初中数学常见模型及部分解题思路

初中数学常见模型解题思路
代数篇
1、循环小数化分数：（1）设元（2）扩大（3）相减抵消法【等式性质的运用】例：把 0. 108108108... 化为分数 .
设 a=0. 108108108... ① 两边同时乘以 1000，得 1000a=108. 108108... ②
② - ① ，得 999a=108 ，从而得 a=108/999=4/37.
2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平
整体思想的结合】
方公式”
x y,x y,xy,x2 y2中，知二求二. （加减配合，灵活变形.）
如(x y)2 x2 y2 2xy x2y2(x y)22xy ；
2 2 2 2
(x y) x y 2xy (x y) 4xy.
1 2 2 1
3、特殊公式(x )2x222 的变型及应用.
xx
4、立方和/差公式：x3 y3 (x y)(x2 xy y2)； x3 y3 (x y)(x2 xy y2).
5、等差数列求和的法：首尾相加法. （方法+公式）例：计算
1+2+3+4+... +2018. 【规律推导法；等式性质推导】6、等比数列求和法：（1）设元（2）乘等比（3）相减（4）求解.
例：计算1+2+4+8+... +2n. 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、 1 1 n m; 1 1 n m的灵活应用.
m n mn m n mn
例：计算（1）1 1 1 1 1 ... 1；（2） 4 8 12 16 ... 28 32 .
2 6 12 20 30 380 1
3 3 5 5 7 7 9 13 15 15 17 8、韦达定理求关于两根的代数式的值.
（1）对称式：变和积. x2 y2；xy2 x2y；1 1；1212 . （x、y为一元二次方
程的两根）x y x y
（2）非对称式：根的定义降次变和积（一代入二韦达）
9、三大非负数及三大永正数（如|x|+2）.
10、常用最值式：（x y）2正数等
11、换元大法.
12、自圆其说加减法与两肋插刀法。

代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。

13、拆项法、配方法。

（原理同上）
14、十字相乘法.
15、统计概率：两查（抽样；普查）、三事（必然；随机；不可能）、四图（折线；条形；扇形；直方）、三数三差、两频（频数；频率）一概（概率）.
16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等
17、a b ，则 a b 在动点问题中的巧妙应用（避免繁琐的因为点的相对位置变
化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对 值的代数解法 ）. 18、四个角的正切值： 22.5 度的正切值为 2 1； 67.5度的正切值为 2 1；
75度的正切值为 2 3 ；15度的正切值为 2 3 .
几
1、线、角的等量问题： 等角（如右图 ）：条件 AOB COD 说明：可视作由旋转产生的“共点
等角” 等线（如下图 ）：条件 AB CD 结论： 说明：可视作由平移产生 A B C D A
2、两条平行线夹一角 （即“拐
点问题” 例：如图 1，条件 AE
∥CF 结论： P AEP PFC 360 如图 2，条件 AE ∥CF 结论： P EAP FCP AC BD D P C B C
3、平行线夹等 （同 ）底三角形：面积相等。

