第三章 随机过程

概率分布 数学期望（均值） 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布
值随量x机，1的过则概程随率ξ机为(变t)ξ量在(ξt任)的(一t1一)时的维刻取概t值1率的小分取于布值等函是于数随某：机一变数
F1(x1,t1) = P{ξ (t1) ≤ x1}
ξ(t)的一维概率密度函数：
表示法2：ξ
(t)
=
ξ c
(t
)
cosω t c
−
ξ s
(t
)
sin
ωt c
ξc (t) = aξ (t) cosϕξ (t) —同相分量 ξ s (t) = aξ (t) sin ϕξ (t) —正交分量
同相分量与正交分量
ξ (t) = ξ (t)cosω t − ξ (t)sinω t
c
c
s
c
两个时刻上的取值都是不相关的。
3.5 随机过程通过系统
一、随机过程通过线性系统 二、随机过程通过乘法器（调制器）
一、随机过程通过线性系统
随机过程ξi(t)通过线性系统h (t)，其输
出也是随机过程
输入信号 ξi(t) Pi(ω)
系统 h(t) H(ω)
输出信号 ξo (t) Po(ω)
ξo (t) = ξi (t) ∗ h(t)
(ω )dω
=
∞
−∞ Pξ ( f )df
即：平均功率= 功率谱曲线下的面积
例题
求随机相位正弦波ξ(t)=cos(w0t+θ)的自相关函数 和功率谱密度,θ在(0, 2π)内均匀分布。
解：
证明ξ(t)是广义平稳过程
求自相关函数
R(τ )
=
A2 2
cos ω cτ
功率谱密度
Pξ
(ω )
程为YR(Yt()t，, t+Yτ(t)的) 功率谱为SY(ω)，自相关函数
X (t) SX(w)
Y (t) Sy(w)
Cos wct
随机过程通过乘法器(续)
R (t,t + τ ) = E[Y (t)Y (t + τ )] = E[ X (t) X (t + τ ) cosω t cosω (t + τ )]
计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题
大为简化。
例题
设一个随机相位的正弦波为
ξ (t) = Acos(ωct + θ )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的 随机变量。试讨论ξ(t)是否具有各态历经性。
【解】
(1)先求ξ(t)的统计平均值：
a(t) = 0;
R(τ ) =
高斯过程若是宽平稳的，也是严平稳的
高斯过程不同时刻的取值若互不相关，则彼此独立
高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程
各种起伏噪声，在任一时刻，噪声的振幅都符合
均值a=0的高斯分布，故称为高斯噪声。
三、 高斯白噪声—频域特性
频域特性——近似白噪声
白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布
双边功率谱密度函数
随机变量X的方差
定义
{ } ∫ D( X ) = E [x − E ( X )]2 = ∞ [x − E ( X )]2 f (x)dx −∞ = E ( X 2 ) − [E ( X )]2
物理意义
表示随机变量与均值的偏离程度Æ交流功率

方差一般也用σ
2 X
表示，其平方根σ
X
称为标准方
2π x
2
P (ξ
>
x)
=
Q
(
x
−
σ
a
)
∫ 误差函数： erf ( x) = 2 x e −z2 dz
π0
互补误差函数：
∫ erfc(x) = 1 − erf (x) = 2 ∞ e−z2 dz = 2Q( 2x)
πx
二、高斯白噪声—时域特性
随机过程ξ(t)，在任一时刻的取值（随机变量）都
符合高斯分布，则称ξ(t)服从高斯分布。其n维概
随机过程通过线性系统(续)
性质：
若ξi(t)是平稳随机过程，则
1.均值：E[ξo(t)] = E[ξi(t)] H (0)与 t 无关
2.自相关函数：Ro(t1, t1+τ) = Ro(τ) 与t1无关
3.功率谱密度函数：
P (ω) ξo
=
τ τ ∫ R ( )e d +∞ −∞ o
− jωτ
f1 ( x1 , t1 )
=
∂F1 ( x1 , t1 ) ∂x1
概率分布(续)
ξ(t)的n维概率分布函数和n维概率密度
函数分别是：
Fn(x1, x2 Lxn;t1,t2 Ltn ) = P{ξ(t1) ≤ x1,ξ(t2) ≤ x2 Lξ(tn) ≤ xn}
fn (x1, x2 Lxn;t1,t2 Ltn )
3.2 随机过程
一、概念 二、统计特性
一、概念
