医用高等数学第一单元 函数与极限-答案

第一单元 函数与极限
一、填空题
1、当→x ∞ 时，(
)2
1ln x
y +=为无穷大。

2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 0 。

解：分子的次数 < 分母的次数，结果为0 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 高 阶无穷小。

解：0tan sin lim 0x x x
x
→-=
4、01
sin
lim 0
=→x
x k
x 成立的k 为 0k > 解： 0,(0,0)sin k x k x x →>→当时，
有界
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 0 。

解： 0,arctan ()2
x
e
x x π
-→→
→∞当时，
6、⎩⎨⎧≤+>+=0
,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 2。

解：b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
Θ，
2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f Θ，,)0(b f = 2=∴b 。

7、+→x
x x 6)
13ln(lim
0 1/2 。

解：ln(13)~3(0)x x
x +→
8、若105lim(1)
kx x e x
--→∞+=，
则k=2 解：551055lim (1)2k
x
k x e e k x ---→∞⎡⎤+==⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
9、知222lim 22
x x ax b
x x →++=--，则a =_____2___，b =_____-8___.
解：
10、设a 是非零常数，则2lim(
)________x
a x x a e x a
→∞
+=-。

11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -
x 是等价无穷小，则常数3
____
2
a =-。

12、函数)(x f =
1
ln -x x
的间断点是_______2,1,0______
13、lim
_0_n =
14、设8)2(
lim =-+∞
→x
x a
x a x ，则=a _____2ln ___。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=_______2_____。

16
、n →∞
=___1/2_____.
17、1111242lim 1111393
n
n n
→∞++++=++++L L _____43___. 18、已知25
lim
232
n an bn n →∞++=+，则a =_0_______，b =___6_____. 19、设3e )21(lim -∞
→=+
kx x x ，则=k _____3
2
-________． 20、203050(23)(32)lim (51)x x x x →+∞-+=+__2030
50235
______. 21、=+∞→x
x
x x sin lim
1 ．
22、1
lim()(0,10,0)0x x ax b a b x →+>>>>= ________. 23、如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2
sin
2
x
a 等价，a 应等于___2_____. 24、设
2
0()()0
ax b
x f x a b x x x +≥⎧=⎨++<⎩，0a b +≠，则处处连续的充分必要条件是b =___0_____.
25、2
1/0
()0
x
e x
f x a
x -⎧⎪≠=⎨
=⎪⎩，则0
lim ()x f x →=____0____；若无间断点，则a =___0_____.
二、选择题
1、列极限计算正确的是（ C ）．
（A ）e )11(lim 0=+→x x x （B ）e )1(lim 1
=+∞→x x x （ C ）11sin lim =∞→x x x （ D ）1sin lim =∞→x
x x
2、x
x
x +-=
11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 C 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

解：1/32/31/32/31111/(1)(1)1/(1)(1)3
lim lim 112x x x x x x x x x x x →→→-+⨯+++⨯++===-
3、函数⎪⎩
⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k A 。

（Ａ）
23； （Ｂ）3
2
； （C ）1； （D ）0。

3
1~/1~/3,((0)2
x x x x f k →→===
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n B 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

解：11111ln(1)~lim [ln(1)ln ]lim ln(1)lim ()1n n n n n n n n n n
n n n
→∞
→∞
→∞
--→--=-=-=-（当0时）
5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 C 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点 6
、若3
1
169
x x →=-
-,则 f (x ) = ( c ) . (A) x +1 (B) x +5
7、 |
|sin lim
0x x
x →= （ D ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。

8、 =-→x
x x 10
)1(lim （D ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1
-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的（C ）
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x Θ（C ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）
2
1
； （D ） 0。

11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（D ）
（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立；
（C ）极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞
→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数
1
1
21
1---x e x x 的极限（ C ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。

