周世勋量子力学习题答案(七章全)
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2π 0
∫ Pϕ dϕ = ∫
μRυdϕ = 2πμυR =
2πeH 2 R = nh c
∴ R=
h=
nhc nhc = 2πeH eH
h 2π ， 可见电子轨道的可能半径是不连续的。
其中
讨论： ①由本题的结果看出， 玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一 致的。 ②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一） 只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法 （二）虽然比较麻烦，但更有一般性。
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能
全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出 的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了， 这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。
2.2
由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
ψ 1 = eikr
1 r
（2）
ψ 2 = e − ikr
1 r
从所得结果说明ψ 1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。
[解]
因
ψ 1 = eikr
1 r
，
ψ 1* = e − ikr
v 1⎞r * ⎛ ∇ψ = −⎜ ik + ⎟ ψ 1 r⎠r ⎝
传播的球面波。
v
（2）
与（1）类似，求得
v v kh r j =− μ r3
v 此结果表明 j 的方向沿矢经 r 的负方向，即几率流流向原点，所以ψ 2 表示向内传播的
球面波。
v
2.3
一粒子在一维势场
⎧∞ ⎪ U ( x) = ⎨0 ⎪∞ ⎩
x<0 0≤ x≤a x>a
0
a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数 U ( x ) 不随时间变化 体系的状态波函数满足定态 Schrödinger 方程
ψ n ( x) = A sin
由波函数的归一化条件
* ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = 1
A=
，求得
2 a
∴
ψ n ( x) =
2 nπ sin x a a
1 a
A′ =
2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数 [证] 已知（2.6—14）式的形式
⎧ ′ nπ ( x + a) ⎪ A sin 2a ψ n ( x) = ⎨ ⎪0 ⎩
* 1
1 r
则
v 1⎞r ⎛ ∇ψ 1 = ⎜ ik − ⎟ ψ 1 r⎠r ⎝
所以
v ih j= [ψ 1∇ψ 1* −ψ 1*∇ψ 1 ] 2μ
v v ⎤ ih ⎡ ⎛ 1⎞r 1⎞r ⎛ * = − ⎜ ik + ⎟ ψ 1ψ 1 − ⎜ ik − ⎟ ψ 1ψ 1* ⎥ ⎢ r⎠r r⎠r 2μ ⎣ ⎝ ⎝ ⎦ v kh r = μ r3 v v 上述结果说明 j 的方向沿矢经 r 的方向，即几率沿 r 方向向外流动，所以ψ 1 表示向外
= 2 ⋅ (1.67252 + 1.67482) × 10−27 kg = 6.6947 × 10 −27 kg
所以氦原子在 T = 1k 时的德布罗意波长
λ=
h = 2 μE
6.62559 × 10−34 ⋅m 3 − 27 − 23 2 × 6.6947 × 10 × × 1.38054 × 10 2
1 x e −1
（
A=
8πk 3T 3 c 3h 2 ）
1 dρν d dx = [ Ax 3 x ] =0 dν dx e − 1 dν
因而可得 此方程的解
x⎞ x ⎛ ⎜1 − ⎟e = 1 ⎝ 3⎠
x = 2.821
ν max =
kTx kT = 2.821 h h
−1 ⇒ Tν max = b′
④
1 nheB ⎛ dθ ⎞ E动 = ma 2 ⎜ ⎟ = 2 2m ⎝ dt ⎠
2
而
ΔE动 =
heB = MB ⋅ B 2m
根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为 2，所以电 子在温度 T = 4k ° 和 T = 100k ° 条件下的热运动能分别为：
E1 = kT = 4k = 4 × 1.38054 × 10−23 = 5.522 × 10−23 E2 = 100k = 1.38054 × 10−21
(
可化为
p2 2 μE
)
2
+
q2 ⎛ 2E ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ μω 2 ⎟ ⎠ ⎝
2
=1
上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为