样本函数：
样本空间
S1
随机过程的 S2
x1(t)
一个实现 Sn
t
随机过程：
x2(t)
样本函数的
集合
t ξ (t)
任意时刻的 取值为随机 变量
xn(t) t
tk
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角 度，用概率分布和数字特征来描述。
二、统计特性
相同，为σ2
同时刻ξc(t)、ξs(t)互相独立，不相关
窄带高斯白噪声(续)
2. 时域特性——瑞利分布
ξ(t)包络aξ(t)的一维分布符合瑞利分布，
f (x) = x exp(− x2 )
σ2
2σ 2
相位φξ(t) 的一维分布符合均匀分布，
f (ϕ) = 12π
第三章 随机过程
随机变量 随机过程 平稳随机过程及其特点 高斯过程与高斯白噪声 随机过程通过系统 窄带高斯过程与窄带高斯白噪声 正弦波加窄带高斯噪声
3.1 随机变量
一、概念 二、统计特性
随机变量X，概率密度函数f(x) 三、数字特征
——数学期望 ——方差 ——协方差
随机变量X的数学期望
5.相关函数
∫ ∫ R(t1,t2 ) = E[ξ (t1)ξ (t2 )] =
∞ −∞
∞
−∞ x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
物理意义：表示随机过程在两个时刻的
取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓， 两个时刻取值的相关性越大，R值越大
s(t)
3.3 平稳随机过程及其特点
=
P (ω) H (ω) 2 ξi
4.概率分布：若ξi(t)是高斯型的，经过线性系统 后的ξo(t)也是高斯型的。
例题
求双边功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想 低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数 和噪声功率。
H(f)
K
fH
fH
二、随机过程通过乘法器(调制器)
平稳随机过程X(t)经过调制器，输出随机过
同相分量/正交分量与窄带信号的关系
LPF
ξ(t)
H(w)=2
cosωct
sinωct
LPF H(w)=2
ξc(t) -ξs(t)
二、窄带高斯白噪声
窄带高斯白噪声可由高斯白噪声经过窄 带滤波器得到。
1. 性质:
窄带高斯白噪声的ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)都
是均值a=0的平稳高斯过程；
ξ(t)、ξc(t)、ξs(t)的平均功率（方差）
相关函数其他性质
R(τ)=R(-τ) | R(τ)|≤R(0) R(0)为上界
特点(续)
以相关函数表示随机过程的频域特性
∫ ξ(t)的功率谱：Pξ (ω) =
∞ R(τ )e jωτ dτ
−∞
即：Pξ (ω) ↔ R(τ )
维纳-辛钦关系
∫ ∫ ξ(t)的平均功率：
S= 1
2π
∞ −∞
Pξ
定义
若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概率密 度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随机过程 （严平稳）
特点
统计特性与时间起点无关（广义平稳的定义）
a (t)Æa;
R(t1,t2)ÆR(τ)
特点(续)
各态历经性：设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统
计平均= x (t)的算术平均
∞
∫ 定义 E(X ) = xf (x)dx −∞
物理意义
表示随机变量的均值Æ直流分量
性质
C是常数，则E(C)=C。 C是常数，则E(C·X)=C·E(X)。
X、Y是任意两个随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
X、Y是两个互相独立的随机变量，则 E(X·Y)=E(X)·E(Y)。
1
2π σ
exp[−
(x − a)2
2σ 2
]
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
则称ξ服从高斯分布（正态分布）
ξ的分布函数：
1 f (x)
x
∫ F (x) = f (z)dz −∞
2π σ
= 1 + 1 erf ( x − a )
22
2σ
= 1 − 1 erfc( x − a )
O
22
2σ
a
x
几个定义
定义
Q函数：
∫ Q( x) = 1 ∞ exp( − z 2 )dz
Y
Y
2
x
.