13、下列数列发散的是（ D ）。

a 、0.9，0.99，0.999，0.9999，…… b 、
5
4
,45,32,23…… c 、()n f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+n n n
n 2
12212 为偶数为奇数n n d 、()n f =⎪
⎩⎪⎨⎧-+n n n n 11 为偶数为奇数n n
14、当∞→x 时，arctgx 的极限（ D ）。

a 、2
π=
b 、2
π-
= c 、∞= d 、不存在，但有界
15、1
1lim
1
--→x x x （ D ）。

a 、1-=
b 、1=
c 、=0
d 、不存在
16、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。

a 、x 1sin
b 、x
x sin c 、12--x
d 、x ln 17、下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ A ）。

a 、()+
→0lg x x b 、()1lg →x x c 、1
3
2
+x x ()+∞→x d 、()1
x e x →∞ 18、如果()∞=→x f x x 0
lim ，()∞=→x g x x 0
lim ，则必有（ D ）。

a 、()()[]∞=+→x g x f x x 0
lim b 、()()[]0lim 0
=-→x g x f x x
c 、()()
01
lim
=+→x g x f x x d 、()∞=→x kf x x 0lim （k 为非零常数）
19、()=--→1
1sin lim
21x x x （ D ）。

a 、1 b 、2 c 、0 d 、2
1
20、下列等式中成立的是（ B ）。

a 、e n n
n =⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→21lim b 、e n n n =⎪
⎭⎫ ⎝⎛++∞→2
11lim
c 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim
d 、
e n n
n =⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→211lim
21、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（B ）。

a 、是低阶无穷小量
b 、是同阶无穷小量
c 、是等阶无穷小量
d 、是高阶无穷小量
22、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ C ）。

a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 23、若数列{x n }有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（B ）.
（A ）必不存在 （B ）至多只有有限多个
（C ）必定有无穷多个 （D ）可以有有限个，也可以有无限多个
24、设0, 0(), lim ()
, 0x x e x f x f x ax b x →⎧≤=⎨+>⎩若存在, 则必有( D ) .
(A) a = 0 , b = 0 (B) a = 2 , b = －1 (C) a = －1 , b = 2 (D)a 为任意常数, b = 1
25、数列0，
13，24，35，4
6
，……（ B ）. （A ）以0为极限 （B ）以1为极限 （C ）以
2
n n
-为极限 （D ）不存在极限 26、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( D ) .
（A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 27、当x —>0 时，( C )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x
(B)
x
(C)1
ln(12)2x + (D) x (x +2)
28、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ C ）.
（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值
（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 29、如果0
lim ()x x f x →+
与0
lim ()x x f x →-
存在，则（ C ）.
（A ）0
lim ()x x
f x →存在且00
lim ()()x x
f x f x →=
（B ）0
lim ()x x
f x →存在但不一定有00
lim ()()x x
f x f x →=
（C ）0
lim ()x x
f x →不一定存在
（D ）0
lim ()x x
f x →一定不存在
30、无穷小量是（ C ）.
（A ）比0稍大一点的一个数 （B ）一个很小很小的数 （C ）以0为极限的一个变量 （D ）0数 31、无穷大量与有界量的关系是（ B ）.
（A ）无穷大量可能是有界量 （B ）无穷大量一定不是有界量 （C ）有界量可能是无穷大量 （D ）不是有界量就一定是无穷大量 32、指出下列函数中当0x +
→时（ D ）为无穷大量.
（A ）21x
-- （B ）sin 1sec x x
+ （C ）x
e - （D ）1
x e
33、当x →0时，下列变量中（ B ）是无穷小量。