a = 2μE ，
b=
2E
μω 2
这个椭圆的面积为
∫ pdq = πab = π
故 方法二：一维谐振子的方程为
2 μE ⋅
2E
μω
2
=
2πE
ω
=
E = nh v
E = nhv ，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。
υ2 e Hυ = μ c R
故
R=
μcυ
eH
这时因为没有考虑量子化，因此 R 是连续的。 应用玻耳—索末菲量子化条件
∫ pdq = nh
把电子作圆周运动的半径转过的角度 ϕ 作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量
Pϕ = ∴
∂H ∂ ⎛1 2 2⎞ & ⎟ = μR 2ϕ & = μRυ = ⎜ μR ϕ & & ∂ϕ ∂ϕ ⎝ 2 ⎠
ψ ( 0) = B = 0 ψ ( a ) = A sin αa + B cos αa = 0
由此得
A≠0
sin αa = 0
n = 1,2,3,L
αa = nπ
α=
nπ a
代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：
E=
n 2π 2h 2 2ma 2
nπ x a
n = 1,2,3,L
即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：
*
E
E
v ih v v v v j= [Ψ (r , t )∇Ψ * (r , t ) −Ψ (r , t )∇ψ (r , t )] 2μ 代入几率流密度的定义式 v ih v v v v j= [ψ (r )∇ψ * (r ) − ψ * (r )∇ψ (r )] 2μ 则有： v 即 j 仅是空间坐标 ( x, y , z ) 的函数，与时间无关。
ν max = b′T
其中
k 1.380546 × 10−23 ′ b = 2.821 = 2.821 h 6.62559 × 10− 34
= 5.878 × 10 9 k ° ⋅ s −1
这里求得
ν max 与前面求得的 λmax 换算成的ν m 的表示不一致。
1.2 在 0k 附近，钠的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布罗意波长。
由波函数的归一化条件
x
h2 2 − ∇ ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2m 其中 m 表示粒子的质量。
− −
h2 d 2 ψ ( x) + U 0ψ ( x) = Eψ ( x) 2m dx 2 h2 d 2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2m dx 2
(U 0 = ∞)
( x < 0, x > a )
又将 joul
joul
B = 10
特拉斯
M B = 9 × 10 −24
joul
joul/特拉斯
代入（4）式
ΔE动 = 10 × 9 × 10 −24 = 9 × 10 −23
比较以上的计算结果可知： 按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论 计算的结果在数量级上非常接近，但在 OK 附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与 旧量子理论计算的结果相差甚远。
λ = 7.08A
0
1.3 氦原子的动能 长。
E=
3 kT 2 （ k 为玻耳兹曼常数）, 求 T = 1k 时, 氦原子的德布罗意波
[解]
当 T = 1k 时，氦原子的动能
E=
3 k 2
氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量
μ = 2m p + 2mn + 2me
= 2( m p + mn + me ) ≈ 2(m p + mn )
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
q = A sin(ω t + δ ) dq = Aω cos(ω t + δ )dt
而
& = Aωμ cos(ω t + δ ) p = μq
∴
∫ pdq = μA ω ∫
2 2
T
0
cos (ω t + δ )dt =
2
μA2ω 2
2
T=
μA2ω 2
2v
= nh
第一章
绪论
1.1
由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长 比，即
λm 与温度 T 成反
λmT = b （常数） ，并近似计算 b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν 与ν + dν 之间的辐射能量密度为
ρν dν =
8πhν 3 c3
1 e
hν kT
dν −1
λ=
[解] 德布罗意ຫໍສະໝຸດ Baidu式为
h p
E=
因为价电子能量很小，故可用非相对论公式
p2 2μ
λ=
代入德布罗意公式得 这里利用了电子能量 数值代入后可得
h h = 2μ E 2μ eV
。将普朗克常数 h ，电子质量 μ 和电子电量电 e 的