同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。

若 m ∥n ，则
S ABC S ABD .反之，若 S ABC S ABD ，则 m ∥ n.
A B n
4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和
5、三角形的角平分线 . A （1）两内角平分线相交角： P 90 2 A 一内一外角平分线相交角： M A 2
A B C
A M
B
C A
两外角平分线相交角： N 90 A
（
（2）一内角平分线分对边所成的两条线段之比 等于该角两边之比 . 如： AD 平分∠ BAC ，则 A A C B C BD D
A
B DC
A N
B
6、三角形的中线：重心分中线为 1:2 两部分 . 如：三中线 AD 、BE 、CF 交于点 K ，则 22 AK 2KD AD ;BK 2KE BE ;CK 2KF 33
7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆 F 23CF . E
如：AD 、BE 、CF 为高，则 AD BC BE AC CF AB ; △ADB ∽△ CFB 等；B 、C 、E 、F 四点共圆等 .
A
E
C
F
D C
8、（1）高与一角平分线的夹角等于另外两角差
的一半 . 如： AD 、AE 分别为△ ABC （AB ≠AC ）的角平分线和高，
则∠ DAE= C B
.
2
（2）两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的 如： AE 、BF 分别为△ ABC 的中线，且 AE ⊥BF ，
则 AC 2
BC 2
5AB 3 4
.
9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积
（1）在△ ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于同
一点 则5
ABO :S
ACO BD
:CD
.
（2）任意四边形中的比例关系 （“蝶形定
理” ）：
S 1 :S 2 S 3 :S 4 或者 S 1 S 4 S 2 S 3.
10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三 等变等直 .等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦 =底边的一半 /腰 * 重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边 ×这个角的余弦 =另一边
3
2
12、等边三角形面积的求法： S 边长为 a 的等边三角形 a
4
13、求面积的套路： （1）复杂图形：一拆用加；二放用减 . （2）三角形：①面积公式；
②两边与夹角正弦的积的一半 （遇钝变补 ）； ③铅垂线法 （宽高法 ）；④等边三角形的面积； ⑤利用相似比的平方等于面积比 （借助面积可求的三角形的面积和相似比求解 ）； ⑥让出去 （化归 ）.
AO:OC (S 1 S 2):(S 3 S 4) A
E DC
A
5 B
E B
C
的一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）.
BC
如图：AB cosB BC△ABC 为等腰三角形（BC 为底）.
* “两线一圆模型”：已知线段AB（两定点A、B），在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形.这样的点C的集合在以A、B为半径的圆和AB的垂直平分线上（与A、B共线的点除外）【等腰三角形存在性问题】
11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘
积/斜边* 直角三角形存在性之“两线一圆模
型” ：已知线段AB（两定点A、B），在平面内找一点C，使△ ABC为直角三角形. 满足条件的 C 的集合在过A、B 作线段AB 的垂线及以AB 为直
径的圆上的除A、B 两点的任意点都可与A、B 组
成直角三角形.（即所谓的“两线一圆” ）
如图，矩形 ABCD 内任意一点 P ，则有： PA 2 PC 2
PB 2
19、矩形经典对折图 .如图，矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折， C 点到了 E 点，则一对全等 ( 小直角三角形 )一对相似，两个 等腰.例： AE:BD=3:5 则 AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比 为 3:5，所以
(3) 平行四边形面积 =两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积 =边长的平方与 一个内角的正弦的乘积；梯形的面积 =两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半 . (4) 共角(有一个角相等 )三角形：面积的比等于等角两边乘积的比 (鸟头定理 ). 两个三角形中有一个角相等或互补， 这两个三角形叫做共角三角形 .共角三角形的 面积比等于对应角 (相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比 .
如图，在△ ABC 中，D 、E 分别
是 AB 、AC 上(或延长线上 )的
点，则 S ABC :S ADE (AB AC):(AD AE)
14、三大蝴蝶： (1)一线两等边 .如图，△ ABC 、△ ECD 为等边三角共线，则有：△ BCE ≌△ ACD 、△ DCG ≌△ ECF 、 △BCF ≌△ ACG ；旋转 60°形成的全等三角形，所以 △ CGF 也是等边三角形；三组平行线； ∠AKB=∠BKC=∠DKC=6°0 ;KC 平分∠ BKD ； K 、F 、C 、G 四点共圆 .
(2)一个三角形两等边 .如图，以△ ABC 的两边 AB 、 AC 为边向外作等边△ ADB 和等边△
ACE ，则有： △ADC ≌△ABE CD=BE,
∠DGB=6°0 ,∠DGE=12°0
又S ADC S ABE 点 A 到DC 和到 BE 的距离相等
AG 是∠DGE 的平分线，∠ DGA= ∠EGA=60°. (3)一个三角形两个正方形 .如图，以△ ABC
的两边 AB 、AC 为边向外作正方形 ABGF 和正方形 ACDE 则有： FC=BE ，FC ⊥BE ；AH 平分∠ FHE ； A 、F 、B 、H 四点共圆. 15、平行四边形的面积关系：
1
(1) S AED S
平行四边形 ABCD ；
(2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线 (一般找平行于两轴的直线 )的距离相等 . 16、平行四边形对角线平方的和等
于四边平方的和： AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 DA 2