x x sin .A
x e 1.B - x x x .C 2
- x )x 1ln(.D +
34、下列变量中（ D ）是无穷小量。

0) (x e .A x
1-→
0)
(x x 1
sin
.B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D →
35、=∞→x
x
x 2sin lim
（ B ）
A.1
B.0
C.1/2
D.2
26、下列极限计算正确的是（B ）
e x 11lim .A x
0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→
37、下列极限计算正确的是（ C ）
1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x
0x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→
A. f(x)在x=0处连续
B. f(x)在x=0处不连续，但有极限
C. f(x)在x=0处无极限
D. f(x)在x=0处连续，但无极限 39、若0
lim ()0x x
f x →=，则（ C ）.
（A ）当()g x 为任意函数时，才有0
lim ()()0x x
f x
g x →=成立
（B ）仅当0
lim ()0x x
g x →=时，才有0
lim ()()0x x
f x
g x →=成立
（C ）当()g x 为有界时，有0
lim ()()0x x
f x
g x →=成立
（D ）仅当()g x 为常数时，才能使0
lim ()()0x x
f x
g x →=成立
40、设0
lim ()x x
f x →及0
lim ()x x
g x →都不存在，则（ D ）.
（A ）0
lim[()()]x x
f x
g x →+及0
lim[()()]x x
f x
g x →-一定都不存在
（B ）0
lim[()()]x x
f x
g x →+及0
lim[()()]x x
f x
g x →-一定都存在
)
( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 38、 2 A 则下列结论正确的是 设 ⎩
⎨ ⎧ ≥ + < + =
（C ）0
lim[()()]x x
f x
g x →+及0
lim[()()]x x
f x
g x →-中恰有一个存在，而另一个不存在
（D ）0
lim[()()]x x
f x
g x →+及0
lim[()()]x x
f x
g x →-有可能都存在
41、22212lim(
)n n n n n →∞+++=L （ C ）. （A ）22212lim lim lim 0000n n n n
n n n →∞→∞→∞+++=+++=L L
（B ）212lim n n
n
→∞+++=∞L （C ）2
(1)12lim 2
n n n
n →∞+= （D ）极限不存在 42、201sin
lim
sin x x x x
→的值为（ D ）. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在 （D ）0
43、1
lim sin x x x
→∞=（ C ）.
（A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0
44、221sin (1)
lim
(1)(2)
x x x x →-=++（ C ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23
45、21lim(1)
x
x x
→∞
-=（ A ）.
（A ）2
e - （B ）∞ （C ）0 （D ）
12
46、无穷多个无穷小量之和（ D ）.
（A ）必是无穷小量 （B ）必是无穷大量
（C ）必是有界量 （D ）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 47、两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（ A ）.
（A ）是高阶无穷小 （B ）是同阶无穷小
（C ）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小 （D ）与阶数较高的那个同阶
48、设1
sin
0()3
0x x f x x a
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ C ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3
49、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪
==⎨⎪->⎩
的（ B ）.
（A ）连续点 （B ）第一类非可去间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点 50*、方程4
10x
x --=至少有一个根的区间是（ D ）.
（A ）(0,1/2) （B ）(1/2,1) （C ） (2,3) （D ）(1,2)
三、计算解答 1、计算下列极限 （1
）解：
lim lim
1x x →+∞
==；
（2）解：2
12lim sin cos 1lim sin cos sin 1lim cot csc lim 22
0000==-=-
==→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x （3）解：11
lim )1(lim 1
=⋅
=-∞→∞
→x
x e x x x
x 。

； （4）解：21
3211
2
2
22122lim lim 1lim 1212121x x
x x x x x x e e x x x -⨯+++→∞→∞
→∞
+⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
；
（5）解：)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
112141
cos 1
cos 4lim 3
=++⨯
=
++=→
x x x π。

（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim
00
x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 202020
2cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim
x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→4
34121=+=。

（7）；解：])1(1321211[
lim +++⨯+⨯∞
→n n x Λ)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x Λ
1)1
1
1(lim =+-
=∞
→n x
（8）。

解：331
2323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )
21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x
x x x x x （9
）解：4
443
x x →→==）) （10）解：102020
3030(2)(31)3lim
(23)2
x x x x →∞-+=+
３*、试确定b a ,之值，使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。

解：1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b
x b a ax x b ax x x x x Θ
2
11)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a 。

４*、利用极限存在准则求极限
(1)n n n n 1
3121111131211lim ++++++++++
∞→ΛΛ。

.Θ1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n ΛΛ 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x ΛΛ
（2）设01>>a x ，且),2,1(1Λ==+n ax x n n ，证明n n x →∞
lim 存在，并求此极限值。

先证有界（数学归纳法）
1=n 时，a a a ax x =⋅>=12
设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=
+21
数列}{n x 有下界， 再证}{n x 单调减，
11<==+n
n
n n n x a
x ax x x Θ
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞
→∴lim 存在，设A x n n =∞
→lim ，
则有 aA A =
⇒0=A （舍）或a A =，a x n n =∴∞
→lim
5*、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。

解：先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞Y
0=x 为跳跃间断点.。

6*、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

解：令x x f x F -=)()(， 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理，),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。