医用高等数学第一单元 函数与极限-答案

第一单元 函数与极限

一、填空题

1、当→x ∞ 时，(

)2

1ln x

y +=为无穷大。

2、=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x 0 。解：分子的次数 < 分母的次数，结果为0 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 高 阶无穷小。 解：0tan sin lim 0x x x

x

→-=

4、01

sin

lim 0

=→x

x k

x 成立的k 为 0k > 解： 0,(0,0)sin k x k x x →>→当时，

有界

5、=-∞

→x e x

x arctan lim 0 。解： 0,arctan ()2

x

e

x x π

-→→

→∞当时，

6、⎩⎨⎧≤+>+=0

,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 2。

解：b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0

Θ，

2)1(lim )(lim 0

=+=++→→x

x x e x f Θ，,)0(b f = 2=∴b 。 7、+→x

x x 6)

13ln(lim

0 1/2 。解：ln(13)~3(0)x x

x +→

8、若105lim(1)

kx x e x

--→∞+=，

则k=2 解：551055lim (1)2k

x

k x e e k x ---→∞⎡⎤+==⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

9、知222lim 22

x x ax b

x x →++=--，则a =_____2___，b =_____-8___.

解：

10、设a 是非零常数，则2lim(

)________x

a x x a e x a

→∞

+=-。 11、已知当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与1cos -

x 是等价无穷小，则常数3

____

2

a =-

。 12、函数)(x f =

1

ln -x x

的间断点是_______2,1,0______

13、lim

_0_n =

14、设8)2(

lim =-+∞

→x

x a

x a x ，则=a _____2ln ___。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=_______2_____。

16

、n →∞

=___1/2_____.

17、1111242lim 1111393

n

n n

→∞++++=++++L L _____43___. 18、已知25

lim

232

n an bn n →∞++=+，则a =_0_______，b =___6_____. 19、设3e )21(lim -∞

→=+

kx x x ，则=k _____3

2

-________． 20、203050(23)(32)lim (51)x x x x →+∞-+=+__2030

50235

______. 21、=+∞→x

x

x x sin lim

1 ．

22、1

lim()(0,10,0)0x x ax b a b x →+>>>>= ________. 23、如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2

sin

2

x

a 等价，a 应等于___2_____. 24、设

2

0()()0

ax b

x f x a b x x x +≥⎧=⎨++<⎩，0a b +≠，则处处连续的充分必要条件是b =___0_____.

25、2

1/0

()0

x

e x

f x a

x -⎧⎪≠=⎨

=⎪⎩，则0

lim ()x f x →=____0____；若无间断点，则a =___0_____.

二、选择题

1、列极限计算正确的是（ C ）．

（A ）e )11(lim 0=+→x x x （B ）e )1(lim 1

=+∞→x x x （ C ）11sin lim =∞→x x x （ D ）1sin lim =∞→x

x x

2、x

x

x +-=

11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 C 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

解：1/32/31/32/31111/(1)(1)1/(1)(1)3

lim lim 112x x x x x x x x x x x →→→-+⨯+++⨯++===-

3、函数⎪⎩

⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1

111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k A 。

（Ａ）

23； （Ｂ）3

2

； （C ）1； （D ）0。

3

1~/1~/3,((0)2

x x x x f k →→===

4、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n B 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

解：11111ln(1)~lim [ln(1)ln ]lim ln(1)lim ()1n n n n n n n n n n

n n n

→∞

→∞

→∞

--→--=-=-=-（当0时）

5、⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>=<+=0

1cos 00

0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 C 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点 6

、若3

1

169

x x →=-

-,则 f (x ) = ( c ) . (A) x +1 (B) x +5

7、 |

|sin lim

0x x

x →= （ D ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。 8、 =-→x

x x 10

)1(lim （D ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1

-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0

x f x x →存在的（C ）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞

→)1(lim 2

x x x x Θ（C ）

（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）

2

1

； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（D ）

（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立；