E = eV
λ=
h 12.25 0 = A 2μ E V
取V
= 3 ，上式给出
= 2.43 × 10 −12 m = 2.43 × 10 −2 A°
第二章
2.1
波函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率流密度与时间无关。
v v −i h t Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e [证]：在定态中，波函数可写成：
i t v * v h 并由此有：Ψ (r , t ) = ψ ( r )e
( m) = 12.58 A°
= 1.258 × 10 −9
1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件
∫ pdq = nh ，一维谐振子的能量为
E=
p2 1 + μω 2 q 2 2μ 2
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
0≤ x≥a
令
α2 =
2mE h2
β=
2m(U 0 − E ) >0 h2
( x < 0, x > a )
（1）
d2 ψ ( x) − β 2ψ ( x) = 0 dx 2 d2 ψ ( x) + α 2ψ ( x) = 0 2 dx
（2）
(0 ≤ x ≤ a )
（3） （4）
ψ ( x) = e βx
x<0
ψ ( x ) = e − βx
ψ ( x) = A sin αx + B cos αx
当
x>a
0≤ x≤a
（5） （6）
U 0 → ∞ 时， β → ∞ ，由（4）式和（5）式有
( x < 0, x > a )
（7）
ψ ( x) = 0
根据波函数的连续性， （6）式和（7）式所表示的波函数分别在 x = 0 和 x = a 处连续：
b = 0.2014
其中
6.62559 × 10−34 × 2.997925 × 108 hc = 0.2014 × 1.380546 × 10− 23 k
= 2.898 × 10−3 m ⋅ k
[注]
ρν =
根据
8πhν 3 c3
x= hν kT
1 e
hν kT
−1
可求能量密度最大值的频率：
令
ρν = Ax 3
1.5
两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这
种转化，光子的波长最大是多少？ [解] 由能量守恒定律，光子的能量 hν 转化为电子的静止能量
mec 2
hν = mec 2
me 为电子的静止质量
λ=
c
ν
=
h 6.62559 × 10−34 = m me c 9.1 × 10 − 31 × 2.998 × 108
∫ Pϕ dϕ = ∫
μRυdϕ = 2πμυR =
2πeH 2 R = nh c
∴ R=
h=
nhc nhc = 2πeH eH
h 2π ， 可见电子轨道的可能半径是不连续的。
其中
讨论： ①由本题的结果看出， 玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一 致的。 ②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一） 只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法 （二）虽然比较麻烦，但更有一般性。
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能
全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出 的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了， 这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。
2.2
由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
ψ 1 = eikr
1 r
（2）
ψ 2 = e − ikr
1 r
从所得结果说明ψ 1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。
[解]
因
ψ 1 = eikr
1 r
，
ψ 1* = e − ikr
v 1⎞r * ⎛ ∇ψ = −⎜ ik + ⎟ ψ 1 r⎠r ⎝
传播的球面波。
v
（2）
与（1）类似，求得
v v kh r j =− μ r3
v 此结果表明 j 的方向沿矢经 r 的负方向，即几率流流向原点，所以ψ 2 表示向内传播的
球面波。
v
2.3
一粒子在一维势场
⎧∞ ⎪ U ( x) = ⎨0 ⎪∞ ⎩
x<0 0≤ x≤a x>a
0
a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数 U ( x ) 不随时间变化 体系的状态波函数满足定态 Schrödinger 方程
ψ n ( x) = A sin
由波函数的归一化条件
* ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = 1
