见的，杆件受力后产生的应变却是可见的，
而应力和应变之间存在着一定的关系。
对杆件进行应力分析时，通常须借助相应的变形实验，根据 实验中所观察到的杆件表面的变形现象，据此建立一些关于 变形的假设，并作出由表及里的推测，以获得应力在截面上 的分布规律，从而推导出相应的应力计算公式。
对某一横截面而言，T 为常数， Ip 也是常数，因此横截面上
的切应力是 的线性函数
圆心处 0 0
外表面 max max
max
记
T max TR T Ip Ip Ip / R
Wp
Ip R
——抗扭截面系数
max
T Wp
第六章 杆件横截面上的应力分析
smax
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F
s
削弱以后横截面上的平均应力。不考虑 应力集中条件下求得的应力值。
实验结果表明：截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。
应力集中能促使疲劳裂纹的形成和扩展，因而对构件的疲劳 强度影响极大。
第六章 杆件横截面上的应力分析
【例题6-1】等截面直杆的直径d 20mm ，受载如图所示，其中：
第六章 杆件横截面上的应力分析
第六章 杆件横截面上的应力分析
主要内容
• 6.1 拉（压）杆横截面上的应力
• 6.2 受扭圆轴横截面上的应力 • 6.3 弯曲梁横截面上的应力
第六章 杆件横截面上的应力分析
引
问题提出
两根拉杆：
言
F F
材料相同，粗细不同，
拉力相同并同步增大。
F
F
两杆横截面上的轴力始终相同，细杆先被拉断。 完成了杆件的内力分析，还不足以解决杆件的强度问题。 解决杆件的强度问题，还须对杆件进行应力分析。
第六章 杆件横截面上的应力分析
第六章 杆件横截面上的应力分析
假设与推理 平面假设 : 变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面 且仍垂直于杆件的轴线。
横截面上各点处仅有正应力s，
并沿截面均匀分布。
F
FN
拉（压）杆横截面上正应力的计算公式
s
设横截面的面积为A，由静力学关系：
s A FN
FN s （此即为拉(压)杆横截面上正应力的计算公式） A
F1 10kN ， F3 50kN ， F4 20kN。试求杆的最大正应力。 F2 40kN ，
解：1.画轴力图，确定杆件内各 截面的轴力。 画出杆件的轴力图如图所示。 由轴力图可知，杆件的BC 段的轴力最大，且
FN max 30kN
F1 A
F2 B
F3 C
F4 D
FN 10kN