17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和 长宽
对角
线
18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等
A
B C A E D
A E
B
C G E
A H
D
C
EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8.
20、正方形垂等图 . 垂
直 相等 横平竖直； 21、正方形三兄弟成面积图 改邪归正”的辅助线方法 . 22、两正方形垂直相等图 . 如图， ABCD 、CGFE 是正方形： (1)△DCG ≌△ BCE;(2)BE ⊥DG ， BE=GD ； (3)A 、B 、M 、D 四点共圆， ∠ADB=∠AMB= ∠AMD=4°5 ,△ADM ∽△ AND, AD 2 AM AN ；(4)若 DM 2=ME ?MA ，则 BD=BG ， △BDG 为等腰三角
形 . (∠ GDC= ∠DAM= ∠DBM= ∠MBG) ，此时
MA=MB. 23、正方形内含半角 (其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形 )--- 邻边相等
的圆内接四边形内含半角图 . 条件：正方形 ABCD 中，∠ EBF=45°,结论：
1 (1)EF=AE+FC ；(2) l AGN 2l 正方形
ABCD
;(3)∠DCA=∠EBF=45° B 、C 、F 、H 四点共圆，
∠ BFH=90° △BHF 为等腰直角三角形； (4)同上：∠ DAC= ∠EBF=45° G H
K B 、K 、E 、 A 四点共圆，∠ BFE=90° △ BHE 为等腰直角三角形 . 24、正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图 (1) 正方形内含 45°模型推广到圆内接四边形 (对角互补的四边形 )， 有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角 . 条件：四边形 ABCD 中，BA=BC ，∠ABC+ ∠D=180°， 1 EBF ABC ,结论： EF=AE+CF. 2 (2) 等腰直角三角形内含 45°. 条件：等腰直角△ ABC ， 结论： EF 2 AF 2 CE 2.
∠FBE=45°， (3)其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图 比找到相关边的关系 .) 正方形互补型 . (1)对称中心有直角： OE=OF (2)直角顶点在对角线上：
PB=PQ
B F E C
E
A
用三角
.(根据上述模型类比解决：
小结：对角互补模型
(1)全等型 --90 °
条件：①∠ AOB=∠DCE=9°0 ;②OC 平分∠ AOB
结论：① CD=CE; ② OD+OE= 2 OC ；
③
S
ODCE
(2) 全等型 --120
条件：①∠ AOB=2 ∠DCE=12°0 ;
②OC 平分∠ AOB 结论：① CD=CE; ②OD+OE=OC ；
3
2
③
S
ODCE
S
OCD S
OCE
OC .
4
25、正方形中 123 成 135°
点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接 AE 、 将△ ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°到△CBE '的位置. 若 AE=1，BE=2，CE=3，则∠ BE 'C = . 26、相似模型： (1) 正 A 、错 A ；正八、错八；正射影、错射影；正 K 、错 K(一线三等角 )
射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比 (2)双八字 (共圆图之一 ) 条件：∠ BAC= ∠BDC(同弦对等角 ) 结论：B 、C 、D 、A 四点共圆；
△ABM ∽△DCM, △ADM ∽△ BCM;
其中 AB 、BC 、CD 、DA 四
条弦所对的四对圆周角相等
(3) 线束定理：两平行线被过一点的三线所截得的四条“横线”对应成比例
(4) 平行于一边的线段截得的图形 (三角形、四边形 )面积之间的关
S OCD S OCE 1
2OC 2
.
条件：直线 m ∥ n ，结论：
AB BC DE EF
B
A B D
BE 、CE ，
C
A
B E
C B A C A B C
系. 条件：DE∥BC，结论：图形中“对应”线段的比，相关面积的比，知一求其它.
(5)三角形内叉型：知两比求其它比. BE:EC CD:DA AF:FE BF:FD 知二求二(过已知比的节点作平行线)
(6)四线六点型：过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点，
作不过这个顶点的直线的平行线(有两条)，问题迎刃而解. A 技巧：如过 C 点可作AB 或者DE 的平行线.善于从纷繁复杂 D 1 的图形中找到这样的模型是关键. E (7)歪 A 模型.条件：∠ 1=∠ 2，结论：歪 A 生歪八， B 2 C
歪八补型得歪A( 延长BD、CE 相交于点A)；对角互补的圆内接四边形补型
28、解直角三角形、解斜三角形 （双勾股 ）
（1）直角三角形：内高型、外高型、双高型 （梯形）、单高型（直角梯形 ） 口诀：角优先、多求边；造模型、设表列 .
（2）任意三角形：知三求三 （三边、两角一边、两边及夹角 ） --尽量不破坏已知的边和角 （内高、外高 ） 29、解三角形之：角优先、套模型 .
1
S BCD 1
2AC BD （对角线互相垂直的四边形 ） A （x A ，y A ） D （x D ，
y D ）
31、三平三交造平四 （两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等 ） 条件：平行四边形 ABCD
x A x C x B x D
B （x B ， y B ）
C （x C ，y
C
）
（附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向
角 --图略 ） 30、手拉手模型 O
* 模型一：手拉手模型 --旋转型全等 （1）等边三角形 条件：△ OAB 、△ OCD 均为等边三角形 结论：△
OAC ≌△OBD;∠AEB=6°0 ;OE 平分∠ AED. （2）等腰直角三角形 条件：△ OAB 、△ OCD 均为等腰直角三
角形 结论：△ OAC ≌△OBD;∠AEB=9°0 ;OE 平分∠ AED.
D
A B （3）任意等腰三角形 条件：△ OAB 、△ OCD 均为等腰三角形 结论：△ OAC ≌△OBD;∠AEB=∠AOB;OE 平分∠ AED. * 模型二：手拉手模型 --旋转型相似 （1）一般情况 条件： CD ∥AB ，将△ OCD 旋转至右图位置 . 结论：右图中△ OCD ∽△ OAB △OAC ∽△ OBD; 延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC= ∠BOA. A