A=
，求得
2 a
∴
ψ n ( x) =
2 nπ sin x a a
1 a
A′ =
2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数 [证] 已知（2.6—14）式的形式
⎧ ′ nπ ( x + a) ⎪ A sin 2a ψ n ( x) = ⎨ ⎪0 ⎩
* 1
1 r
则
v 1⎞r ⎛ ∇ψ 1 = ⎜ ik − ⎟ ψ 1 r⎠r ⎝
所以
v ih j= [ψ 1∇ψ 1* −ψ 1*∇ψ 1 ] 2μ
v v ⎤ ih ⎡ ⎛ 1⎞r 1⎞r ⎛ * = − ⎜ ik + ⎟ ψ 1ψ 1 − ⎜ ik − ⎟ ψ 1ψ 1* ⎥ ⎢ r⎠r r⎠r 2μ ⎣ ⎝ ⎝ ⎦ v kh r = μ r3 v v 上述结果说明 j 的方向沿矢经 r 的方向，即几率沿 r 方向向外流动，所以ψ 1 表示向外
= 2 ⋅ (1.67252 + 1.67482) × 10−27 kg = 6.6947 × 10 −27 kg
所以氦原子在 T = 1k 时的德布罗意波长
λ=
h = 2 μE
6.62559 × 10−34 ⋅m 3 − 27 − 23 2 × 6.6947 × 10 × × 1.38054 × 10 2
1 x e −1
（
A=
8πk 3T 3 c 3h 2 ）
1 dρν d dx = [ Ax 3 x ] =0 dν dx e − 1 dν
因而可得 此方程的解
x⎞ x ⎛ ⎜1 − ⎟e = 1 ⎝ 3⎠
x = 2.821
ν max =
kTx kT = 2.821 h h
−1 ⇒ Tν max = b′
④
1 nheB ⎛ dθ ⎞ E动 = ma 2 ⎜ ⎟ = 2 2m ⎝ dt ⎠
2
而
ΔE动 =
heB = MB ⋅ B 2m
根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为 2，所以电 子在温度 T = 4k ° 和 T = 100k ° 条件下的热运动能分别为：
E1 = kT = 4k = 4 × 1.38054 × 10−23 = 5.522 × 10−23 E2 = 100k = 1.38054 × 10−21
(
可化为
p2 2 μE
)
2
+
q2 ⎛ 2E ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ μω 2 ⎟ ⎠ ⎝
2
=1
上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为
a = 2μE ，
b=
2E
μω 2
这个椭圆的面积为
∫ pdq = πab = π
故 方法二：一维谐振子的方程为
2 μE ⋅
2E
μω
2
=
2πE
ω
=
E = nh v
E = nhv ，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。
υ2 e Hυ = μ c R
故
R=
μcυ
eH
这时因为没有考虑量子化，因此 R 是连续的。 应用玻耳—索末菲量子化条件
∫ pdq = nh
把电子作圆周运动的半径转过的角度 ϕ 作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量
Pϕ = ∴
∂H ∂ ⎛1 2 2⎞ & ⎟ = μR 2ϕ & = μRυ = ⎜ μR ϕ & & ∂ϕ ∂ϕ ⎝ 2 ⎠
ψ ( 0) = B = 0 ψ ( a ) = A sin αa + B cos αa = 0
由此得
A≠0
sin αa = 0
n = 1,2,3,L
αa = nπ
α=
nπ a
代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：
E=
n 2π 2h 2 2ma 2
nπ x a
n = 1,2,3,L
即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：
*
E
E
v ih v v v v j= [Ψ (r , t )∇Ψ * (r , t ) −Ψ (r , t )∇ψ (r , t )] 2μ 代入几率流密度的定义式 v ih v v v v j= [ψ (r )∇ψ * (r ) − ψ * (r )∇ψ (r )] 2μ 则有： v 即 j 仅是空间坐标 ( x, y , z ) 的函数，与时间无关。
ν max = b′T
其中
k 1.380546 × 10−23 ′ b = 2.821 = 2.821 h 6.62559 × 10− 34
= 5.878 × 10 9 k ° ⋅ s −1
这里求得
ν max 与前面求得的 λmax 换算成的ν m 的表示不一致。
1.2 在 0k 附近，钠的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布罗意波长。
由波函数的归一化条件
x
h2 2 − ∇ ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2m 其中 m 表示粒子的质量。
− −