∴ SY (ω) ↔ RY (τ )
SY
(ω)
=&
1 4
[SX
(ω
+
ωc
)
+
SX
(ω
−
ωc
)]
3.6 窄带随机过程与窄带噪声
一、窄带随机过程定义
表示法1：ξ(t) = a (t)cos[ω t +ϕ (t)]
ξ
c
ξ
aξ (t) 对应信号的包络，
φξ(t)对应信号的相位， ωc=2πfc 窄带信号的中心频率（载频）
为：Pn(ω)=n0/2(W/Hz)
Pn（f）
n0/2
单边功率谱密度函数为：
Pn(ω)=n0(W/Hz)
Pn（f）
n0
0 f
通信系统中的热噪声，在相当宽的频域内具有 平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。
高斯白噪声—频域特性 (续)
白噪声的自相关函数为：
R(τ ) = n0 δ (τ ) ，
2
仅在τ=0时，R(τ)≠0，说明白噪声在任意
Y
c
c
= E[ X (t) X (t + τ )][cosω τ + cos(2ω t + ω τ )]
2
c
c
c
=
R X
(τ
) [cosω
τ
+
cos(2ω
t
+
ω
τ
)]
2
c
c
c
RY(t, t+τ)与t有关，所以Y(t)不平稳，取其时间平均
R
.
(τ
)
=
R
(t , t
+τ
)
=
cosω τ c
R
(τ
)
与t无关，
D(ξ (t)] = E{ξ (t) − E[ξ (t)]}2 = σ 2 (t)
物理意义：表示随机过程在某时刻的取值 （随机变量）对该时刻的期望的偏离程度
ξ (t)
σ (t )
ξ1 (t ) ξ2 (t)
M
ξn (t)
t 0
4.协方差函数
B(t1,t2 ) = E{[ξ (t1) − a(t1)][ξ (t2 ) − a(t2 )]} 物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系
A2 2
cos ωcτ
(2) 求ξ(t)的时间平均值
(3)比较统计平均与时间平均
特点(续)
以相关函数表示随机过程的物理特性
∫ ∫ R(t1,t2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t2 )] =
∞ −∞
∞
−∞ x1 x2 f 2 (x1 , x2 ;t1 , t2 )dx1dx2
ξ(t)的平均功率：S = E[ξ2(t)] = R(0) ξ(t)的直流功率：a2 = E2 [ξ(t)] = R(∞) ξ(t)的交流功率：σ2 = R(0) - R(∞)
=
πA2
2
[δ
(ω
−
ωc
)
+
δ
(ω
+
ωc
)]
∫ 平均功率
S = R(0) = 1
2π
∞ −∞
Pξ
(ω
)dω
=
A2 2
3.4 高斯随机过程与高斯白噪声
信道中的噪声
单频噪声 脉冲噪声
起伏噪声
热噪声 散弹噪声 宇宙噪声
起伏噪声为高斯随机过程
一、 高斯随机变量
随机变量ξ，若概率密度函数为
f (x) =
率密度函数为： fn (x1, x2 ,..., xn；t1,t2 ,...,tn )
[ ∑∑ ] =
1
exp
−1 n n B
( x j − a j )( xk − ak )
(2π )n / 2σ1σ 2 ...σ n B 1/ 2
σ 2 B jk j=1 k =1
j
σk
高斯过程只依赖数字特征，即均值和协方差函数
=
∂nFn (x1, x2 Lxn;t1,t2 Ltn ) ∂x1∂x2 L∂xn
2.数学期望 （均值）
∫ E[ξ (t)] =
∞
−∞ xf1 (x,t)dx = a(t)
物理意义：表示随机过程在各个时刻 的摆动中心（平均值）
ξ (t)
ξ1 (t ) ξ2 (t)
M
ξn (t)
a (t )
t 0
3. 方差
lim ∫ a = a =
1
T
2 x(t)dt
T T →∞
−T 2
lim ∫ R(τ ) = R(τ ) =
1
T
2 x(t)x(t + τ )dt
T T →∞
−T 2
意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所
有可能状态。因此， 只需从任意一个随机过程的样 本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统
差
随机变量X的协方差
定义
COV ( X , Y ) = E {[x − E ( X )][y − E (Y )]}
= E ( X ⋅ Y ) − E ( X ) ⋅ E (Y )
E(XY)称相关函数
物理意义
描述两维随机变量(X,Y)的相互关系
几个概念
独立 不相关 正交
f(x,y)=f(x)f(y) COV(X,Y)=0 E(XY)=0