（2）特殊情况 条件： CD ∥AB ，∠ AOB=9°0 ，将△ OCD 旋转至右图位置 . 结论：右图中△ OCD ∽△ OAB △OAC ∽△ OBD; 延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC= ∠BOA; BD OD OB
tan OCD ;BD ⊥AC ； AC OC OA 连接 AD 、BC ，必有 AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；
D E D B E
C
B
C D B
A D C E
B A
O D B B A O D O B
O C D
C E
公式： A C B D用中点或平移两种思路都可推理y A y C y B y D
32、共圆图.
（1）共边两等角（直角）-- 见“双八字”图；
（2）对角互补（对角有两直角）、外角等于内对角.--等腰梯形四顶点永远共圆
33、垂径图、弦切图、双切图、切割图、双割图、相
交弦定理平行弦、圆内共点等弦所成角被过这点的直
径（半径）平分.
34、等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造
全等. 条件：AB=AC ，∠BAC=9°0 ，D为BC之中
点，∠ EDF=90° 1
结论：△ ADF ≌△ BDE; S四边形AEDF12S ABC ;
△ EDF 为等腰直角三角形；E、D、F、A 四点共
圆；
2 2 1
DE2=DF2=DG?DA；AE+AF=AB=AC;AD+AE+AF= l ABC .
35、相似+公共边比例中项（平方：共边相似+勾股定理）
36、方程思想设表列，几何勿忘角优先，以角定边找关系，比例已知用负元
37、两边分别平行或相等的两个角相等或互补.
38、中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱；菱矩互变；任四为平.平正自变
39、正A面积比法（知一比求全比）
40、三角形内十字叉：知二比求全比（六个比知二求四）
11
41、等腰直角三角形的面积斜边的平方直角边的平方
42
42、动点问题的解题套路：
（1）相似三角形的存在性；
（2）等腰三角形的存在性：两点间距离公式、余弦大法、几何法；（3）直角三角形存在性：射逆、勾逆、斜中逆、一线三直角之逆、直线垂直交轨法
（4）面积的函数关系及最值：正弦法、铅垂线法、拆放法、相似比转化法（5）将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路两村.
（6）平行四边形的存在性：三定一动（相对顶点横、纵坐标和相等）；两动两定（按照定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标）.
（7）几何法（思路难、计算简）；代数法（思路简、计算难）；代几混合法（取长补短更优越）
43、圆内接四边形（对角互补）的补形法：补形构造大A型（歪A）全等三角形. （特别注意：双勾股的用法）
44、被“误解”和“冤枉”的SSA：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角不互补，则这两个三角形全等.
函数篇
1、平面内两点间的距离：
（1）横平（平行于x 轴的直线上两点间的距离）=|横坐标之差|=右- 左；（2）竖直（平行于y轴的直线上两点间的距离）=|纵坐标之差|=上- 下；
（3）平面内任意两点间的距离：开方式（求距离）；平方式（列方程）；
（4）横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离.
2、中点坐标公式：横和取半、纵和取半.
3、函数图象平移规律：上加下减、左加右减.
4、交轨法：交点坐标方程组的解（代数法出发点）
5、代数（函数）设横表纵，坐距互变几何（图形）
6、函数与图象的对应关系：两数对一点、一点对两距；一式对一线、
一线对一式
7、已知一点和一条直线，求这点关于这条直线的对称点的坐标（垂直定k，点k 定关系式.交轨法求垂足，中点坐标公式得结论.）
8、求点到直线的距离：垂直定k，点k 定关系式，交轨法求垂足，两点间距离公式得结论.
9、一次函数y=kx+b（k≠0）：
（1）三点：与两轴的两个交点、图象上的动点（m，km+b）
（2）一k三比一角：|k|=坡度=坡角的正切（以k定比、定角；以比、以角定k）
k 的特殊求法：竖比横y2 y1；横竖法秒杀关系式；
x2 x1
根据一次函数的关系式确定一个三边的比确定的基本三角形.
k 1、 3、 3/3 时产生的特殊角：45°、60°、30°.
（3）两直线平行k相等；两直线垂直k 的积为-1.（4）两条直线（一次函数）关于x轴（含平行于x轴的直线对称）或y轴（含平行于y轴的直线对称），则其斜率的和为零（互为相反数）.
（5）最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围.
2
10、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)解题模型及套路：
(1)二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的关系+最值的意义+123特殊值+三特殊值定关系式法.
(2)二次函数比大小：远近法(对称轴法)
(3)一式三型：一轴三法、五定一动、五个死点一个活点
(4)针对活点：设横表纵、一线冲天、横平竖直、坐距互变--- 改斜归正(5)解题套路(四列)：
列点--求定点，设动点，找关系列线--改斜归正，以点定线定式
列角--以式(直线：一次函数的关系式中的k 确定对应的角及其基本三角形中三边的比和三角比)
列式--方程(交轨法)求解、函数关系式(对应的性质)求解
(6)三大函数最值的求法.其中二次函数分三种情况.
11、轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标--找二者之间的关系
--列出二元一次方程--化为函数--一式定型.
12、解提策略篇：抓住不变量和特殊点，找到破题点.化归法、交轨法、横平竖直、改斜归正.(把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了)
13、三交法确定函数关系式：若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则用韦达定理列方程求a、b、c 较容易.
初中几何常见辅助线的添加技巧和方法
在几何的教学中，添加辅助线既是难点也是重点，如果能帮助学生梳理常规辅助线的添法，再配上经典的试题，往往就能让学生形成正确的添线“直觉” 体会到数学解题中的“对立”和“统一” ，提高解题效率.
一、添加辅助线的方法
1、注意题目中背景图案的处理：
(续上)
2、注意题目中条件的处理：
3
(1)线段和差---截长补短或面积法注意：截的端点不同、线段不同，补的方向不同、线段不同，方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。