h2 d 2 ψ ( x) + U 0ψ ( x) = Eψ ( x) 2m dx 2 h2 d 2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2m dx 2
(U 0 = ∞)
( x < 0, x > a )
又将 joul
joul
B = 10
特拉斯
M B = 9 × 10 −24
joul
joul/特拉斯
代入（4）式
ΔE动 = 10 × 9 × 10 −24 = 9 × 10 −23
比较以上的计算结果可知： 按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论 计算的结果在数量级上非常接近，但在 OK 附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与 旧量子理论计算的结果相差甚远。
λ = 7.08A
0
1.3 氦原子的动能 长。
E=
3 kT 2 （ k 为玻耳兹曼常数）, 求 T = 1k 时, 氦原子的德布罗意波
[解]
当 T = 1k 时，氦原子的动能
E=
3 k 2
氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量
μ = 2m p + 2mn + 2me
= 2( m p + mn + me ) ≈ 2(m p + mn )
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
q = A sin(ω t + δ ) dq = Aω cos(ω t + δ )dt
而
& = Aωμ cos(ω t + δ ) p = μq
∴
∫ pdq = μA ω ∫
2 2
T
0
cos (ω t + δ )dt =
2
μA2ω 2
2
T=
μA2ω 2
2v
= nh
第一章
绪论
1.1
由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长 比，即
λm 与温度 T 成反
λmT = b （常数） ，并近似计算 b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν 与ν + dν 之间的辐射能量密度为
ρν dν =
8πhν 3 c3
1 e
hν kT
dν −1
λ=
[解] 德布罗意ຫໍສະໝຸດ Baidu式为
h p
E=
因为价电子能量很小，故可用非相对论公式
p2 2μ
λ=
代入德布罗意公式得 这里利用了电子能量 数值代入后可得
h h = 2μ E 2μ eV
。将普朗克常数 h ，电子质量 μ 和电子电量电 e 的
E = eV
λ=
h 12.25 0 = A 2μ E V
取V
= 3 ，上式给出
= 2.43 × 10 −12 m = 2.43 × 10 −2 A°
第二章
2.1
波函数和薛定谔方程
证明在定态中，几率流密度与时间无关。
v v −i h t Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e [证]：在定态中，波函数可写成：
i t v * v h 并由此有：Ψ (r , t ) = ψ ( r )e
( m) = 12.58 A°
= 1.258 × 10 −9
1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件
∫ pdq = nh ，一维谐振子的能量为
E=
p2 1 + μω 2 q 2 2μ 2
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
0≤ x≥a
令
α2 =
2mE h2
β=
2m(U 0 − E ) >0 h2
( x < 0, x > a )
（1）
d2 ψ ( x) − β 2ψ ( x) = 0 dx 2 d2 ψ ( x) + α 2ψ ( x) = 0 2 dx
（2）
(0 ≤ x ≤ a )
（3） （4）
ψ ( x) = e βx
x<0
ψ ( x ) = e − βx
ψ ( x) = A sin αx + B cos αx
当
x>a
0≤ x≤a
（5） （6）
U 0 → ∞ 时， β → ∞ ，由（4）式和（5）式有
( x < 0, x > a )
（7）
ψ ( x) = 0
根据波函数的连续性， （6）式和（7）式所表示的波函数分别在 x = 0 和 x = a 处连续：
b = 0.2014
其中
6.62559 × 10−34 × 2.997925 × 108 hc = 0.2014 × 1.380546 × 10− 23 k
= 2.898 × 10−3 m ⋅ k
[注]
ρν =
根据
8πhν 3 c3
x= hν kT
1 e
hν kT
−1
可求能量密度最大值的频率：
令
ρν = Ax 3
1.5
两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这
种转化，光子的波长最大是多少？ [解] 由能量守恒定律，光子的能量 hν 转化为电子的静止能量
mec 2
hν = mec 2
me 为电子的静止质量
λ=
c
ν
=
h 6.62559 × 10−34 = m me c 9.1 × 10 − 31 × 2.998 × 108