【智博教育原创专题】构造函数解方程和不等式若干例

构造函数解方程和不等式若干例
对于某些特殊或是难解的方程和不等式，不妨构造函数，利用函数的性质去求解，往往能化难为易，出奇制胜．本文将举11例进行说明．
注：以下方程和不等式均只在实数范围内求解．
例1 解方程235x x x +=．
解：一眼看出1x =是原方程的根，那还有没有其他的根呢？暂无充分的理由否定．作变形：23235()()155x x x x x +=⇔+=，构造函数23()()()55x x f x =+，在R 上单调递减，又(1)1f =，故原方程有唯一解1x =．
例2 12=．
解：原方程既有二次根式，又有三次根式，这该如何是好？
构造函数可好：()f x =()f x 在[19,)-+∞上为增函数，又观察知(30)12f =，故原方程有唯一解30x =．
例3 解方程3x =．
解：构造函数()f x x =，则()f x 在[0,)+∞上为增函数，又观察知1()34f =，故原方程有唯一解14
x =
．
这个1()34
f =可是需要一定眼力的：因(0)03(1)2f f =<<=+0与1
14x =，很幸运就是你！
例4 =
解：或许你会这样做，设1()f x =，2()f x =，两者都为增函数，这下子可没法利用单调性解了，非也，非也！
1=，设函数()f x =34x ≥，易判()f x 在3
[,)4
+∞上为增函数．观察知1x =是原方程的根，也是唯一的．
例5 110x -=．
解：显然
2220x x x +>+≥，
22110x x +=++>，
故原方程两侧可同时取常用对数有
2lg(2lg(11x x x -+=-．
构造函数()lg(f t t =+，在R 上严格单调递增，上式即 2(2)(1)10f x f x x -+=-≥，
22(2)(1)21f x f x x x ≥+⇔≥+，得1x =，经检验符合题意．
例6
解方程(31)(21)0x x -+-=．
解
：设函数()1)f t t =+，其为R 上的奇函数，且单调递增．原方程即(31)(23)0f x f x -+-=，则31230x x -+-=，45
x =
． 例7 解方程33(43)1060x x x -++-=． 解：原方程即33(43)2(43)(2)0x x x x -+-++=，设函数3()2f t t t =+，为R 上的奇函数，且在R 上单调递增，则(43)()0f x f x -+=，430x x -+=，35
x =． 例8 解方程组323232131313x y y y z z z x x ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩
（,,x y z R ∈）． 解：由3211312x y y =++≥知0x >，同理y ，0z >．记函数21()3
f t t t =++，在(0,)+∞上为增函数，则方程组变为333()()()x f y y f z z f x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
．下面用反证法证明必须有x y z ==．
若x y >，则()()
f x f y >，即33z x >，z x >，则()()f z f x >，即33y z >，y z >．于是，x y z x >>>，矛盾．
若x y <，则()()f x f y <，即33z x <，z x <，则()()f z f x <，即33
y z <，y z <．于是，x y z x <<<，矛盾．
综上，x y =；同理可证y z =，于是x y z ==．
下面就是解方程3213
x x x =++，你说：这是三次方程，超出我能力范围了，不会解啊！不要这么快就否定自己，不妨做个变形，马上就会了．
323233133314(1)3
x x x x x x x x =++⇔=++⇔=+， 所以
x y z ===． 数学就是这样，有时明明不能，但变一变，就有出路了．
例9 解不等式3381050(1)1
x x x x +-->++． 解：原不等式变形为3322(
)5511
x x x x +>+++ ，构造函数3()5f t t t =+，为R 上的增函数，则有2()()1f f x x >+，21x x >+，解得2x <-或11x -<<． 例10 解不等式2100520102(1)210x x x -++-≤．
解：原不等式变形为210052210052[(1)1][()]0x x x x -+-++≤，设函数1005()f t t t =+，
为R 上的增函数，且为奇函数，则有22(1)()0f x f x -+≤，则22
10x x -+≤，解得
x ≤≤． 例11 解不等式1210864
22log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．
解：原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++<+，即 121086435321x x x x x +++<+，
如果你因式分解的功底扎实的话，就会移项分解得
428642(1)(241)0x x x x x x +-++++<，
即4210x x +-<，解得x < 如果你说：这难度太大了，我可不会分解！那么不妨做这样的变形：
6422621353x x x x x
+++<
+， 即23232211(1)2(1)()2x x x x +++<+ ，等价于2211x x +<，同样解得
x <<。