与高有关的线段，可借助面积转化出线段之间的等量关
系。

(2)倍分问题---加倍或折半注意：方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。

4、注意图形运动的处理：
* 旋转(1) 正确作图( 关注旋转中心、旋转图形、旋转方向、旋转角度，有时方向和角度条件隐含在落点条件之中，反复审题提炼)；(2)旋转全等，相等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；
(3)利用旋转角相等、对称点到旋转中心的距离相等，旋转后易形成相似的等腰三角形。

* 翻折(1)正确作图(对称轴垂直平分对称点的连线段，可作垂直、截相等) ；(2)翻折全等，等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；
(3)翻折对称性，对称轴垂直平分对称点的连线段，垂直条件易形成直角三角形，平分条件可转化出线段之间的等量关系，连中垂线上的点易得等腰三角形；
(4)特殊情况：翻折后常隐有角平分线的条件，遇上平行，易形成等腰三角形。

二、添线注意点
1、题目中给定标准尺寸的重新画图，借助标准图形分析问题、寻求突破；题目中没有给定标准尺寸的用原图，不能准确定位图形的可先尝试着画出大致图形，根据已知再作不断的调整。

2、几何问题就是研究所呈现每个图形的边、角、边角所具有的特征，不要为了添线而添线，添线后要把所添加的辅助线回归整体图形，力争筛理出每个图形，继而叠加组合后生成新的结论解决问题。

三、添加辅助线的“一个中心、四个基本点”
* 一个中心--- 基本图形
* 四个基本点---背景图形、条件处理、结论处理、图形运动诠释了如何添加辅助线，基本上概括了初中阶段的所有常规辅助线的添法，若能将其“自然”地应用到教学和解题当中，必将所向披靡！
四、添加辅助线的口诀
详尽审题标注化字母符号改造化已知未知联想化分散条件集中化
残缺图形补全化基本图形关联化思路受阻调整哈数据处理方程化五、辅助线常见作法：一平二垂三连四延五截六转七倍八补.改斜归正最常见！
补充模型
一、费马点三角形的“三线五心一点” 1、三线：高线、中线、角平分线2、五心：重心、内心、外心、垂心、旁
心注：旁心即旁切圆的圆心，有三个.
（与一边和另外两边的延长线相切的圆叫做三
角形的旁切圆
.如图）
3、一点：费马点*费马点的定义：在平面内到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做此三角形的费马点.
* 费马点的位置：若三角形的三个内角都小于120°，则费马点在三角形内，且该
点与三个顶点的连线必成三个120°角；若三角形有一个内角大于或者等于120°
角，此时的费马点就是这个点的顶点。

（费马点为该三角形最大角的顶点）如右图，△ ABC 的三个内角都小于120°，若点P 为△ABC 的费马点，则∠ APB=∠BPC= ∠CPA=12°0 ；反之，若∠
APB=∠BPC=∠CPA=12°0 ，则点P 为△ABC
的费马点.即PA+PB+PC 此时最小
* 费马点的确定及相关结论：设三角形的三
个内角都小于120°，则以三角形的三边分
别向外作三个等边三角形，每个等边三角形
的“外顶点”与原三角形相对的顶点的连线
的交点即为三角形的费马点.
如图所示的P 点即为所谓的费马点. 任意
△ ABC（内角都小于120°），
△ ABD 与△ BCE 为等边三角形.
则① AE=DC ；②∠ APB=∠BPC=∠ CPA=12°0 ；
③∠
DPA=∠EPC=∠APF=∠EPB=∠FPC=∠BPD=6°0 . *
推论：若△ ABC 中有一个角大于120°，仿制
上述方法作三个等边三角形，则同样能在三角
形外得到类似的三个120°角和六个60°.所
不同的是，此时的费马点是 C 点而不是P 点
二、勾股树
如图所示，以一个基本正方形的一边为斜边作
直角三角形，再以直角三角形的两直角边为边
作正方形，再以正方形的边为斜边作与上述直
角三角形相似的直角三角形，...以此类推，
得到如图的勾股树。

（1）正方形的个数：第一轮， 2 个；第二
轮，4个；A
B
P
... 第n 轮显然是2n个。

（2）每轮得到的所有正方形的面积的和正等于基本正方形的面积。

（3）勾股树的形状由第一个直角三角形的形状
（两直角边的比）确定。

如果第一个三角形为等腰直角三角形，则得到的勾股树最美观。

如图：
三、 1、梅涅劳斯定理 （三点共线 ）：
定理1：若直线 l 不经过△ ABC 的顶点，并且与△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或
它们的延长线分别交于 P 、Q 、R ，则 BP CQ AR 1.
PC QA RB 定理 2：
设 P 、Q 、R 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或
它们的延长线上的三点，并且在这三点中，位于△
ABC 边上的点的个数为 0或2，若
BP CQ AR 1，则P 、
Q 、
PC QA RB 2、赛瓦定理 （三线共点 ）：
在△ ABC 内任取一点 O ，直线 AO 、BO 、CO 分别
BD CE AF
交对边于 D 、E 、F ，则 BD CE AF 1.（其逆定理也成立 ）
DC EA FB
四、 75°，15°三角函数值推导图 --
如图，直角三角形 ABC 中，∠ C 是直角，∠ A=15°，∠ABC=7°5 . 推导：作 AB 的垂直平分线 EF ，分别交 AB 、AC 于E 、F ，（把A 点沿 EF 折叠， 使A 点与 B 点重合），显然△ BCF 为直角三角形，可设 BC=1（或者 a ），则△ ABC
五、分解因式的双十字相乘法 （主元法 ） （以例说
法 ）例：分解因式 2x 2 7xy 22y 2 5x 35y 3
第一步：定主元，降幂排列 ---= 2x 2 （7y 5）x （22y 2 35y 3） （副元组合分解 ）
第二步：对副元十字相乘法 ---= 2x 2
（7y 5）x （11y 1）（2y 3）
第三步：对主元十字相乘法 ---=
三边可求，从而得到所求 . 结论： BC:AC:AB= 1:（2 3）：（ 2
6）； sin15 62 4 ,cos15 6 2 4 , tan15 2 3 ； sin7
5 6 2 , cos75 4 62 4 ,tan75 2 3.
A A
P
（ 2x 11y 1）（x 2y 3）
六、如图，△ ABC为圆内接三角形，P为BC弧上任意一点，则PA=PB+PC 恒成立。

显然，PB+PC 的最大值就是PA 的最大值，也就是圆的直径。

（证明思路：截长补短造全等）
七、“两路一（两）村” 如图，两条交叉的马路中有一（两）村庄，在两条马路上各修一个加油站A、B，加油站选择在什么位置，沿直线绕P、A、B （P、Q、A、B）一圈路程最短.。